第六章 物质中的电场.doc

第六章 物质中的电场教学要求：1、理解极化的概念和描写介质极化的宏观量的物理意义2、掌握极化强度与极化电荷、极化强度与电场强度的关系以及电位移矢量与极化强度、电场强度三者的关系3、掌握有电介质时的高斯定理 ，以及通过对称性分析，用高斯定理 求与的方法 4、掌握电介质中电场能的表达式教学重点：1、极化强度与极化电荷的关系2、极化强度与电场强度的关系3、介质中的高斯定理教学难点：1、实际物体的极化6.1 电介质的极化6.2 极化强度和极化电荷6.3 介质中的静电场6.4 介质中的高斯定理6.5 电介质中的静电能6.1 电介质的极化1、电介质的极化 相对介电常数（1）电介质的极化 电介质即绝缘体在外电场的作用下，介质内部与表面就会出现电荷，这种现象称为电介质的极化。极化所产生的电荷称为极化电荷（又称束缚电荷）。 极化是电介质对外电场的响应，是外电场对电介质作用的结果；感应是导体对电场的响应，是外电场对导体作用的结果。 一般物质在电场中即有极化也有感应。（2）相对介电常数 当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器电容的倍，是反映电介质特性的物理量，称为电介质的相对介电常数。2、电介质极化的微观模型 电介质的分子按其电结构的不同，可以分为两类：一类是无极分子，它的每个分子的正负电荷“重心”是重合的，分子的电偶极矩为零；另一类是有极分子，分子的正负电荷“重心”不重合，分子具有固有电矩，即。 无论有极分子介质或无极分子介质，当无外电场存在时，由于分子的无规则热运动，它们的总电矩为零，它们整体对外不显电性。把电介质放入电场中后，无极分子的正负电荷“重心”将发生相对位移，产生位移极化；有极分子的固有电矩将沿外场方向排列，产生取向极化。6.2 极化强度和极化电荷1、极化强度 极化强度矢量是描述电介质极化状态（包含极化的程度和极化的方向）的物理量，定义为介质内单位体积中分子电矩的矢量和，即：式中是体积元内各分子电矩的矢量和，是一个物理上的无限小量。 是空间点的函数，如果介质中各点的极化强度矢量大小和方向都相同，则称为均匀极化。否则，称为非均匀极化。 在真空中或介质未极化时，=0。2、极化电荷（1）极化电荷电量 即介质内部任何体积V内极化电荷的电量，等于极化强度对包围V的表面S的通量的负值。（2）极化电荷的面密度 在两种极化介质的交界面上，或者在介质的表面（实际上是介质与真空的交界面）上，存在面分布的极化电荷。极化电荷的面密度为 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。式中的法向单位矢量由第一种介质指向第二种介质。 当时，交界面有正的极化电荷。当时，交界面有负的极化电荷。当时，交界面无极化电荷。 当第二种介质是真空或金属时，则有 式中的为与之间的夹角。当时，；当时，；当时，。（3）极化电荷的体密度 不均匀介质内部有极化体电荷分布。极化电荷的体密度与极化强度的关系为 其中，在直角坐标系中 在柱坐标系中在球坐标系中 当为恒矢量时，介质内部无体分布的极化电荷=0。 当不是恒矢量时，只要介质是均匀的，一般在介质中都无体分布的极化电荷，只有在均匀介质中存在体分布的自由电荷的地方才会有体分布的极化电荷。6.3 介质中的静电场1、介质中的电场强度 在有介质存在时，空间任一点（介质内外）的场强是所有自由电荷产生的场强和所有极化电荷产生的场强的矢量和，即 2、极化强度与电场强度的关系对于大部分各向同性的电介质，当场强不太强时，极化强度与介质中的场强成正比，方向相同，即 式中，称为介质的极化率，它反映了介质极化难易的程度。对均匀介质，极化率是与位置无关的常数，对非均匀介质，极化率与位置有关，为介质的相对介电常数。3、用叠加原理求介质中场强的方法（1）根据公式求出介质表面的极化电荷及其分布。（2）根据自由电荷和极化电荷的分布，用直接积分法（若场的分布具有对称性时，可用高斯定理）分别求出自由电荷和极化电荷产生的场强。（3）利用公式求出总场强。4、例题例6.3-1 一圆柱状的电介质，截面积为S，长为L，被沿着轴线方向极化，已知极化强度沿x方向，且P=kx（k比例常数），坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示，试求极化电荷的分布情况以及极化电荷的总电量。解：极化电荷的体密度为在的端面上的极化电荷面密度为在的端面上的极化电荷面密度为极化电荷的总量为例6.3-2图（a）例6.3-2 计算一沿z方向均匀极化的介质球表面的极化电荷在z轴上产生的电场，设极化强度为，介质球的半径为R解法一：介质球表面的极化电荷面密度为在介质球表面上取一球带，如上图(a)所示，其上电量为球带上的电荷在Z轴上任一点产生的电势为球面上的电荷产生的总电势为 ，则有 ，又有因此，球外的场强为因此，球内的场强为解法二：由于介质球表面的极化电荷面密度 按余弦分布，可以等效为球心有相对微小位移的两个半径相同，等量异性的均匀带电球体叠加，如图（b）所示。均匀带电球体的电荷体密度为Nq，两带电球的球心相距，介质球在球内外任一点产生的电场等于这两个带电球产生的电场的叠加。对于球内任一点场，可由高斯定理求得，如图（c）所示，带正电的球体在P点产生的场为图（b）同理，带负电的球体在P点产生的场为图（c） P点的总场强为对于球外任一点的场，可把两个均匀带电球等效成一个电偶极子，如图（d）所示，其电矩为电偶极子在球外任一点的场为 图（d） 例6.3-3 两块无限大的金属平板，带有等量异号的自由电荷，电荷面密度为，两极之间充满均匀电介质，介质的极化率为，求介质内的场强。解：如图所示，在两板之间，自由电荷单独产生的电场为为垂直于平板的单位矢量，方向由正极板指向负极板。均匀介质表面的极化电荷为极化电荷产生的电场为介质中的场强为由得 ，得当整个电场内充满着均匀电介质时，介质中的场强等于自由电荷单独产生的电场强度的分之一。例6.3-4 在无限大的均匀电介质中，浸入一电量为的均匀带电导体球，球的半径为R，求介质中的场强，设介质的极化率为。解：极化电荷只分布在介质与球面的交界面和无限远处的介质表面上，如图所示。因为无限远处介质表面上的极化电荷在考察点A处的场可以忽略不计，故自由电荷和极化电荷在球外产生的电场为而式中E（R）为介质中的场强在球表面处的值，即把E（R）代入上式，得于是其中。例6.3-5 两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场仍是均匀场。解法1：分步极化法设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场，它使球均匀极化，极化强度为由引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为附加电场引起的附加极化，附加的极化强度为附加的极化强度产生的附加场强为附加场强又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强度为于是介质球内的场强等于自由电荷的场强和附加场强之总和，即根据 得以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率应比较小，同时极化不影响自由电荷的分布。解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为即是与极化强度的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为，则于是所以本题的结果表明：当介质未充满电场存在的空间时，介质中的场强不等于自由电荷单独产生的场强分之一，即 。6.4 介质中的高斯定理1、介质中的高斯定理 通过任意闭合曲面S的电位移的通量，等于该闭合曲面所包围的全部自由电荷的代数和，其数学表达式为 与所满足的高斯定理在形式上完全相似，但完全取决于自由电荷的分布，即，而不完全取决于自由电荷，即 ，还取于极化电荷。 只有当均匀的电介质充满整个电场存在的空间，或在两种介质交界面上，的切向分量连续（），或均匀介质表面是等势面时，仅取决于自由电荷分布。 电位移矢量是作描述介质中的电场而引入的一个辅助性物理量，没有直接的物理意义，它是一个空间点的矢量函数。2、与的关系 对一般介质，有 此式揭示了、和三个物理量之间的关系，它是普遍成立的。 对于各向同性介质，有 式中比例系数称为绝对介电常数。在特殊情况下，（即均匀的电介质充满场空间；在两种介质交界面上的切向分量连续；均匀介质表面是等势面），有 3、介质中的环路定理 若自由电荷是静止的，则极化电荷也是不随时间改变的，它们共同产生的电场是静电场，其保守场性质未变，仍满足静电场的环路定理，即 若空间还存在由变化的磁场产生的涡旋电场，则电场的环流不等于零，即：5、电场的边界条件 场矢量在交界面上满足的规律，称为场的边界条件。（1）在两种介质的交界面上，当有面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量发生突变，不连续，即 （2）在两种介质的交界面上，当无自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的，即 （3）在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量不连续，有突变，即 （4）在两种介质的交界面上，电场强度的切向分量（沿界面的分量）是连续的，即 （5）在两种介质的交界面上，电位移矢量的切向分量是不连续的，有突变的，即 （6）电位移线在经过界面处将发生折射，如图所示，设和分别为和与界面法线的夹角，则有6、用介质中的高斯定理求场强方法（1）进行对称性分析，确定能否用高斯定理求解。（2）选择适当的高斯面。（3）利用高斯定理，求出。（4）用公式，求出。此外，利用，可求出极化强度；利用可求出极化电荷；由求出电势分布；由求出电容C。7、例题例6.4-1 一平行板电容器，中间插入厚度比电容器两极板之间距离略小的均匀电介质平板，介质板与电容器极板平行，当电容器带电后，试粗略地画出电容器内等各矢量的分布以及电荷分布和电势分布情况。解：（1）如图所示取高斯面，由介质中的高斯定理得（2）电场强度分别为（3）在隙缝中，在介质中极化强度为（4）在电容器内部自由电荷产生的场强为（5）极化电荷产生的场强为它的方向与相反。（6）在介质表面上极化电荷为（7）取带负电的极板为电势为零电势，则电势分布为各物理量的分布情况如图所示。例6.4-2 半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b，相对介电常数为的均匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为的均匀气体电介质，假定，讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势。解：（1）空间各点的电位移矢量由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量在金属球内，在固体介质内，在气体介质内，（2）空间各点的电场强度在金属球内，在固体介质内，在气体介质内，（3）空间各点的极化强度在金属球内，在固体介质内，在气体介质内（4）电荷分布在金属球表面上自由电荷分布在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布在两种介质的交界面上极化电荷分布（5）空间各点的电势金属球的电势为固体介质中任一点的电势为气体介质中任一点的电势为各物理量分布情况如图所示。例6.4-3 设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为 R，其永久极化强度为P0为恒量，若取的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为在球内由 关系得在球外由 （球外为真空）关系得计算结果表明：即使没有自由电荷，也不为零，说明与极化电荷并不是无关系的。与的关系如图所示。例6.4-4 设空间为两种不同的均匀电介质所充满，两种介质的交界面是一个平面，在交界面上有一个电量量q的点电荷，试求空间各点的电场强度和电移矢量。解：由于点电荷位于界面上，在两介质的交界面上，电场强度只有切向分量，即，因而，除点电荷所在处外，分界面上无极化电荷分布，在点电荷与介质的“交界面”上，将出现极化电荷，这个极化电荷是与点电荷重合在一起的点电荷，设极化电荷的电量为，由于电量为的点电荷激发的电场具有球对称性，其场强为由物态方程，得由介质中的高斯定理，得由此得即于是例6.4-5 研究介质的介电性与导电性，电阻和电容的关系。设想在两导体之间充满某种各向同性的均匀电介质，其相对介电常数为 ，使两导体带等量异号的电荷，如图（a）所示，试求这导体组的电容。另一是作为电阻使用，设想在导体之间充满某种各向同性的，均匀的欧姆导电介质，其电导率为v使两导体之间维持一恒定的电势差，其值与这两导体作电容器时的电势差相等，如图（b）如示，试求这导体组的电阻。解：在第一种情况中，两导体构成两个等势面，其间存在静电场，两导体间的电势差为导体上的电量为导体组的电容为在第二种情况中，两导体也构成两个等势面，其间存在稳恒电场，两导体间的电势差为而电流由欧姆定律，导体组的电阻为比较两个结果得一切实际的电介质总有一定的电导率，任何导体也都具有介电常数。其实际介质中的电容与相应电阻之间满足上式关系。例6.4-6两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即或但由上两式解得 图（a） 由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为由于 ，于是在两种介质的交界面上会积累起电荷，积累起来的电荷所造成的附加电场必定削弱电流密度较大一方的电场，增强电流密度较小一方的电场。随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，小的一方电流逐渐增强，直到电流密度相等后，才达到稳定。设想在界面附近作一圆柱形的封闭曲面，使底面与交界面平行，如图（b）所示。把电流连续性方程应用于这一封闭曲面，并注意到高斯定理，得 图（b） 或 但 消去得 令 上式变为解此方程得其中A为积分常数，可由初始条件求得。 ，得于是得同理电流密度为界面上的电荷密度为 图（C）达到稳定值。此时有 ，电流密度法向连续。 和 时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。6.5 电介质中的静电能1、电介质中的静电能 对线性介质，有 式中，和为介质中自由电荷的体密度和面密度，为介质中所有电荷在处和处产生的电势。介质的存在使介质中的电势较比真空中的电势减小。2、电介质中的电场能（1）能量密度 单位体积内电场所具有的能量称为电场的能量密度，即 对于各向同性线性电介质，有 （2）电场能量 在任意分布的电场中，体积为V的空间的电场能量为 3、电场能量计算方法（1）求出电场中电位移矢量及场强的分布。（2）利用公式，求出电能密度。（3）利用公式求出电场的总能量。其中，积分遍及电场存在的所有空间。4