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数学学习中的迁移届 别 XXX届系 别 XXX系专 业 XXXXXX姓 名 XXXX指导教师 XXXX 二一二年 XX 月数学学习中的迁移 “为迁移而教”是当今教育界流行的一个富有吸引力的口号，是许多国内外教育心理学家经大量实验研究所得出的用以指导教学的结论。早在2000多年前，孔子就说过:“知一隅，不以三隅反，则不复也。”“回也，闻一以知十”。意思是说学习可以“举一反三”“触类旁通”“闻一知十”，使学生达到由此及彼。他们都认为学习迁移是学生学习过程中普遍存在的一种心理现象，可以说，凡是有学习的地方几乎就有迁移发生。所以本课题旨在利用前人对学习迁移规律研究所建立的理论体系和取得的成果，结合教学实践，探究教学过程中迁移的重要性。使广大师生认识到正确运用迁移规律对于提高工作质量，改进教学方法，培养学生学习知识的能力和应用知识的能力都具有很大帮助。从理论上来说，迁移是学习理论的重要课题之一，是完善学习理论不可缺少的组成部分。因为完整的学习理论，不但要科学地说明学习现象是怎样发生的，经验是如何获得的，有何规律，学习过程中行为变化的机制是什么，还要阐明学习的结果在变化了的情境中是如何变通地加以应用的。因此研究学习中的迁移具有重要的理论意义。从教育实践来说，正确运用迁移规律，可以提高教育、教学工作的效率，那些学习成绩优良的学生总是善于将学习得到的经验迁移到新的情景、新的学习中去。例如，学习了“等差数列”之后，依靠迁移，就能独自发现“等比数列”的定义及通项公式，其学习效率当然比一般学生要高。因此，学习迁移是学生学习主动性的突出表现。教师在教学中如能充分考虑促进学习迁移的条件，来选择教学内容、编排教材、改进教法、合理地组织练习，则可大大减少许多学习中的弯路1。数学作为一门基础学科，与其他学科及现实的联系非常紧密，数学知识之间的逻辑性、系统性、衔接性、连贯性很强，前面学习的内容对后面学习的新内容具有一定的影响。但从我国目前的中学数学教学情况看，对学习迁移规律并不重视。由于家庭、学校、社会各种因素的影响，“应试教育”仍紧紧的束缚着我们的中学校园，许多数学教师的工作重点都放在让学“多做题、巧做题、提高分数”模式上，即便如此，学生还是不会解题做题。这些情况的出现其实与教师不注重迁移规律的作用以及学生迁移能力差密不可分，数学教学中在培养学生的迁移能力方面还是个薄弱环节2。如果我们在工作中能够利用迁移规律充分发挥学生的学习迁移能力，势必会有许多学生的数学成绩和水平大大提高。因此数学学习中的迁移具有重要的实践意义。1.迁移的概念 迁移的是指一种学习对另一种学习的影响， 在心理学上称之为学习的迁移。迁移有正迁移、负迁移。数学迁移可作如下分类: 数学知识、技能的迁移， 数学思维方法的迁移和数学学习态度的迁移。例如：学习了一元一次方程有利于不等式的学习，学习了一元一次不等式有利于一元二次不等式的学习，学习了平面解析几何有利于空间几何的学习等。1.1.正迁移 一种学习对另一种学习起促进作用的称为正迁移:前面的学习对后面的学习起促进作用的，称为顺向正迁移;后面的学习反过来对前面的学习起巩固、促进作用的称为逆向正迁移。例如数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。将等差数列定义中的公差迁移为公比，即得到等比数列的定义，相应地可以得到等比数列公比的定义。若把加、减、乘、除和乘方、开方运算视为由低到高的三个运算等级，记等差、等比数列的首项为a公差、公比分别为d 和q ，则只需将等差数列通项公式a= a + (n - 1) d 中的加、乘运算各升1 级(n - 1 视为1 个数) ，即可得到等比数列的通项公式a=a这就是顺向正迁移的例子。1.2. 负迁移一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用的，称为负迁移；前面的学习对后面的学习起干扰或抑制作用的，称为顺向负迁移；后面的学习对前面的学习有消极影响的，称为逆向负迁移。 如，求实数m ，使方程有实根。不少学生解答此题时，常常采用以下方法:原方程有实根，当且仅当判别式即解得： 或 ，所以 或时， 方程 有实根。显然以上的解答是错误的。 事实上， 当 时， 方程的两个根均为虚数。 产生错误的原因，就是受到实系数方程的判别方法的习惯影响。 把只能用于实系数方程的根的判别式，机械地照搬用于复系数方程。那么对于迁移它们的影响因素又是什么呢，又该怎么促进迁移向积极的方面发展，怎么避免迁移向消极的方面发展呢？2.影响数学学习迁移的因素影响数学学习迁移的因素，从数学认知系统和心理的角度分析，主要表现数学学习迁移的基础和认知水平上。2.1 数学学习迁移的基础 一般地说，学习者具有的数学陈述性知识和程序性知识，构成数学学习中的迁移基础的主体内容，具体可以分为三个方面: 客观基础、逻辑基础、心理基础。客观基础主要包括(1) 数学学习材料的特性， (2) 教师的适时适宜指导，(3) 数学学习的情景特征。 数学学习中的迁移的逻辑基础主要决定于数学的认知系统变量的特点。根据美国教育心理学家Ausubel的观点3，数学认知系统有三个特征: (1) 可利用性，(2) 可分辨性， (3) 稳定性与清晰性。数学学习迁移的心理基础是指以下的两个具体内容: (1) 学习者的年龄特征。年龄不同的个体由于处于不同的思维发展阶段，数学学习中的迁移产生的条件和机制有所不同。 (2) 学习的心向和定势。H.B. 里德的研究表明，具有利用已有知识去学习新知识的心理准备状态，比没有这种准备状态更有利于已有知识对新学习中的迁移。2.2.认知水平大致而言，学习的兴趣与动机，为数学学习中的迁移提供初始的“内驱力”，情感与意志为数学学习中的迁移提供过程的“推动力”，态度与个性为数学学习中的迁移提供结果的“维持力”4，而认知水平就是衡量这些力大小的“标尺”。Novick等5的研究证实迁移主要决定于个体的认知水平，而与推理能力无显著的关系。实际上，智力对数学学习中的迁移的质于量都有重要的作用，智力高的人能容易地发现学习中的相同要素及其关系，易于总结学习内容的原理原则，能较好地将以前习得的学习策略和方法应用到后来的学习中。 总之，在充分理解迁移发生规律和影响因素的基础上，教师必须结合数学学科的特点以及学生的特点，灵活地创设和利用教育契机去促进积极迁移的产生，消除消极迁移的出现，把“为迁移而教”的思想渗透到每一次数学教学活动中去。3.在数学教学中如何促进学习的迁移3.1.加强学生的“双基”教育在一般情形下迁移是在旧学习的基础上产生的，先前学习的基础知识，基本技能越雄厚越扎实，就越容易产正迁移，效果越显著。反之，若“双基”薄弱，迁移也难以产生或效果较差。了解事物并不是一次完成的，而是随着时间的推移， 逐渐加深和理解的6。 因此在教学过程中应当循序渐进， 加强“双基”教育，才能发挥学习中正迁移的作用。在数学学习中，有些概念是相通相连的，触类旁通。例如学习等差数列的概念后，学生在教室的引导下可以得出等比数列的概念，进一步学生可能还会想到许多种数列。比如学习等差数列和等比数列前n项和公式后，学生可能会提出，等在不同数列中又是什么关系？学生带着问题学习，进一步学会解决问题，不仅能巩固基础知识而且能够学生的创新能力，发挥学生的积极性和主动性。例如，教学“四边形”这一章时，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的判定、性质，它们之间的关系，头绪较多，学生不容易记牢，而且还容易混淆，可以结合图解加以总结几种特殊四边形的定义、性质、判定，进行分析、比较、综合、概括等整合教学。图形名称图形形状四边关系四角关系对角线性质平行四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分梯形上底下底平行但不等同一条腰上的上底角和下底角互补对角线不平分（等腰梯形对角线相等）菱形对边平行，且四边相等对角相等，邻角互补对角线互相垂直且平分。矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行，且四边相等四个角都是直角对角线互相垂直，平分，且相等。把四边形这一章的基础知识条理化和系统化，构成一个概念的体系，既能提高学生知识的概念水平，又能使这些知识的联系在学生头脑中留下一个深刻的印象，不易遗忘，从而有利于知识的正迁移和防止这些知识的负迁移。3.2.加强数学思想方法的教学一位著名教育家说过:真正教育的旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使他获得受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育。这里“受用终生的东西”在数学中就是指数学思想方法7。对数学思想方法理解归纳起来主要倾向于两种理解:一是狭义理解，认为数学思想方法就指数学本身的论证，运算及应用的思想，方法和手段；二是广义的理解，认为数学思想方法除上述作为研究的对象外，性质，特征，作用及产生，发展规律的认识，也作为自己的研究对象攻手8。数学方法是在数学思想指导下，为数学思维活动提供具体的实施与手段。一般有观察与实验，类比与联想，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊等等，还有使用范围较窄的一些数学方法。如配方法、拆项法、换元法、待定系数法、数学归纳法、割补法、构造法、解析法和参数法等等9。理解、掌握和运用数学思想方法是数学学习的重要组成。因此，中学数学教学中，不仅要重视数学知识的学习，同时也要注重数学思想方法的掌握，只有二者兼配，才能切实培养和提高学生的数学能力10。数学思想方法是培养学生学好数学的重要手段。中学数学思想方法主要有以下几类，那么我们看这些数学思想方法分别是什么，它们又如何与迁移建立联系的？3.2.1.数形结合思想方法数形结合思想是把空间形式和数量关系有机结合起来解决问题，它的实际效果或是化抽象为直观，如函数与图像；或是复杂的曲线为代数方程，如解析几何。著名数学家拉格朗日指出代数与几何在各自的道路上前进时，它们的进展是缓慢的，应用也是有限的，但当这两门学科结合起来后，它们各自从对方汲取新鲜的活力，从此，便以很快的速度向着完善的境地飞跑11。数形结合是一个重要数学思想和一柄双刃的解题利剑。例如：求的最值。解 Y （2，1） Xy是分式函数，其结构与斜率公式相似，由此可视此式为定点Q（2，1）和单位圆上的动点P（）连线的斜率。当PQ与单位圆相切时，切线的斜率就是所求函数的最值。容易求得当时，PQ分别与单位圆相切，即。此题我们如果利用分式以及考虑正余弦的取值范围，计算比较复杂。但是学习了直线斜率还有圆以后我们就可以很顺利的转化到圆外的点与圆上的点的连线的斜率，也就从复杂的代数问题向直观的几何问题上迁移，从而促进学习中正迁移的发生。3.2.2.化归思想方法化归思想是指在处理、解决数学问题时，把那些解决或比较容易解决的问题。运用化归思想的基本原则是化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为己知、化正为反。例如:求=+分析：经过观察发现各项前面的系数1，2，3， n成等差数列，而， 成等比数列。因此，联想到等差数列前n项和公式的推导思路并迁移到此问题中，所以两边同时乘以，得=+两式相减得 =+-所以 =上述解法运用了联想、化归的思想方法，将问题转化为能求解的，即等比数列前n项和。3.2.3.分类讨论思想方法分类是指按照一定的标准把研究的对象分成几个部分或几种情况，它采取的是一种“化整为零，各个击破”的手段，通过它可以达到把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题，从而获得完整的解答目的。例如：指教函数和对数函数性质教学时，我们就是抓住底数a0且a1，因此1把大于零分成两个部分，即，然后对这两部分分别进行研究。3.2.4.方程与函数结合思想方法 方程与函数都是重要的数学概念，同时又是重要的数学思想。函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。例如，对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。我们习惯上把当作自变量，构造函数，于是问题转化为：当0，4时，恒成立，求的取值范围。解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。如果把看作自变量，视为参数，构造函数，就非常简单。即令函数的图像是一条线段，要使恒成立，当且仅当，且解这个不等式组即可求得的取值范围是本是看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图像建立了一个关于的不等式组来达到求解的目的。 上述解法通过观察，我们可以把方程转化为函数问题，函数思想在解决取值问题上显得比较直观，理解也容易。但是我们要求方法最简单，如何又能使函数也最简便了，此时我们就把一个复杂的二次函数问题转化为一次函数的问题，那么解决此题不就更简单更直观了吗？通过已学的知识一次又一次的转化，使得学习中灵活应用已学知识，逐渐使得所要解决的问题简单化，从而产生知识的正迁移。3.2.5.类比思想原则 类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜想另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比法是研究数学问题的重要方法，也是学习新知识的好方法。波利亚(G.Pola)指出:“求解立体几何问题往往依赖于平面几何的类比。”拉普拉斯说:“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”12。 例如高中数学中有关直线与圆，圆与圆的位置关系就可以通过类比的思想来学习，直线与圆的位置关系有三种，我们可以列个表来来说明他们的位置关系及其判定方法位置关系图形表示交点个数判定方法一判定方法二相离0个圆心到直线的距离dr联立直线与圆的方程，判别式相切1个圆心到直线的距离d=r联立直线与圆的方程，判别式相交2个圆心到直线的距离dr联立直线与圆的方程，判别式那么圆与圆的位置关系就可以类比直线与圆的位置关系来讨论。只不过交点个数为1时包括内切和外切，交点为0个时包括相离和内含。数学思想方法如同数学知识一样，是人类长期积累起来的宝贵精神财富， 数学方法的掌握能使学生灵活地化繁为简， 化难为易， 化抽象为具体。 3.3.重视概括能力的培养概括是导致迁移的实质， 从迁移的角度看， 数学教育的目标无非为学生的进一步学习或毕业后的学习以及工作奠定基础， 为举一反三， 追求一种学习对另一种学习的促进作用。促进作用越大即迁移量越大， 说明学生通过学习所产生的适应新学习情境或解决新问题的能力越强， 就数学来说即数学能力越强13。因此学习的正迁移可以看成学生数学能力强弱的最可靠的指标。这是问题的一个方面。另一方面， 心理学认为“迁移就是概括”，意思是说任何学习的迁移都必须通过概括这一思维过程才能实现。因此， 在数学教学中， 与其说“为迁移而教”不如说“为概括而教”14。对已有的知识、经验的概括水平越高，就越能揭示尚未认识的某些同类新知识的实质，并把新知识纳入已有的知识、经验系统中去，从而发生正迁移。 在这一证明中，所用的知识都是过去学习过的，只是对知识做出了重新组合概括：利用几何知识及解析几何知识，把三角不等式问题转化成了距离问题，避免了复杂的三角变换。另外，结构重组概括还可能引导人们发现全新的数学方法，获得前所未有的数学实现。在数学的发展史上，这种例子是很多的。因此在教学中，注意抓共同因素，通过共同因素来促进正迁移，可以增强学习效果。在公式法则的导出过程中，能否激活认知结构中的有关知识，以建立新、旧知识之间的逻辑联系是解决问题的关键。在数学教学中注意经常揭示教材之间的逻辑联系，将有利于学生顺利地学习新知识。3.4.加强教师对群体思维的指导作用根据心理学迁移理论， 教师给学生的指导越多，则正迁移的效果就越大。那么教师怎么样才能给学生更多的指导?不是“填鸭式”的满堂灌， 而是启发式的引导，是发挥“群体”思维式的引导15。所谓“群体思维”， 就是指在相同社会条件和生活条件下， 以群体的形式表现出来的具有共同特点的思维。在课堂教学中，群体思维的主体就是学生， 他们是在共同生活条件下构成的思维群体， 教师的启发作用应表现在引导好整体思维的正确走向。当遇到教材中的重点内容时， 教师应激发学生的思维活动。若群体思维活动的发展趋向正确， 教师应及时地给予肯定表扬，反之教师以举反例或反问形式激发学生的反思， 纠正群体思维的错误走向。例如：在对数运算法则的学习中，学生理解法则比较困难，因为受了下列公式的影响：，产生了思维的“呆板”，形成了思维定势，从而错误地把对数运算定势为：，在教学过程中，如何排除这种错误的定势困扰，成为教学是否成功的关键。因此，笔者在教学中先安排了下列一组练习：用计算器计算下列各题，并比较大小： 通过这组练习，学生获得了感性认识，同时对原来定格的式子产生了怀疑，通过比较，适当地进行心理诱导，形成正确的思维定势，把正确的法则定格下来，接着给出推导方法，再做巩固练习，从而帮助学生顺利地过渡到新知识的学习中去。 又如：三角函数的和角公式：易错误地认为；二倍角公式易受干扰认为，这种负迁移在教学中经常碰到。如果我们在教学中能充分注意正迁移及其产生作用的条件，在一定程度上就能减少甚至防止负迁移的消极影响，让学生更快、更好地掌握新知识。教师在教学过程中应随时注意学生的心理状态对迁移的影响，要通过旧知识的复习，用启发、联想、提示乃至暗示等等的方法，把学生的注意力引导到新课题的有关知识上来，进入有利于学习新知识的状态，形成正迁移的定势。当然对于具体的数学教学内容，如何结合数学的特点、学生的年龄特征、已有知识经验和认知发展水平有效地促进迁移能力的发展值得进一步研究。主要参考文献1 毛鸿翔. 数学教学与学习心理学J. 辽宁教育出版社, 20012 章建跃. 数学学习迁移概述J. 人民教育出版社 , 20033 美 Douglas A. Grouws Handbook of Researchon Mathematics Teaching and Learning (A Project of the National Council of Teachersof Mathematics)M. New York: Macmillan, 1992 4 汤服成.数学认知系统与数学学习迁移J. 广西右江民族师专学报, 20035 美 Novick L R ,Holyoak K J . Mathematical Problem Sloving by AnalogyJ.Journal of Expermental Psychology :Learni