第15 单元 抽样方法、正态分布.doc

抽样方法、正态分布 重点、难点讲解： 1抽样的三种方法： 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。三种方法的异同比较见课本P22表。 2了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3正态曲线及其性质 正态分布常记作N()，其正态分布函数：f(x)=, x(-,+)。 把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x(-,+)。 正态图象的性质： 曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 曲线关于直线x=对称。 曲线在x=时位于最高点。 当x时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 4一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(xx0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。 任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。 5了解“小概率事件”和假设检验的思想。 知识应用举例： 例1为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，503 第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。 第三步：确定分段间隔k=10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，10；第二部分的个体编号11，12，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，500。 第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 第五步：依次在第二部分，第三部分，第五十部分，取出号码为17，27，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 例2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h400h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h以上的概率； （5）估计总体的数学期望。 思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。 解：（1）样本频率分布表如下： （2）频率分布直方图如下： （3）从频率分布表可知，寿命在100h400h的元件出现的概率为0.65；（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。 （5）样本的期望为： 所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。例3正态总体为=0, =1时的概率密度函数是f(x)=, x(-, +) , （1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 证明：（1）任意的xR，f(-x)=, f(x)是偶函数。 （2）任取x1x20，则， ， ，即f(x1)f(x2)。 这说明f(x)在(-,0)上是递增函数， 同理可证f(x)在(0, +)上是递减函数。 例4随机变量服从N(0,1)，求下列值。 （1）P(2.55) （2）P(-1.44) （3）P(|1.52) 思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(axb)=(b)-(a)；p(xx0)=1-p(xx0)。 解：（1）P(2.55)=1-p(2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。 （2）P(-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。 （3）P(|1.52)=p(-1.521.52)=(1.52)-(-1.52)=2(1.52)-1=20.9357-1=0.8714。 例5设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x), x(-,+)。 （1）求，；（2）求p(|x-1|)及p(1-x1+)。 思路分析：对照正态曲线函数，可以得出，；利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。 解：（1）整理得：f(x)=，所以，=1, ，故。 （2）p(|x-1|)=p(1-x1+)=F(1+)-F(1-) =()-()=(1)-(-1)=2(1)-1 =20.8413-1=0.6826。p(1-x1+2)=F(1+2)-F(1-) =()-()=(2)-(-1)=(2)+(1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。 例6某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60, 16)， （1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？ （2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？ 思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。 解：设x为行车时间。 （1）走第一条路及时赶到的概率为：P(0x70)=(2)=0.9772。 走第二条线路及时赶到的概率为： P(0x7