复变函数习题解答(第2章).doc

p90第二章习题(一) 1, 6, 9, 14(3), 26 1. 设连续曲线C : z = z(t), ta, b，有z(t0) 0 (t0a, b)，试证曲线C在点z(t0)有切线【解】首先，因为当t t0时，(z(t) - z(t0)/(t - t0) z(t0) 0，故| (z(t) - z(t0)/(t - t0) | | z(t0)| 0，因此存在d 0，使得ta, b，当0 | t - t0 | 0，则f(z) ( f(z)* = c2因f(z)在D内解析且f(z) 0，故( f(z)* = c2/ f(z)在D内解析由(2)知f(z)在区域D内为常数(6.4) Re( f(z)或Im( f(z)在D内为常数【解】设f(z) = u(x, y) + i v(x, y)若u(x, y) = Re( f(z)在D内为常数，则ux = uy = 0由Cauchy-Riemann方程，vx = - uy = 0，vy = ux = 0；所以v(x, y) = Im( f(z)也在D内为常数故f(z)在区域D内为常数9. 试证下面的定理：设f(z) = u(r, q) + i v(r, q)，z = r e iq，若u(r, q), v(r, q)在点(r, q)是可微的，且满足极坐标的Cauchy-Riemann方程：u/r = (1/r)v/q，v/r = (-1/r)u/q (r 0)，则f(z)在点z 是可微的，并且f(z) = (cosq - i sinq)(u/r + i v/r) = (r/z)(u/r + i v/r)【解】注意到在点(r, q)处，因为r 0，r, q也是(x, y)的可微函数，并且，rx = x/r = cosq，ry = y/r = sinq；qx = - y/r2 = - sinq/r，qy = x/r2 = cosq /r所以u, v也是(x, y)的可微函数由求导的链锁法则，我们有ux = ur rx + uq qx = (1/r)vq) cosq + (-r vr) (- sinq/r) = vq (cosq /r) + vr sinq = vq qy + vr ry = vy；以及vx = vr rx + vq qx = (-1/r)uq) cosq + (r ur) (- sinq/r) = uq (- cosq /r) + ur (- sinq) = - (uq qy + ur ry) = - uy；即满足Cauchy-Riemann方程，故f(z)在点z 是可微的，且f(a) = ux + i vx = (vq (cosq /r) + vr sinq) + i (uq (- cosq /r) + ur (- sinq)= (r ur (cosq /r) + vr sinq) + i (-r vr) (- cosq /r) + ur (- sinq)= (cosq - i sinq)(u/r + i v/r)= (r/z)(u/r + i v/r) r = (x2 + y2)在(x, y) (0, 0)处有连续的偏导数，所以是可微的q作为(x, y)函数在(x, y) (0, 0)处的可微性的证明如下(参考第一章习题13的解答)：设D1 = zC | Re(z) 0，D2 = zC | Im(z) 0，D3 = zC | Im(z) 0，D4 = zC | Re(z) 0则C0 = D1D2D3D4在D1上，q = arctan(y/x) + 2k1p；在D2上，q = arccot(x/y) + 2k2p；在D3上，q = arccot(x/y) - p + 2k3p；在D4上，q = arctan(y/x) + p + 2k4p不论在那个区域Dj上，q都有连续的偏导数，因此q在C0上是可微的14. 试验证：(3) lim z 0 ( z z cos z )/( z sin z ) = 3【解】因分母z sin z的一阶导数1 cos z在原点处的值为0，故此题不能直接用LHospital法则(第2题的结论)但可对lim z 0 sin z / z 用LHospital法则开始以为这个题目应该放在后面的章节，可是终究不甘心，考虑再三，退到sin z最原始的定义，发现可以以它的实部和虚部为实变量展开先用LHospital法则，lim z 0 sin z / z = cos 0 = 1，得到sin z = z + o(z)，z 0所以1 cos z = 2 sin 2(z/2) = 2 ( z/2 + o(z) )2 = z2/2 + o(z2)，z 0而sin z = sin(x + i y) = exp( i (x + i y) ) exp( i (x + i y) )/(2 i)= (exp( y)(cos x + i sin x) exp(y)(cos x i sin x)/(2 i)= (exp(y) + exp( y) sin x + i (exp(y) exp( y) cos x )/2 注意到当k + m 3时，o(x k y m) = o(| z |3)，z 0；故sin z = (1 + y2/2 + o(y3) (x x3/6 + o(x4) ) + i (y + y3/6 + o(y4) (1 x2/2 + o(x3)= (x + i y ) (x3 + i 3x2y 3xy2/2 i y3 )/6 + o(z3) = z z3/6 + o(z3)，z 0所以，( z z cos z )/( z sin z ) = z (1 cos z )/( z sin z )= z (z2/2 + o(z2)/(z3/6 + o(z3) 3，z 026. 试证：在将z平面适当割开后，函数f(z) = ( (1 z ) z 2 )1/3能分出三个单值解析分支并求出在点z = 2取负值的那个分支在z = i处的值【解】根据课本p83的结论，1和0是仅有的支点，不是支点所以，将z平面沿从0到1的直线段I = zC | Im(z) = 0, 0 Re(z) 1 割开后，就能保证变点z不会单绕0或1转一周，因此在G = CI上函数f(z)就能分出三个单值解析分支设g(z) = (1 z ) z 2 )1/3是在点z = 2取负值的那个分支设arg g(2) = p + 2kp ( kZ )又设C是G内一条从2到i的任一曲线，当变点z沿着曲线C从2到i时，z的辐角的连续增量为DC arg z = p/2 + 2k0p ( k0Z )，因此DC arg (z 2 ) = p + 4k0p，相应地，1 z的辐角的连续增量为DC arg (1 z ) = 3p/2 + 2k0p ( mZ )，所以g(z)的辐角的连续增量为DC arg g(z) = (p + 3p/4 + 6k0p)/3 = 7p/12 + 2k0p根据课本p84的结论，g(i) = | g(i) | exp( i DC arg g(z) exp( i arg g(2)= | (1 i ) i 2 )1/3 | exp( i (7p/12 + 2k0p) exp( i (p + 2kp) = - 21/6 exp( 7pi/12 )从上述的做法中可以看出，我们不妨(事实上也常常地)取k, k0 = 0，并不会造成任何影响这类题目用辐角的连续增量来考虑是方便的，否则就有可能陷入辐角难以选择的困境，因为那时我们已经忘记了要求辐角是随着变点z连续变化的设z = r1 exp( i q1)，1 z = r2 exp( i q2)，那么g(z) = (r12 r2 )1/3 exp( i (2q1 + q2 + 2kp)/3) (