拉氏变换与反变换.doc

拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换自动控制系统所涉及的数学问题较多，经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。1、拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数，它的定义域是 ，那么的拉普拉斯变换定义为 （1）式中， 是复变数， （、均为实数），称为拉普拉斯积分； 是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；是表示进行拉普拉斯变换的符号。式（1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。所以，拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。2、几种典型外作用函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数的拉氏变换拉氏变换得 当，则。所以（2）单位脉冲函数的拉氏变换（3）单位斜坡函数的拉氏变换拉氏变换式利用分部积分法令则所以当时，,则（4）单位加速度函数的拉氏变换其拉氏变换式为通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换表（书P32-33）中直接查出。3、拉氏变换的主要定理（书P31表2-2） 根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。在计算中经常用到的定理是微分定理：设则有，式中是函数在时的值。若初始值，则。同理，函数的高阶导数的拉氏变换为显然，如果原函数及其各阶导数的初始值都等于零，则原函数的n阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以，即3、拉普拉斯反变换（简称拉氏反变换）拉普拉斯反变换的公式为 式中 表示拉普拉斯反变换的符号 通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数。所以，拉氏反变换得到的是时域的数学模型。 部分分式展开法： 在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式（） 为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有 式中， ， ， 是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。1. F(s)的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换 式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数 例： 求的原函数。解: 首先将 的分母因式分解，则有 即得 2. F(s)含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果含有共轭复数极点，可将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数。例1 求的原函数。解：，然后由拉氏变换表查出对应的反变换函数，即得所求的原函数，例2 求的原函数。解：，通分可求得系数，故，查表可得所求的原函数，。 3. F(s)中含有重极点的拉氏反变换例 求的拉氏反变换。 解: 将展开为部分分式上式中各项系数为 于是查拉氏变换表，得4、应用拉氏变换解线性微分方程 应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤： (1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 的代数方程； (2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； (3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。例：已知系统的微分方程，初始条件分别为 和、时系统在输入作用下的