无穷小量和无穷大量.doc

211-3 无穷小量和无穷大量1-3 无穷小量和无穷大量牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的“无穷小数”是设想为像虚数那样神秘的理想元素。由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为的变量，即称变量为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值小于预先给出的任何正数。例如，数列和当时的函数等都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量是一个特例，所以又不同于“零”。在某个极限过程（或）中的无穷小量就简记成读作“小欧”，不能读作零。小欧“”是牛顿当初用过的记号.定理1-1 .(充分必要条件)特别，函数在点连续 （）证 若，则，即 或 反之，若，则特别，当函数在点连续时，因为，所以有结论().例如，当时， ， 1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若是某一个极限过程(或)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有 其中是有界变量（*） 记号读作“大欧”，也不能读作“零”。，特别它可以是常数； ，.它们与常量的运算规则是不同的！2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量与基本无穷小量相比较.若有极限则在这个极限过程中，当时，称与为同阶无穷小量.特别，当时，称与为等价无穷小量，并记成或.例如，因为当时，与相比较，称为高阶无穷小量，并记成.例如，当时，.例8 注意，其中当时，.定理1-2 设和在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，（等价无穷小量替换）和或差的极限不能用等价无穷小量替换！证 .例如，当时，因为，所以再如，当时，因为，所以例8就可以简单地做成定理1-3 若在某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个极限过程中，有高阶无穷小量的运算规则: （为有界变量，特别可以是常数）; ，其中是无穷小量; ；.证明是简单的，譬如证.根据极限的运算规则，因为所以；而因为所以.定理1- 4 若和都是同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中， 两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量证 因为，根据定理1-1，所以.因为，所以.例如，因为，所以可把它等价地写成；同理，.3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量为无穷大量，若变量在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值大于预先给出的任何正数，简记成“”. 特别，若能够使大于预先给出的任何正数，则称变量为正无穷大量，简记成“”；若能够使小于预先给出的任何负数，则称变量为负无穷大量，简记成“”.“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结论.设变量在某一个极限过程中不取数值.若变量是无穷大量，则倒数就是无穷小量；反之，若变量是无穷小量，则倒数就是无穷大量.具体到函数，当自变量在某个极限过程中，若函数是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成请读者注意，这些都是记号，有时口语上也说“极限是无穷大”，但它们没有前面说的那种有穷极限的含义和运算规则！例9 求.解 当时，分子分母同除以，则有 当时，分子分母同除以，则 当时，因为，所以(倒数的极限)根据提示做习题