换元法解方程.doc

换元法解方程 西安市第八十五中学 江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧一、分式方程分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设（y-1）2=0，解得y=1经检验，x1，x2都是原方程的根分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x解：设y=x2+2x，则原方程可化为即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3x22x=-3，无实数解例3 解方程分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x22x10解：设y=x22x10，则原方程可化为解得y1=9x，y2=-5x.由x22x10=9x，解得x1=5，x2=2由x22x10=-5x，解得x3=-5，x4=-2经检验知，它们都是原方程的解注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的二、无理方程两边立方，并整理得y3-2y23y=0，即y（y2-2y3）=0，y=0或y2-2y3=0，无解经检验知x=-1是原方程的解可设两个未知数，利用韦达定理解原方程为mn=1，又（mn）3=m3n33mn（m+n）=4+3mn=1，mn=-1（x+1）（3-x）=-1，即x2-2x-4=0，解得经检验知，x1，x2是原方程的解（y-1）2+（y+1）2=52，解得y=5经检验知，x=10，x=-510是原方程的解|y+2|y-2|=4，当y-2时，-y-2-y2=4，y=-2（舍去）当-2y2时，y2+2-y=4，4=4，当y2时，y2y-2=4，y=2-2y2，又y0，0y2，经检验知，1x2是原方程的解再把上边方程两边平方整理得x4-2ax2+a2-a-x=0，a2-（2x21）a（x4-x）=0，解得由得-x=a-x2，a-x20，-x0，方程无解故选（C）注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法三、高次方程例9 解方程（x+3）4（x1）4=82原方程变为（y+1）4+（y-1）482，整理得 y46y2-40=0，解得y1=2，y2=-2由x2=2，得x1=0由x2=-2，得x2=-4所以原方程的解是x1=0，x2=-4注：一般地形如（x+a）4+（xb）4=c的方程可用均值法，设y例10 解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6（x2+38=0，解得注：1形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称倒数方程其特点是，与首末两端等距离的项的系数相等其解法是，用x2除各项并按下述化为a（y2-2）+by+c=0使问题得解2形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点