上海市松江区2020 届高三一模数学试卷.pdf

1 上海市松江区上海市松江区 2020 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷 2019 12 一一 填空题 本大题共填空题 本大题共 12 题 题 1 6 每题每题 4 分 分 7 12 每题每题 5 分 共分 共 54 分 分 1 已知集合 10 Ax x 0 1 2 B 则AB I 2 若角 的终边过点 4 3 P 则 3 sin 2 3 设 1 i 2i 1i z 则 z 4 25 2 x x 的展开式中 4 x的系数为 5 已知椭圆 22 1 94 xy 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 若椭圆上的点P满足 12 2 PFPF 则 1 PF 6 若关于x y的二元一次方程组 42mxym xmym 无解 则实数m 7 已知向量 1 2 a r 3 bm r 若向量 2 ab rr b r 则实数m 8 已知函数 yf x 存在反函数 1 yfx 若函数 2xyf x 的图像经过点 1 6 则函数 1 2 logyfxx 的图像必经过点 9 在无穷等比数列 n a中 若 12 1 lim 3 n n aaa 则 1 a的取值范围是 10 函数 axb y cxd 的大致图像如图 若函数图像经过 0 1 和 4 3 两点 且1x 和2y 是其两条渐近 线 则 a b c d 11 若实数 0a b 满足abcabc 22 1ab 则实数c的最小值为 12 记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 集合 1 2 3 4 5 6 ij Ma aA A i jij r ruuuu r 在M中任取两个元素m ur n r 则0m n ur r 的概率为 二二 选择题 本大题共选择题 本大题共 4 题 每题题 每题 5 分 共分 共 20 分 分 13 已知l是平面 的一条斜线 直线m 则 A 存在唯一的一条直线m 使得lm B 存在无限多条直线m 使得lm C 存在唯一的一条直线m 使得l mD 存在无限多条直线m 使得l m 2 14 设 x y R 则 2xy 是 x y中至少有一个数大于 1 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 15 已知 b c R 若 2 xbxcM 对任意的 0 4 x 恒成立 则 A M的最小值为 1B M的最小值为 2 C M的最小值为 4D M的最小值为 8 16 已知集合 1 2 3 10 M 集合AM 定义 M A为A中元素的最小值 当A取 遍M的所有非空子集时 对应的 M A的和记为 10 S 则 10 S A 45B 1012C 2036D 9217 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 5 题 共题 共 14 14 14 16 18 76 分 分 17 如图 圆锥的底面半径2OA 高6PO 点C是底面直径AB所对弧的中点 点D 是母线PA的中点 1 求圆锥的侧面积和体积 2 求异面直线CD与AB所成角的大小 结果用反三角函数表示 18 已知函数 2 2 3sin cos2sinf xxxx 1 求 f x的最大值 2 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 若 0f A b a c 成等差数列 且2AB AC uuu r uuu r 求边a的长 3 19 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用 其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障 碍物之间的距离 并结合车速转化为所需时间 当此距离等于报警距离时就开始报警提醒 等于危险距离时就自动刹车 某种算法 如下图所示 将报警时间划分为 4 段 分别为准备 时间 0 t 人的反应时间 1 t 系统反应时间 2 t 制动时间 3 t 相应的距离分别为 0 d 1 d 2 d 3 d 当车速为v 米 秒 且 0 33 3 v 时 通过大数据统计分析得到下表 其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化 0 5 0 9 k 阶段0 准备1 人的反应2 系统反应3 制动 时间 0 t 1 0 8t 秒 2 0 2t 秒 3 t 距离 0 20d 米 1 d 2 d 2 3 1 20 dv k 米 1 请写出报警距离d 米 与车速v 米 秒 之间的函数关系式 d v 并求0 9k 时 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施 仍以此速度行驶 则汽车撞上固定 障碍物的最短时间 精确到 0 1 秒 2 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶 报警距离均小于 80 米 则汽车的行驶速度应 限制在多少米 秒以下 合多少千米 小时 4 20 设抛物线 2 4yx 的焦点为F 经过x轴正半轴上点 0 M m的直线l交 于不同的 两点A和B 1 若 3FA 求点A的坐标 2 若2m 求证 原点O总在以线段AB为直径的圆的内部 3 若 FAFM 且直线 1 l l 1 l与 有且只有一个公共点E 问 OAE的面积 是否存在最小值 若存在 求出最小值 并求出M点的坐标 若不存在 请说明理由 21 已知数列 n a满足 n a N n N 当2kn k N 时 2 n n a 当2kn k N 时 1nn aa 记数列 n a的前n项和为 n S 1 求 1 a 3 a 9 a的值 2 若2020 n S 求n的最小值 3 求证 2 42 nn SSn 的充要条件是 21 1 n a n N 5 参考答案参考答案 一一 填空填空题题 1 1 2 2 4 5 3 14 405 46 2 7 3 2 8 4 3 9 11 2 0 33 3 U10 2 1 1 1 11 2 2 12 8 51 二二 选择选择题题 13 B14 A15 B16 C 三三 解答题解答题 17 1 侧面积4 10 体积8 2 14 arccos 14 或arctan 13 18 1 2sin 2 1 6 f xx 最大值为 1 2 3 A 2a 19 1 2 20 20 v dv k 2020 1213 1 1818 dv t vv 秒 2 2 2080 20 v dv k 0 5k 时 20v 米 秒 合 72 千米 小时 20 1 2 2 2 2 40OA OB uur uuu r 证明略 3 最小值 2 3 0 M 21 1 1 0a 3 0a 或 1 9 0a 或 1 2 115 3 略 20 解 1 由抛物线方程知 焦点是 1 0 F 准线方程为1x 设 A x1 y1 由 FA 3 及抛物线定义知 x1 2 代入 2 4yx 得2 2y 所以 A 点的坐标 2 2 2 A或 2 2 2 A 4 分 2 设 A x1 y1 B x2 y2 设直线 AB 的方程是 x my 2 联立 2 2 4 xmy yx 消去 x 得 y2 4my 8 0 由韦达定理得 12 12 4 8 yym y y 6 分 11221212 OA OBx yxyx xy y 222 1212 1212 480 4416 yyy y y yy y 故AOB 恒为钝角 故原点O总在以线段 AB 为直径的圆的内部 10 分 6 3 设 A x1 y1 则 x1y1 0 因为 FA FM 则 m 1 x1 1 由 m 0 得 m x1 2 故 M x1 2 0 故直线 AB 的 斜率 KAB 1 2 y 因为直线 l1和直线 AB 平行 设直线 l1的方程为 1 2 y yxb 代入抛物线方程 得 2 11 88 0 b yy yy 由题意 2 11 6432 0 b yy 得 1 2 b y 12 分 设 E xE yE 则 1 4 E y y 2 11 41 E x yx 11 11 11 11 001 411 12 22 14 1 OAE yx Sxy xy xy 14 分 当且仅当 11 11 4yx xy 即 22 11 4yx 时等号成立 由 22 11 2 11 4 4 yx yx 得 2 11 44xx 解得 1 1x 或 1 0 x 舍 15 分 所以M点的坐标为 3 0 M min 2 OAE S 16 分 21 解 1 因 2 1a 12 aa 且 1 a是自然数 1 0a 2 分 4 2a 34 0aa 且 34 a a都是自然数 3 0a 或 3 1a 3 分 16 8a 91016 08aaa 且 i aN iN 9 0a 或 9 1a 4 分 2 1 2 2 k k akN 当 1 22 kk n n kN 时 111 1 2122232 02 kkkk k aaaa 由于 n aN 所以 1 2 1 k m am 或m 1 1 2 3 21 k m 6 分 64 max 01 12 1234 128 1216 S 23458916 173233 1232 1714 22222 128 max 6465 7142794 2 S 71420202794 64128n 8 分 又20207141306 123501275130612350511326 所以 min 6451115n 10 分 3 必要性 若 2 42 nn SSn 7 则 1 22 422 nn n SS 1 2221 4 21 2 nn n SS 得 11 212221 41 nnn aaanN 11 分 由于 1 1 21 22 0 1 n n a a 或 1 1 21 22 1 2 n n a a 或 1 1 21 22 0 2 n n a a 且 21 0 n a 或1 只有当 11 212122 1 1 2 nnn aaa 同时成立时 等式 才成立 21 1 n anN 13 分 充分性 若 21 1 n anN 由于 1 2122232 12 nnnn n aaaa 所以 2 2 n n k ak nNkNk 即 21 1 n a 22 2 n a 23 3 n a 1 21 21