第四讲 可大伯.doc

第 四 讲 独立性一、 教学目标让学生学习随机变量的独立性，全概率公式和贝叶斯公式。二、 教学重点独立性，全概率公式和贝叶斯公式三、 教学难点全概率公式四、教学内容和要点 (三) 独立性 一个盒子里装有5个乒乓球，其中3个新球、2个旧球。每次任取一个，有放回地抽取两次，记A=“第一次取到新球”，B=“第二次取到新球”，则有，也就是说事件A的发生并不影响事件B发生的概率。由概率的乘法公式 。定义1-8 称两个随机事件A、B是相互独立的，如果 (1-6)显然有下面的结论：定理1-1 若P (A)0，则与“A、B相互独立”等价。 在实际应用时，一般不是根据定义，而是由实际经验知道A、B独立，然后利用 (1-6) 式计算P (A B)。 例1-17 甲乙俩人同时向目标射击，甲命中的概率是0.6，乙命中的概率是0.5。 求目标被击中的概率。 解 设A=“甲命中目标”，B=“乙命中目标”，C=“目标被击中”，由加法公式:,由于甲乙俩人同时向目标射击，互不影响，可以认为A，B是相互独立的，所以,。关于独立性有如下定理定理1-2 若下列四对事件A、B；A、；、B；、中有一对独立，则另外三对也独立。证明 这里只证明“A、B独立，则A、也独立”，其余类同。因为，由互不相容的加法公式知 。再由A、B独立，所以所以A、也独立。定义1-9 称A、B、C是相互独立的，若以下式子同时成立注意，如果事件A、B、C仅满足前三个等式，则称A、B、C两两独立。由于由前三个等式不能推出第四个等式，所以两两独立和相互独立是不同的概念。定义1-10 如果从 n 个事件中任意取出 k 个事件( k =2，3，n )，都有所取出事件积的概率等于事件概率的积，则称是相互独立的。例1-18 一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠度，由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠度。设构成系统的每一个元件的可靠度均为 p (0 p 0 ( i =1，2，n )；(2) (完全性)，则对任一事件B都有 (1-7)证明 见图1-11 ，左边 n 个事件是互不相容的，由加法公式和乘法公式 例1-20 某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。产量分别占总产量的25%、35%、40%。如果每个车间成品的次品率分别占其产量的5%、4%、2%，现从全厂产品中任意抽取一个，求抽到次品的概率。解 设分别是抽到甲、乙、丙车间生产的产品，B=“抽到一个次品”。由全概公式得 (二) 贝叶斯公式 (逆概公式)由乘法公式,移项，,又由全概公式, 所以， j = 1，2，n 。 (1-8) 这个公式就是贝叶斯(Bayes)逆概公式。它说明，如果当且仅当n 个互不相容事件中任一事件发生时，事件B才可能发生；并且已知发生的概率P ()及B在发生下的条件概率P (B |)，现在我们进行了一次试验，如果B发生了，则对于事件的概率应该给予重新估计，这就是要计算在B发生下的条件概率P (|B) 。 例1-21 某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品。产量分别占总产量的25%、35%、40%。如果每个车间成品的次品率分别占其产量的5%、4%、2%，现从待出厂的产品中任意抽检，查出次品一个，问这是由甲车间生产的概率是多少。 解 设分别是抽到甲、乙、丙车间生产的产品，B=抽到一个次品。由题意知，； 。代入逆概公式 例1-22 一部机器，根据以往经验，调整良好时，产品合格率90 % ，未调好时，产品合格率30 % 。每天早上机器开动时，调整好的概率是75 %，求某天早上，第一件产品是合格品时，机器调好的概率。 解 设A=“机器调好”，B=“产品合格”，已知，由逆概公式 。 这里，概率75 % 调好是根据以往经验得到的，叫先验概率，而试生产后，得到新的信息生产第一件产品是合格品，然后再对机器的状态加以判断，得到现在机器调好的概率90 %，这叫后验概率。在实际应用中，这种后验概率，能帮助我们对事件的最新状况有进一步的了解。6 n重伯努利试验定义1-11 若试验E只有两个结果：，称E为伯努利试验。伯努利试验中，若，则。定义1-12 E为伯努利试验，将E在相同条件下，相互独立地重复地进行n 次，这一串重复独立的试验称为n重独立重复试验，又称为n重伯努利试验。例1-23 一批产品的废品率是0.1，每次任意抽一个，有放回地抽三次，求三次抽取中恰好有两次取到废品的概率。解 设B=“三次抽取中恰好有两次取到废品”， 重复三次抽取，每次一个的全部结果有八种情况，分析如下 三次都是废品 =( 废、废、废 )； 有两次是废品 =( 正、废、废 )；=( 废、正、废 )；=( 废、废、正 )； 有一次是废品 =( 正、正、废 )；=( 正、废、正 )；=( 正、正、废 )； 三次都是正品 =( 正、正、正 )。显然，这8种基本事件出现的概率不全相同，这与古典概型不同，由独立性可知； ，所以。下面把这个例子推广。例1-24 设废品率是p ( 0 p 1 )，每次任意抽一个，有放回地重复抽 n 次，求n次抽取中恰好有 k 次取到废品的概率。解 设B=“ n 次抽取中恰好有 k 次取到废品”，它是由下列互不相容事件组成(废品记为F，正品记为Z)即在 n 次抽取中，只要是取到了 k 个次品就可以；因此有 种取法，所以 ，而 ，因而 。 (1-9)一般，我们有伯努利定理设一次试验中，事件B发生的概率是p ( 0 p 1 )，则在n 重伯努利试验 ( 即n 次独立重复试验 ) 中，B恰好发生了 k 次的概率 (1-10)这个公式也叫做二项概率公式。 例1-25 100件产品，正品率0.6 ，有放回地抽取10件，求至少有两件是正品的概率；若不放回地抽取，情况如何?解 设B=“至少有两件是正品”，因为每次抽取是独立的，结果要么是正品要么是次品，由二项概率公式若考虑不放回地抽取由此可见，当产品数量相当大时，不放回的情况与有放回的情况相差不大，在实际计算中，为了方便，不放回可以近似地当做有放回来处理，因此可以用独立试验概型计算类似问题。本章小结(1) 本章介绍了随机试验，样本空间，随机事件的概念；根据频率的稳定性，给出了随机事件概率的统计定义，在此基础上给出了概率的公理化定义。(2) 介绍了必然事件，不可能事件的概念，介绍了事件的包含，相等，并，交，逆，差及其16条运算法则与事件的互不相容性和独立性。这些基本关系和基本运算能够帮助我们深入了解随机事件之间的联系。(3) 介绍了概率的加法公式、减法公式、逆事件概率公式，以及条件概率、概率乘法公式、独立性、全概和逆概公式，这些公式应充分理解，灵活应用。(4) 给出了古典概型