竖直平面内的圆周运动及实例分析.doc

竖直平面内的圆周运动及实例分析竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置最高点和最低点。一、两类模型轻绳类和轻杆类1轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。2轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度。过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。二、可化为这两类模型的圆周运动竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。三、水流星运动中过最高点的速度和水不流出速度的区别水流星是一种杂技表演，表演者在两个碗里装上水，用绳子系住碗，然后在竖直平面内舞动，碗中的水和碗一起作圆周运动，水不从碗中流出来。水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件是满足轻绳类圆周运动，很多参考书就把这个速度当作是水不流出的最小速度，其实这种理解是不正确的。我们不能把这当作是水不流出的条件，这是因为当不但水不能做圆周运动，碗也不能做圆周运动，即是，当碗运动到最高点之前就做斜抛运动了，碗中的水也随之作斜抛运动，在斜抛运动中，水和碗都处于完全失重状态，水也不从碗中流出。所以不能把当作是水不流出的条件。四、例子讲解例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得mgh2mgRmv2 物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有mgNm 物块能通过最高点的条件是N0 由式得V 由式得H25R 按题的需求，N5mg，由式得V 由式得h5R h的取值范围是25Rh5R 例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（ ）A速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动B当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力C当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mgD只要v，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知得，所以A错，得，此时即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点，最低点由机械能守恒有，所以，D对。例3（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、m（为待定系数）。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：（1）待定系数；（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力； （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。解：（1）由mgR+得3（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则 设向右为正、向左为负，解得v1，方向向左 v2，方向向右设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为则NmgN /N45mg，方向竖直向下。（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1V2，则解得：V1，V20（另一组：V1v1，V2v2，不合题意，舍去）由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。人造地球卫星运行问题的几个原则人造地球卫星的运行问题的分析和求解，需综合运用万有引力定律、牛顿第二定律等力学规律及方法，分析与求解人造地球卫星运行类问题遵从以下几个原则。1轨道球心同面原则轨道球心同面原则，是说人造地球卫星的运行轨道平面必通过地球球心。设想有一人造地球卫星的运行轨道不通过地心，而仅垂直于地轴，如图1所示。则卫星将在地球对其的万有引力F的分量F2作用下绕地轴做圆周运动；同时在F的分量F1的作用下在地球赤道平面上下振动。这样，这个卫星的运行轨道将成为螺旋线，而不是圆形轨道了，这样的轨道显然是不存在的。各种人造地球卫星的运行轨道，不论是圆还是椭圆，其轨道平面一定通过地球球心，不存在轨道平面不通过地球球心的运行轨道。但轨道平面不一定都要与赤道平面重合，目前常见的有与赤道平面重合的赤道轨道，若轨道上运行的卫星的周期与地球自转周期相同，卫星相对地面静止，这种卫星主要用于通讯；有轨道平面与赤道平面垂直且经过两极的极地轨道，卫星在绕地球圆周运行的同时还沿地球自转方向从西向东转动，其周期等于地球公转周期，所以这种轨道也称太阳同步轨道；还有轨道平面既不与赤道平面重合也不垂直的轨道的倾斜轨道。2轨道决定一切原则设地球质量为M、半径为R，一质量为m的人造地球卫星在距地面h高度的轨道上做圆周运动，向心加速度为A、线速度为v、角速度为、周期为T。由牛顿第二定律和万有引力定律有：或，而、。解以上几式得：，。由此结果可以看出，影响卫星运动情况的与卫星有关的参数中仅仅是卫星的轨道半径。3速度影响轨道原则在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度为生了变化，由基本关系式可以得出：。由此知，轨道半径随卫星运行速度的增大而减小，这一过程中引力对卫星做正功，又使卫星的速度增大；随卫星运行速度的减小而增大，这一过程中引力对卫星做负功，又使卫星速度减小，直到在新的轨道上以新的速度运行，此时又有。4近地卫星五最原则所谓近地卫星，是指在距地面的高度远小于地球半径轨道上运行的卫星，此时Rh，h0。在“2”中得出的几个结果中，令h=0得人造地球卫星的几个极值是：向心加速度最大：（g为地面的重力加速度）向心力最大：环绕速度最大：角速度最大：运行周期最小：5同步通讯卫星五定原则同步通讯卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，卫星相对于地面静止，其周期与地球自转周期相等，即T=24h，将T值代入“2”中各结论表达式可得：，再加上共有五个确定值。6加速度相切相同原则人造地球卫星发射时一般经历三个阶段，先将其发射至距地球较近的环绕轨道1上，使卫星环绕地球做圆周运动。在适当的位置，如Q点改变卫星运行的切向速度大小，使其改变轨道绕地球做椭圆轨道2（转移轨道）运行，再在椭圆轨道的远地点P改变卫星运行的切向速度，使其在距地面较远的轨道3（运行轨道）上绕地球做圆周运动，如图2所示。在两轨道的相切处如图2中的Q、P两点，两次离地心距离相等，由万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星在两个轨道上运行经过两轨道相切点时的向心加速度相同。7速度近大远小原则行星绕太阳的运动轨迹一般是椭圆，卫星发射时在转移轨道的运动轨迹也是椭圆，太阳（或地球）处在椭圆的一个焦点上，当行星（或卫星）由近日（地）点向远日（地）点运动时，万有引力做负功，动能减小，速度减小，远日（地）点速度最小；当行星（或卫星）由远日（地）点向近日（地）点运动时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，近日（地）点速度最大。8能量定比原则卫星运行的动能计算：设卫星质量为m、轨道半径为r，由及得，卫星的动能为：卫星势能的计算：由库仑定律及电势的定义可得点电荷Q电场中的电势为：。与此类似，可由万有引力定律得地球引力场中的“引力势”为：。类似电荷在点电荷电场中某点电势能的计算，可得质量为m的卫星在距地心r处的引力势能为：。卫星的机械能为：。则：=1-2-1，利用这一比例关系，只要知道任一种能量，就可以算出另两种能量。9发射能量最小原则发射环绕速度为的近地卫星，所需发射能量最小。在赤道上，沿地球自转方向发射卫星，可以充分利用地球自转速度，减少发射能量。从理论上讲，这样发射卫星所需最小能量为：。2009年高考试题中的天体运行问题分类解析天体运行问题的求解与分析，是对万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合运用。有些新情境问题的分析还涉及物理建模能力，需要学生有较好空间想象能力核物理建模能力，有些估算问题还需要较好的数据处理能力与技巧。一、物理史问题例1（宁夏理综-14）在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（）A伽利略发现了行星运动的规律 B卡文迪许通过实验测出了引力常量C牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因 D笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献解析：行星运动定律是开普勒发现的，A错B对；伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，C错D对。本题选BD。例2（上海物理-8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿（）A接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想B根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F?m的结论C根据F?m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F?m1m2D根据大量实验数据得出了比例系数G的大小解析：根据大量实验数据得出了比例系数G的大小，是笛卡尔的贡献，D错。本题选ABC。【点评】这类问题主要考查人类探究天体运行规律，建立万有引力定律过程中的重要事实及重大发现，涉及与此有关的科学家的主要功绩。解答这类问题关键是要熟悉这段历史。二、行星运行问题例2（宁夏理综-15）地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的52倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为（）A019 B044 C23 D52 解析：天体的运动中，中心天体对行星的万有引力等于行星圆周运动的向心力，故有：解得：，可见木星与地球绕太阳运行的线速度之比，B正确。例3（四川理综-15）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为339年，直径23千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（）A B C D解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，故有，解得小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R1:R2；又由解得v1:v2，解得：v1:v2。 本题选A。【点评】行星的运动是匀速圆周运动，所需向心力等于中心天体对它的万有引力。三、人造地球卫星运行问题例4（北京理综-22）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响（）（1）推到第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期解析：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即 ，解得：（2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，而，解得：。例5（广东物理-5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道，发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图1所示。这样选址的优点是，在赤道附近（）A地球的引力较大 B地球自转线速度较大C重力加速度较大 D地球自转角速度较大解析：在发射人造卫星时可以借助物体随地球自转的线速度来发射，这样就可以减少发射提供的需要的能量，而在赤道位置物体随地球自转的线速度最大，B对；另外在赤道位置地球半径大，重力加速度小，万有引力小，A、C错；在地球上各处自转的角速度是相同的，D错。本题选B。例6（海南物理-6）近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1g2，则（）A B C D解析：卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有解得：（K为常数），在地面附近由于由重力等于万有引力，故有联立解得：，即g与成反比。本题选B。例7（全国理综I-19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的47倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为14小时，引力常量G66710-11Nm2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（）A18103kg/m3 B56103kg/m3C11104kg/m3 D29104kg/m3解析：对于近地卫星饶地球运动有：，而，代入已知数据解得：=29104kg/m3。本题选D。例8（安徽理综-15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（）A甲的运行周期一定比乙的长 B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小 D甲的加速度一定比乙的大解析：由公式可知甲的周期小，A错；由可知，甲碎片的轨道半径小，B错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，C错；碎片的加速度是由，可知甲的加速度比乙大，D对。本题选D。【点评】对于卫星的运行应把握四个基本原则。一是轨道决定一切，即卫星的运行速度、周期等都由轨道半径决定；二是速度影响轨道，即由于某种原因引起卫星运行速度的变化，必然会引起卫星轨道的变化，最后卫星将在另一新轨道上稳定运行；三是对于近地卫星，运行轨道等于地球半径，万有引力等于重力；四是同步卫星与地球自转同步，即卫星角速度等于地球自转解速度，同步卫星的距地高度（轨道半径）、线速度（角速度）、周期、加速度是定值。四、飞船问题例9（山东理综-18）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。如图2所示，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（）A飞船在变轨前后的机械能相等B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后澡圆轨道运动的加速度解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，A错；飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B对；飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C对。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，D错。本题选BC。【点评】飞船的变轨前后，由于推进火箭的做功，飞船的机械能不守恒，但飞船在同一轨道上的稳定运行过程中，机械能守恒。飞船在两轨道的相切处，飞船的加速度相同。五、环月问题例10（重庆理综-17）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700Km）（）A B C D解析：“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力，由可得：（M为月球质量），代入R11900Km、R21800Km，得。本题选C。 例11（福建理综-14）“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时（）Ar、v都将略为减小 Br、v都将保持不变Cr将略为减小，v将略为增大 Dr将略为增大，v将略为减小解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。本题选C。【点评】处理“环月”问题的思路和方法与处理人造地球卫星运行问题相同。六、黑洞问题例12（江苏物理-3）英国新科学家（New Scientist）杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（）ABCD解析：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：，又有，联立解得，带入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2，本题C。例13（天津理综-12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现。有一星体S2绕人马座A做椭圆运动，其轨道半长轴为950102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A就处在该椭圆的一个焦点上。观测到S2星的运行周期是152年。若将S2星的运行轨道视为半径r=950102天文单位的圆轨道。试估算人马座A的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为 (设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6710-11Nm2/kg2，光速c=30108m/s，太阳质量Ms=201030kg，太阳半径Rs=70108m，不考思相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A的半径R与太阳半径之比应小于多少（结果按大保留整数）。解析：（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向