标准击实试验干密度和含水率的数值分析方法.doc

标准击实试验干密度和含水率的数值分析方法发布者：中煤30处 王玥明 中煤三建试验检测有限责任公司 李桂云发布时间：2006-11-17 10:29:00 内容摘要关键词:击实试验;最大干密度;最佳含水率;数值分析摘 要：在土木工程建设基础回填及公路填方路基工程中，土的最大干密度和最佳含水量是工程施工质量控制的两个重要因素，是回填土压实度的主要判定指标。规范推荐通过绘制 - 曲线图的求解方法，实验数据计算而得数据大多是离散的，因而曲线的任意性空间较大，在大多数情况下存在人为误差，不能绘制出合理的标准曲线，本文提出了利用最小二乘法求解拟合方程并绘制逼近曲线，从而理论求解最大干密度和最佳含水量 。正文文字大小：大 中 小 前 言压实度是控制公路工程质量的主要技术指标之一,压实度可靠的一个重要前提就是要求最大干密度准确并与测点实际干密度相对应.做标准击实试验的目的是为了获取填筑土的最大干密度和相应的最佳含水量, 按照公路土工试验规程（JTJ051）的规定，土的最大干密度和最佳含水量是根据击实试验结果，手工绘制 - 曲线图，按曲线的峰值点来确定。而此项试验的结果受人为因素影响较大, 往往因不同试验人员的经验、对数据的处理方法、绘制比例等，导致求解的最大干密度和最佳含水量结果差异较大，得出的标准密度往往偏离其真实值，以至于施工中出现压实度总是不合格或压实度大于100%的现象。不能正确指导施工，从而引起质量事故。笔者结合工程实例, 对上述击实试验数据处理和绘图存在的问题，结合数值分析原理和工科数学求极值的方法，提出了按最小二乘原则确定对应试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度 和最佳含水量 提供了依据，并给示例进行计算。1 击实试验数据处理的常规方法分析11公路土工试验规程规定以干密度为纵坐标,含水量为横坐标,绘制干密度及含水率的关系曲线,曲线上的峰值点坐标分别为最大干密度和最优含水率(图#).如果曲线不能绘制出明显的峰值点,应进行补点或重做.但在试验过程中存在两个问题:同一组试验数据,可以绘制出明显的峰值点,也可以绘制不出明显的峰值点,这样将导致不同的人在处理数据时对是否需要重做或补点有不同的判断.同时,同一组试验数据,不同的人会绘制出不同的曲线,导致最大干密度和最优含水率产生偏差,而这些误差正是在处理数据时无法避免的。12目前大多土工实验室对击实试验所得的五个离散数据点，用手工作业，在厘米纸上点取各点，根据经验来绘制曲线，其工作效率低，质量也很难保证。当试验数据存在较大误差时，再利用土工试验规程中的最大干密度、最佳含水量计算公式来求其值，势必造成所得结论与实际情况相差较大。13有相当一部分试验人员直接取五个离散点中干密度的最大值为最大干密度，其对应的含水量为最佳含水量，并依此绘制标准击实图，曲线中的峰值为离散点干密度的最大值，该方法是受公路土工试验规程中的例题影响。14有的实验室购买了实验软件，把数据输入电脑，计算和绘图由电脑完成，目前市场上有许多种不同版本的试验计算软件，其质量也是良莠不齐。笔者对几种试验软件的标准击实试验操作中发现，其编程思想同1.3。2 数值分析原理的选用在工科数学中，根据已知点求未知点的方法有两中，一种方法是函数插值，另一中是拟合，插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分 。插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给 定离散点上满足约束。所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1, 2,3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。21插值与拟合的比较相同点：a、都需要根据已知数据构造函数。b、可使用得到函数计算未知点的函数值。不同点：a、插值需要构造的函数正好通过各插值点，拟合则不要求，只要均方差最小即可。b、对实验数据进行拟合时，函数形式通常已知，仅需要拟合参数值。从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式 未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个( 或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 2.2根据规范例题绘制的“含水量与干密度关系图”可以看出，“规范”应用的是函数插值方法求解最大干密度，但在绘图工程中往往将干密度的最大值作为峰值。23拟合和插值的方法都能让我们从已知数据求得未知数据。但插值是建立在所有已知数据都是准确值的基础之上，而拟合的方法则承认数据的误差，从已知数据的整体关系来计算未知值的。从我们实验操作的全工程来看，虽然我们得到的五组数据是实际计算得来的，但我们在击实、烘干，尤其是绘制曲线中的存在的误差是避免不了的。因此，笔者认为求最大干密度和最佳含水量的数值分析方法采用拟合曲线较为合适。3.1曲线拟合原理曲线拟合，就是通过实验获得有限对测试数据（xi, yi）,利用这些数据来求取近似函数y= f ( x )。式中x为输出量，y为被测物理量。与插值不同的是，曲线拟合并不要求y= f ( x )的曲线通过所有离散点（xi, yi），只要求y= f ( x )反映这些离散点的一般趋势，不出现局部波动。 自变量x与因变量y之间的单值非线性关系可以自变量x的高次多项式来逼近对于n个实验数据对（xi，yi）（i =1，2，n），则可得如下n个方程 设拟合高次多项式为 +.+ a nxn ,a n满足方程组。3.11最小二乘法求拟合曲线 所谓最小二乘法求拟合曲线 ，就是按按方程组求出系数 ,a n求出系数 ，就得到拟合曲线。根据离散型的最佳平方逼近的相关原理可知式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。3.12基函数和阶数的确定作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，根据击实试验 和 的坐标点分布情况，可选择幂函数作基数，这时，拟合曲线是n次多项式曲线对于多项式 +.+ a nxn，阶数n的取值是关键，多项式的次数越高，拟合结果的精度也就越高，但计算量相应地也增加，取得太低，拟合就粗糙不能满足试验要求，根据击实试验数据一般都是5组数据的实际情况，结合“规范”中的例题，分别对阶数n取2,3,4的三种情况按误差平方和R来进行选定并验证方程的准确性。本算例采用公路土工试验规程(JTJ051-93)中击实试验表16.0.5的试验数据，具体如下表1：含水量(%) 8.1 10.2 13.0 15.8 19.0干密度(g/cm3) 1.67 1.71 1.80 1.83 1.76A、不同阶数多项式的求解（1）取n=2时的情况当n=2时，拟合曲线为5a0+66.1a1+949.29a2=8.7766.1a0+949.29a1+14592.961a2=116.723949.29a0+14592.961a1+236331.1233a2=1683.8783方程组的解为 a0=1.08676，a1 =0.09573，a2 =-0.00315所求二次多项式为Y=1.086760.09573X0.00315X2平均绝对误差SD=0.013326误差平方和R2=0.001224根据上述求解的二次多项式，绘制出相应的拟合曲线图（如下图1）。图1（2）1）取n=3时的情况当n=3时，拟合曲线为5a0+66.1a1+949.29a2+14592.961a3=8.7766.1a0+949.29a1+14592.961a2+236331.126a3=116.72366.1a0+14592.961a1+236331.126a2+3977326.029a3=1683.87814592.961a0+236331.126a1+3977326.029a2+6883880.189a3=25946.703方程组的解为 a0=2.05563，a1 =-0.14072，a2 =0.01509, a3=-0.00045所求二次多项式为Y=2.05563-0.14072X+0.01509X2-0.00045 X3平均绝对误差SD=0.00818 ， 误差平方和R3=0.000490根据上述求解的二次多项式，绘制出相应的拟合曲线图（如下图2）。 图2（3） 取n=4时的情况当n=4时 ，所求得的四次多项式为(方程组及求解过程略)Y=3.67316-0.67299X0.07857X2-0.00370X30.00006X4误差平方和R4=0根据上述求解的二次多项式，绘制出相应的拟合曲线图（如下图3）。 图33.13多项式阶数的选定从上图1可以看出，当n=2时，所拟合的曲线误差较大，误差平方和2=0.001224，不宜采用；当n=4时，所拟合的曲线变成了插值曲线，4=0，但取四次多项作拟合曲线时，计算工作量很大，求解极值相当麻烦，且对实际运用没有太大的意义；当n=3时，所拟合的曲线误差很小，3=0.000490，足够能满足击实试验的精度需求，且从下面的分析可知，方便解极值，故拟定三次多项式作拟合曲线。3.14 极值的求解（1）一般地函数 在导数 有两根 且 时，在 处 ；在 处 ，对任意 都有 （2）从所求的三次多项式和试验曲线图可知，拟合曲线在8，20 区间存在着最大值，并可根据函数极值原理求解出拟合曲线的最大值。从图2和函数的极值原理可知，试验数据正常情况下，一般只有一个X值满足要求。该值即为最佳含水量 ，代入所求的三次多项式拟合曲线方程即可求出最大干密度 。（3）按工科数学函数求极值的方法，求解出不同阶次多项式拟合曲线的最大干密度 和最佳含水量 如下表2。阶数（n） 2 3 4最佳含水量(%) 15.2 15.87 15.6最大干密度(g/cm3) 1.81 1.83 1.83从上表可以看出，采用三次多项式拟合曲线求解出的最大干密度 和最佳含水量 与试验规程中作图求解的结果基本一致。4 结论与建议准确确定土的最大干密度和最佳含水率在实际工程中特别是研究工作中是非常重要的.本文通过数学方法处理数据求解击实试验的拟合曲线, 由于图解法易导致曲线峰值出现的主观性和随意性, 采用三次多项式曲线足够能满足试验精度的要求，建议采用理