行列式的常用计算方法-北京交通大学数学课程.pdf

几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 行列式的常用计算方法行列式的常用计算方法 一 利用行列式的性质进行计算一 利用行列式的性质进行计算 行列式性质小结 行列式性质小结 1 可以按照任何一行展开计算行列式 选择零元较多的一行 可以按照任何一行展开计算行列式 选择零元较多的一行 2 转置不改变行列式的值 对行成立的性质对列也成立 转置不改变行列式的值 对行成立的性质对列也成立 3 行列式的初等变换 交换反号 倍加不变 倍乘乘于外 区分矩阵的数乘 行列式的初等变换 交换反号 倍加不变 倍乘乘于外 区分矩阵的数乘 4 行列式的加法分解 区分矩阵的加法分解 行列式的加法分解 区分矩阵的加法分解 5 有一行元素全为零 或者有两行元素对应成比例 则行列式的值为零有一行元素全为零 或者有两行元素对应成比例 则行列式的值为零 例例 1 课本 69 页 1 6 计算行列式 解解 方法一 第 1 行乘以 1 加到第 2 3 4 行 得到 利用行列式中若两行元素对应成比例 则行列式的值为零 可以证明上述行列式 的值为 0 方法二 利用 1 行列式关于加法的分解 2 行列式中若两行元素对应成比例 则行列式的值为零 也可以证明上述行列式的值为 0 例例 2 计算行列式 解解 当 n 1 111 Dab 当 n 2 21221 Daabb 当3n 类似于例 1 进行计算 得到0 n D 1 1121314 2 1222324 4 3 1323334 4 1424344 1111 1111 1111 1111 a ba ba ba b a ba ba ba b D a ba ba ba b a ba ba ba b 1 1121314 121221321421 4 131231331431 141241341441 1111 a ba ba ba b b aab aab aab aa D b aab aab aab aa b aab aab aab aa 11121 21222 12 n n n nnnn ababab ababab D ababab 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 例例 3 证明 奇数阶反对称矩阵的行列式必为 0 证明证明 设 A 为 n 阶矩阵 n 为奇数 则 AT A 因而 A AT A 1 n A A 故 A 0 注注 偶数阶反对称矩阵的行列式未必为 0 例如 2 0 0 b b b 二 行 列 和相等的行列式二 行 列 和相等的行列式 方法 将各列 行 加到第方法 将各列 行 加到第 1 列 行 列 行 例例 4 课本 69 页 1 4 计算行列式 解解 第 2 3 4 列加到第 1 列 得到 第 1 行乘以 1 加到第 2 3 行 得到 第 2 列加到第 1 列 得到 第 1 行加到第 3 行 得到 4 0 0 0 0 abc acb D bca cba 4 11 100 100 100 abcabc cbacbbc Dabcabc cacabac babaabc acbbc abc cabac baabc 4 acbbc Dabcccab bacb 4 0 acbcbbc Dabccab bacacb 4 0 0 acbcbbc Dabccab abc abcacb cab cab 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 例例 5 课本 70 页 3 1 12n 的情况 计算行列式 解解 第2 3 n 列加到第 1 列 得到 例例 6 设 123 xxx 是 3 0 xpxq 的三个根 计算行列式 解解 第 2 3 列加到第 1 列 得到 由 123 xxx 是 3 0 xpxq 的三个根 可知 3 123 xpxqxxxxxx 故 332 123121323123 xpxqxxxxxx xx xx xxx x x 比较 2 x的系 数 可知 123 0 xxx 故 3 0 D 三 将已知行列式化为箭形行列式三 将已知行列式化为箭形行列式 如下四类行列式称为箭形行列式 如下四类行列式称为箭形行列式 12 12 12 n n n n aaa aaa D aaa 2 2 1 2 2 1 11 1 1 1 1 00 00 n n n ni i n n nn n ii ii aa aa Da aa aa aa 123 3312 231 xxx Dxxx xxx 12323 312312 12331 xxxxx Dxxxxx xxxxx 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 一个行列式化为箭形行列式后 对如上前两种箭形行列式进行一个行列式化为箭形行列式后 对如上前两种箭形行列式进行列列初等倍加 化为初等倍加 化为 上 下 三角行列式上 下 三角行列式 对如上后两种箭形行列式进行 对如上后两种箭形行列式进行行行初等倍加 化为关于次对初等倍加 化为关于次对 角线的 上 下 三角行列式 角线的 上 下 三角行列式 例例 7 课本 70 页 3 1 课本 89 页 1 5 是其特例 计算行列式 解解 第 1 行乘以 1 加到第2 3 n 行 得到箭形行列式 将第i列 2 3 in 乘以 1 i 加到第1列 得到 例例 8 计算行列式 nnnn n n n bababa bababa bababa D 1 1 1 21 22212 12111 解解 1 若0 1 a 将行列式的第1行乘以 1 i a a 加到第i行 2 3 in 得到箭 型行列式 1 11 21 1 21 2 1 1 1 1 1 1 10 0101 01001 n n iin i n nii i n ababab abababa a Dab a a 112 122 12 0 1 2 n n ni nn aaa aaa Din aaa 112 12 1 0 0 n n n aaa D 11 11212 21 22 11 1 0000 0000 nn inin ii ii nn i nj ji i nn aaaaaaa a D 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 2 若0 1 a 则 222 32 3 23 33 1 23 1 1 1 n n nn nnnn a ba ba b a ba ba b DD a ba ba b 方法同0 1 a 做类似讨论 最终可得 n k kkn baD 1 1 注 注 事实上 若某0 i a 或0 i b 即按该行 或该列 计算 结果即知 若 诸0 i a 或0 i b ni 2 1 则1 n D 结果亦然 四 加边法四 加边法 例例 9 同例7 计算行列式 解解 添加新的一行和一列 保持 n D不变 即 第1行乘以 1加到除第1行外的每一行 得到箭形行列式 类似于例7对列进行操作 可得结论 例例10 同例8 计算行列式 112 122 12 0 1 2 n n ni nn aaa aaa Din aaa 12 112 122 12 1 0 0 0 n n nn nn aaa aaa Daaa aaa 12 1 2 1 100 100 100 n n n aaa D 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 nnnn n n n bababa bababa bababa D 1 1 1 21 22212 12111 解解 添加新的一行和一列 保持 n D不变 即 12 11 11 2 2 1222 12 1 10 01 01 n n nn nnnn bbb ababab Da ba ba b a ba ba b 第1行乘以 i a 加到第1i 行 1 2 in 得到箭形行列式 12 1 2 1 100 010 001 n n n bbb a Da a 类似于例8对列进行操作 可得结论 注 注 例10的解法相比例8 省去了对 i a是否等于0的讨论 更加简洁 五 将已知行列式化为范德蒙行列式五 将已知行列式化为范德蒙行列式 例例 11 课本70页3 2 计算行列式 解解 从第i行提出 n i a 1 2 1in 得到 11 1111 11 11 222222 11 11 111111 0 1 2 1 nnnn nnnn ni nnnn nnnnnn nnnn nnnnnn aaba bb aaba bb Dain aaba bb aababb 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 例例 12 课本88页1 3 计算行列式 解解 最后一行经过n次相邻的行交换变为第1行 再让新得到行列式的最后一行经 过n 2次相邻的行交换变为第2行 依此类推 可以将 n D化为范德蒙行列式 六 三对角行列式六 三对角行列式 如下形式的行列式称为三对角行列式 如下形式的行列式称为三对角行列式 方法 按照第一行 列 或者最后一行 列 展开得递推式方法 按照第一行 列 或者最后一行 列 展开得递推式 12nnn DDD 1111 111 1 222 222 11 1111 11 11111 111 1 1 1 1 nn nn nn j nnk nii iinj k jk nnnnn nnn nnnnn nnn bbb aaa bbb aaa b b Daa aa bbb aaa bbb aaa 111 1 1 1 111 nnn nnn n aaan aaan D aaan 1 1 22 0 111 1 2 00 111 1 1 1 1 1 1 n nn n n nj i nnn nnn n n nj inj i aaan Dajai aaan aaan ijji 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 具体分为三种情况具体分为三种情况 1 若阶数若阶数 n 较小 直接利用递推式进行计算 较小 直接利用递推式进行计算 2 若阶数较大 将递推式变形为若阶数较大 将递推式变形为 112 nnnn DpDq DpD 3 数学归纳法 多用于证明题 数学归纳法 多用于证明题 例例 13 计算行列式 解解 按照第1行展开 得到 543323 22345 32 1 1 1 1 1 1 Da DaDaa DaDaD aaDa aDaaaaa 例例 14 课本89页1 6 计算行列式 解解 按照最后一列展开 得到 12 2 nnn DDD 故 11232 1 nnnn DDDDDD 因此 12 121 nn DDnDn 例例 15 计算行列式 解解 按照第1列展开 得到 12 56 nnn DDD 故 5 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa Daa aa a 21000 12100 01200 00021 00012 n D 53000 25300 02500 00053 00025 n D 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 3 11232 32 3 2 3 2 nn nnnn DDDDDD 因此 112 122 122111 2323 23 23 23 23 23 232332 nnnnn nnnn nnnnnnn DDDD 例例16 课本70页2 3 证明行列式 证明证明 采用数学归纳法 具体证明见课件PPT 七 七 Hessenberg型行列式型行列式 如下形式的行列式称为如下形式的行列式称为 Hessenberg 型行列式 型行列式 方法 展开得递推式 或者利用行列式的性质化简降阶方法 展开得递推式 或者利用行列式的性质化简降阶 例例17 课本88页1 2 计算行列式 解解 按照第1列展开 得到 1nnn DxDa 故 21 21211 nn nnnnnnnn Dx xDaax Dxaaxa xa 例例18 课本69页1 7 计算行列式 cos1000 12cos100 012cos00 cos 0002cos1 00012cos n Dn 1221 1000 0100 0000 0001 n nnn x x x D x aaaaxa 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 解解 将第i列加到第1列 2 3 in 得到 例例19 计算行列式 解解 将第1列加到第2列 得到 再将第2列加到第3列 新得到的第3列加到第4列 依此类推 得到 1231 11000 02200 00022 00011 n nn D nn nn 1 1 231 2 01000 1 02200 1 2 00022 00011 n n nn nn n D nn nn 11 22 3 11 000 000 0000 000 1231 n nn aa aa a D aa nn 1 22 3 11 0000 000 0000 000 11231 n nn a aa a D aa nn 1 2 13 121 1 0000 0000 0000 1 1 2 0000 1 1 112123 22 n nn n a a a nn Da aa a n nn n 几何与代数 B 行列式的常用计算方法 任课教师 冯 弢 2014 10 八 相邻行 列 元素差八 相邻行 列 元素差1的行列式的计算的行列式的计算 方法 自第方法 自第1行 列 开始 前行 列 减去后行 列 行 列 开始 前行 列 减去后行 列 例例20 计算行列式 解解 对 n D 进行n 1次行初等倍加变换 21321 nn rrrrrr 得到 将