行列式性质的运用.doc

第3卷第1期南京审计学院学报 V013，No12006年2月Journal of Naniing Audit UniversityFeb，2006行列式性质的运用耿锁华(南京审计学院应用数学系，江苏南京210029)摘要本文运用多项式方程根的理论和行列式性质巧妙计算行列式，同时给出范德蒙行列式的简化计算方 法，并举例说明了行列式性质在解方程中的应用。关键词范德蒙行列式；克莱姆法则；逆矩阵中图分类号015122文献标识li马A文章编号316728750(2006)01008603一、行列式性质行列式计算是线性代数中的重要内容，在历届考研数学试卷中都占有一席之地。然而其计算并不容易。 在教科书中，对于一些常见行列式的计算大多是按照行列式性质按部就班地进行，计算过程较为繁琐；有时 还会根据定义进行计算，计算量更大。本文运用多项式方程根的理论和行列式性质巧妙计算行列式，同时给 出范德蒙行列式的简化计算方法，并举例说明了行列式性质在解方程中的应用。在此先给出多项式方程根的基本定理和行列式基本性质： 定理1：惫次多项式厂(z)构成的方程厂(z)一。至多有忌个实数根。 定理2：如果X。是方程厂(z)一0的一个实根，则多项式厂(z)中一定含有(zzo)的因子，即厂(z)一(zz。)(z)，其中(z)是比厂(z)低一次的多项式。行列式性质：行列式中有两行对应元素相等，则行列式的值为零。二、利用行列式性质解方程24682z268例：解方程 ：=035719357z2+3利用行列式的性质可观察出：z一2，z一4是方程的根。另根据行列式的定义观察出行列式中z的最高次幂是4次(且系数不为零)可判断出方程的根至多只有4个，故方程的根是：z一2，z一4。收稿日期20051031 作者简介耿锁华(1965一)，男，江苏金坛人，南京审计学院应用数学系副教授，主要研究方向为金融工程数学。 86 万方数据三、利用行列式性质计算行列式例：计算行列式D(z)ala2a3a口1 x a 3nnD(z)一 al a2Z口nZa1a2a3利用行列式的性质可观察出z一口。，a。，a。时D(z)的值为零，即：z一口z，as，a。是方程D(z)一。 的根。另根据行列式D(z)的定义观察出行列式中的最高次幂是(以一1)次(且系数为1)可判断出方程D(z)一0的根就是z一口：，n。，a。再利用D(z)中主对角线上元素之积系数为a。可知：D(z)一口-(z一口z)(za3)(z一口。)。四、利用行列式性质计算范德蒙行列式 我们称下面的行列式为范德蒙行列式一D(x】，觑，岛)一一，就西矿，娩商万。觑商玎一。磊z一万将D(x1，z2，z。)中Xii一1，2，咒不加区别看作D(z)，那么D(z)-0就是一个咒(，21)2次的 方程，和上例一样分析：利用行列式的性质可观察出Xi一乃巧一1，2，n时范德蒙行列式的值为零不妨 称是方程D(z)-0的根，或者说D(x。，zz，z。)中含有(五一乃)的因子，利用排列原理知至少有恕(竹一1)2个根也即至少有咒(，z一1)2个(五一zi)的因子。 事实上行列式D(x。，z。，27。)中zi，Xj是对等的，我们根据行列式的定义略去五，为之间i，歹的区别，含有zi的最高次数(或各zi的各幂数之和)为以(理一1)2，即至多有咒(彪一1)2个根或至多有咒(咒一1)2个因子；再利用主对角线上元素之积的系数为1可知：D(x1，z2，Xn)一(矗-xJ)一(z。-X1)(z。一z2)(z。一z。一2)(z。-X。一1) (z。一1一z1)(z。一1mX2)(z。一1一z。一2)(z3一z1)(z3-JT2) (z2一z1)五、利用行列式性质验证克莱姆法则中的解在克莱姆法则中证明Xi一台是方程ailXl+钆z：+纰z。+口加z。-bi的根(不妨令i一1)时1，我们可构造一行列式：all a12 a1。b1a21(222a2。b2D卅1一anl口n2 amb。alla12alnb1 87 万方数据显然D。+。的第一行和最后一行相同，得D一。一o。我们按最后一行展开就可观察出zi一台是方程z。+以i222+ni323+a加z。一良的根。 六、利用行列式性质和克莱姆法则求逆矩阵n一n我们知道矩阵的逆矩阵是和它同阶的矩阵，不妨假设为X一H10001O根据逆矩阵的定义可知AX=工一，A中的元素和X中的第一列对应元素相乘可得一组O01方程(共有以组这样的方程)：倪 n z +n1。z。l口 n z +a2nx。1r，、，L 口 d z +口。z。1根据克莱姆法则：11口12以h口111口h口11口120022n跏 口210 砚1口2200A1】anl0 10AItill(212 口k 一孝地l一 all a12 al“ 一条，岛，一D一面如1alla12口l“a21a22口抽421口龆42n421毗42na1口碰1 1 其中D是系数z-。，10式，Ad是元素口i的代数余子式。同理中的元素和中的其它列对应元素相乘可得类似的A11A12 A1。A21 A22A2。线性方程得出：zd一生D。将黝一舍全部代人z得x一面1一舍，其中A。是系数A。1A。2矩阵的伴随矩阵。至此用克莱姆法则求出了逆矩阵。 参考文献Eli赵树媛线性代数M北京：中国人民大学出版社，2003：37 2唐国兴高等数学(二)M武汉：武汉大学出版社，2000 3陈仲大学数学复习指导I-M南京：南京大学出版社，1999 4邵士敏数学(经济学类)rM北京：北京大学出版社，1999责任编辑：杨凤春 88 万方数据行列式性质的运用作者：耿锁华作者单位：南京审计学院,应用数学系,江苏,南京,210029 刊名：南京审计学院学报英文刊名：JOURNAL OF NANJING AUDIT UNIVERSITY 年，卷(期)：2006,3(1)参考文献(4条)1.邵士敏 数学 19992.陈仲 大学数学复习指导 19993.唐国兴 高等数学 20004.赵树媛 线性代数 2003本文读者也读过(10条)1. 黄朝霞.HUANG Zhao-xia 范德蒙德行列式的推广期刊论文-集美大学学报（自然科学版）2008,13(1)2. 赵强 一类行列式的计算-范德蒙行列式和行列式乘积的应用期刊论文-云南民族学院学报(自然科学版)2001,10(3)3. 马军.杨作威 范德蒙(Vandermonde)行列式的应用期刊论文-沧州师范专科学校学报2007,23(1)4. 史昱 关于行列式计算方法的探讨期刊论文-山东电力高等专科学校学报2006,9(2)5. 刘建新.朱德兴 一种特殊的行列式期刊论文-沈阳工业学院学报2001,20(4)6. 高建兴.张在明.GAO Jian-xing.ZHANG Zai-ming 涉及范德蒙行列式的两个数学问题期刊论文-玉溪师范学院 学报2003,19(6)7. 张文治.赵艳.ZHANG Wen-zhi.ZHAO Yan 范德蒙行列式应用三则期刊论文-北华航天工业学院学报2007,17(4)8. 孙建平.郭跃华 独立不同分布的随机变量和的k阶矩期刊论文-太原师范学院学报(自然科学版)2004,3(1)9. 陆志峰.郭跃华.梁莉娟 一个恒等式的证明及推广期刊论文-南通工学院学报(