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第二讲 函数的连续性 中值定理 积分一连续性定理：设在上Riemann可积，则，使在处连续。证明：作分划。因在上Riemann可积，取，存在，使（其中，以下类似定义。） 所以 ，因此至少有三个，使。取使。作区间，则在上Riemann可积。取，存在，使于是，因此至少有三个，使。取使。如此继续可以得到一个闭区间套使得（1）；（2）在上的上下确界满足。由闭区间套定理知。下证在处连续。事实上，有。而由上述构造过程知，有，此时故在处连续。例1若可积，则在连续点处恒等于0。证明：必要性：若在连续，但，则有，于是，矛盾。充分性：（取连续点）。例2求连续函数，使得且。（答案：。）例3问取什么值时函数（1）处处连续；（2）处处可导；（3）导函数连续？（答案：（1）；（2）；（3）。）例4设在上有定义，在处可导，且满足（1）；（2），则。分析：+，其中。二中值定理例1设在上可导，且。证明：对任意正数，必存在内的两个不同的数与，使。（浙江2003年赛题）证明：设01，令C0=，则0 C01。因且在0, 1上连续，由介值性定理存在，使得= C0。现在在0,c上利用拉格朗日中值定理，存在，有。同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有。于是 。命题得证。三积分例1已知在0，1上连续，。求证：0，1使得。证明：假设命题不成立，即有，由已知易得。（1）当时，与在0，1上连续，矛盾。（2）当不恒等于4时，即有这样的点使，那么=，矛盾。所以命题成立，即0，1使得。例2 求满足下列性质的曲线C：设为曲线上任一点，则由曲线所围成区域的面积A与曲线和C所围成区域的面积B相等。（浙江2003年赛题）例3 证明：。（浙江2002年赛题）分析：令。例4 证明：。（浙江2002年赛题）分析：令，再利用积分第二中值定理。例5。（浙江2003年赛题）分析：令。例6计算分析：令。补充的例题见数学分析中的典型问题与方法一书。课外练习题：1 设连续，且当时，求。（浙江2002年赛题）2 求积分。（浙江2002年赛题）3 设在上连续，且， ，证明：存在，使。4设函数在上连续，在内可微，且，证明存在，使得：. 5已知当时，有，证明：。6设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. 证明：存在
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