重视过程和方法淡化记忆与模仿.doc

重视过程和方法淡化记忆与模仿新题型及综合题选讲宝应县画川中学朱月丹新课程实施已六个年头，实验区也经历两次终结性评价。通过对04、05两年各实验区试卷的分析，我的总体感觉是新课程的评价越来越重视对学生学习过程、学习方法、学习能力的考查，而对记忆性的、程式化的内容在逐步淡化。综合题更是如此。从题型看，现在的试题越来越新颖、活泼，变式多；从内容看，现在的试题更强调应用，（一元二次方程根与系数关系与其他知识综合的问题已成过去时，几何推理证明的难度也有所下降，尤其表现在圆这一章；但实验操作、猜想、推理、归纳，类比、数形结合等数学思想明显有所加强）。下面我想借助几个例子加以说明。（中考数学考试的内容应是课程标准中所规定的相应数学知识、技能、方法的状况，利用有关知识解决问题的能力，从事基本的数学探究性活动的情况，以及相应的思维发展水平和特征等等。具体的说包括：基础知识与基本技能；数学活动过程；数学思考；解决问题能力等几方面。）一、新题型：、实验、推理、归纳题例（05无锡）已知正方形ABCD的边长ABk（k是正整数，正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE1，将PAE在正方形内按左图中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置。（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动。图2是k1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图。请你探索：若k1，则PAE沿正方形的连续翻转的次数n=_时，顶点P第一次回到原来的起始位置。（2）若k2，则n_时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k3，则n_时，顶点P第一次回到原来的起始位置。（3）请你猜想：使顶点P第一次回到原来起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）。点评：本题是一道探索性问题。为了引导学生在操作实践中寻找规律，命题者给出了一种思考问题的方法（不是唯一方法）变曲为直，将“绕正方形的边翻转”的问题转化为“在直线上翻转”的问题，这样更便于观察发现规律。这种设计形式，充分体现了“考试过程”也是“学习过程”的课改理念，本题既考查了学生数形结合的思想，同时也教会了学生从特殊到一般探索问题规律的方法。本题看似勿需写出多少推理过程，但思维量之大，可想而知。再如（05宝应）的倒2题为进一步落实中华人民共和国民办教育促进法，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为元（1），试用k、n和b表示（不必证明）；（3）比较和的大小（k=1，2，），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义点评：这是一道渗透新课程理念的好题。它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察分析、归纳推理等能力。本题得分率较低，究其原因主要有：一是部分学生不能将文字语言转换成符号语言，二是部分学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规律。解决本题的关键一是充分理解题意，二是要表示第k所民办学校所得到的奖金，就要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式变形的技能。如题中第（3）小题比较ak和ak1的大小，有三种方法：作差法；作商法；直接比较法。如运用作差法：akak1（1）k1（1）k（1）k10，所以akak1。结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多。以上两题看似风格迥异，但究其数学本质却是异曲同工。应对此类问题，我认为在平时的教学中要引导学生提高分析问题、解决问题的能力。具体的说：理解题意、建立模型、尝试特殊、归纳一般、反思检验。2、拼图与推理数学推理包括合情推理和演绎推理。数学课程标准在推理能力方面的要求是：“发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。人们常常应用合情推理提出猜想，再运用演绎推理来证明猜想，二者的结合构成了推理的完整过程。合情推理的实质是“发现”，它是发展学生创新意识的重要途径，但传统的数学课程注重演绎推理而忽视合情推理，随着课程改革的推进，近几年的各地中考题都在加强这方面的考查。下面是2005年河北省初中生升学统一考试数学试卷中的一道题目，这是一道“合情推理”与“演绎推理”有机融合的好题。例、操作示例对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED。实践与探究（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连结DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N。证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED。请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由。解（1）证明：略过点N作NPBE，垂足为P，如图3，可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等。所以将6拼接到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。（2）能。理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，依此类推，由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n1）次拼接，得到一个正方形。点评：这道题通过操作、观察、测量、猜想等获得结论的过程，突出了合情推理能力的考查，把合情推理和演绎推理有机地融合在一起，使学生经历了数学发现的全过程，体会到了合情推理的重要性和证明的必要性，是一道考查推理能力的好题。又如05盐城的一道试题已知：如图，现有的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片只是用一次）拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽。点评：本题是一道源于苏科版七（下）第94页“数学活动”的改编题。它既考查了学生动手操作的能力，又考查了数形结合的数学思想及多项式因式分解的技能。3、与网格结合的操作题例、（05连云港）如图，在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数。点评：这类网格题相信大家已经不再陌生。以点点为端点作线段能作出哪些不同长度的线段呢？把网格分成不同的类型，如：11，12，22，13，23，易于发现能作出的线段有1，2，2，3这些线段是解决网格类问题的基础。解决本题同学们要注意无理数、中心对称、不全等这几个信息点。动手试试看，在网格中你能作出哪些面积不同的正方形？它们的面积是多少？又如：如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点（1）在图a中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3、2；（2）在图b中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（3）观察图c中带阴影的图形，请你将它适当剪开，重新拼成一个正方形；（要求：在图c中用虚线作出，并用文字说明剪拼方法）图c说明：。（4）观察正方体，沿着一些棱将它剪开，展开成平面图形。若正方体的表面积为12，请你在图d中以格点为顶点画出一个正方体的平面展开图（只需画出一种情形）图 b图 a图 c图 d点评：本题设计成问题串的形式，层层推进。既有考查学生对无理数的理解、勾股定理掌握的情况，更有对学生数形结合思想、动手拼图等能力的考查。再如：如图，正方形ABCD的边长为12，划分成1212个小正方形格.将边长为n（n为整数，且2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n1）（n1）的正方形.如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.当n=2时，求S1S2的值；是否存在使得S1=S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.新题型还有如图形与空间中的视图问题、图形与坐标中物体位置的确定、统计与概率中的替代实验、图象表格中信息的获取、课题学习中方案的设计等，题型可谓是生动活泼、形式多样，不能逐一枚举。应对的策略我认为应指导学生学会透过现象看本质，本质之中想数学。二、代数综合题代数综合题常以应用的面貌出现，题目阅读较大，提供的信息多，命题者的意图往往一是考查学生获取信息、处理数据的能力，二是考查学生数学建模的思想。1、从阅读文字中获取信息例4、（05盐城）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售，一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售。（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售。现要购买A型毛笔a支（a40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。点评：本题是一道融方程组、不等式、阅读理解于一体的综合题，富有时代气息，增强了数学的应用意识。解答本题的关键在于理解题意，从冗长的文字中获取信息建立数学模型。第（2）题提出“应选择哪种方法购买花钱较少？”很有生活情趣，这就要求我们在日常生活中要理智地看待一些商家广告，要用数学的头脑看待问题，科学地作出决策。建议：在平时教学时，要教给学生弄清题意的方法。如列表、画图等。解：（1）设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元。，解得。（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则m=如果按新销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n=可见，当时，用新销售方法购买得的A型毛笔花钱多。又如：（05宝应）为进一步落实中华人民共和国民办教育促进法，某市教育局拿出了b元资金建立了民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金给了n所民办学校。奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到代，上1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法得奖金逐一发给了n所民办学校。（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1kn），试用k、n、b表示ak（不必证明）；（3）比较ak和ak1的大小（k1，2，n1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义。点评：这是一道渗透新课程理念的好题。它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察分析、归纳推理等能力。本题得分率较低，究其原因主要有：一是部分学生不能将文字语言转换成符号语言，二是部分学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规律。解决本题的关键一是充分理解题意，二是要表示第k所民办学校所得到的奖金，就要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式变形的技能。如题中第（3）小题比较ak和ak1的大小，有三种方法：作差法；作商法；直接比较法。如运用作差法：akak1（1）k1（1）k（1）k10，所以akak1。结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多。2、从表格中获取信息例5、（05宿迁）在“五一”黄金周期间，小明和他的父母坐游船从甲到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是”在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度。”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：（1）票价y（元）与里程x（千米）的函数关系式；（2）游船在静水中的速度和水流速度。里程（千米）票价（元）甲乙1638甲丙2046甲丁1026出发时间到达时间甲乙8:009:00乙甲9:2010:00甲乙10:2011:20表（一）表（二）点评：本题是精心编制的一道以旅游为实际背景的应用题。本题巧妙地将一次函数与列方程组解应用题编织在一起，计算量不大，解决此题的关键在于学生能否从图表中获取有用信息，能否正确分析信息。在第（1）小题中只需从三组数量关系中选取两组就可确定一次函数关系；在第（2）小题中需要从图表中分析出顺流和逆流的时间分别是多少？这是本题的难点。3、从图象中获取信息例6、（05南京）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：根据图像解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升。求排水时y与x之间的关系式；如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。点评：本题用图像的形式给出了洗衣机进水、清洗、排水时的水量变化情况，考查了学生对一次函数图像的应用的理解。解答本题首先要看懂图像，其次要能根据变量的实际意义，列出函数关系式，并结合图像回答有关问题。在解答第（2）问时，要注意正确认识时间变量的含义，充分利用图像所呈现的信息。三、几何综合题几何综合题常以运动、开放的形式出现。1、开放型题例7（05宝应）如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上。下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明。（1）ABDE，（2）ACDF，（3）ABCDEF，（4）BECF。已知：求证：证明：点评：这是一道开放题。四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定。本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力，给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次、不同能力的学生可以给出不同的结果。又如：如图，已知ABC，BDAC于D，CEAB于E，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。增加的条件为：已知：求证：证明再如：（05沈阳）如图，己知在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合)，EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点G(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；(2)请你将上述题目的条件，“梯形ABCD中，ADBC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出己知、求证、不必证明2、运动型运动型试题是近年数学命题的热点和常见题型之一，它往往集代数、几何等多个知识点于一题，综合性高，探究性强，解决此类问题的主要思路是化动为静，关键是抓住动点、动线、动形在运动过程中某一相对静止的瞬间，寻找变量之间的关系式，进而使问题得以解决。1）动点问题例8、（05大连）如图1，正方形ABCD和正方形BEFC。操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DMMN，交对角线BF于点N。探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。M是线段AB的中点；M、N分别是线段AB、BF的中点。点评：本题是先猜想结论，后证明自己的猜想。经过画图，容易猜想出线段DM与MN是相等的关系，这样问题就是如何证明线段相等，而证明线段相等的方法可由不同的思维角度探索出不同的思路。思路1：要证明DMMN，可以考虑证明DM、MN各自所在的两个三角形全等，而图中MN在钝角MBN中，DM在直角三角形中，故需要构造一个钝角三角形。于是有下列解法1。解法1猜想DMMN，证明如下：如图3，在AD边上截取AHAM，由正方形ABCD和BECF可得。ADAB，AABC90，CBF45，则DHMB，DHMMBN135。DMMN，AMD190，又AMD290，12，DHMMBN，DMMN。思路2：同上分析，也可构造MN所在的一个直角三角形与DM所在RtADM全等。于是有下面的解法2。解法2猜想DMMN，证明如下：如图4，过N作NGBE，垂足为G。则MGNA90。DMMN，AMD190。又AMD290，12，RtADMRtGMN，设ADa，BMx,NGy，由NBG45，则BGNGy（ax）。1，axy,即ADMG。DHMMBN，DMMN。（若ax，DMAD，MNAB，则DMMN仍然成立。）思路3：要证明DMMN，还可构造一个以此为两腰的等腰三角形，则结论得证。而直接连接DN，不易证明，考虑将问题转化为证明DM与MN都等于第三条线段。于是有解法3。解法3猜想DMMN，证明如下：如图5，作MBN关于直线AE的轴对称图形MBP，连结DB交于MN于G点，则有：MBNMBP，2145，PMNB，MNMP。由正方形ABCD和BEFC，则MBNDBCCBN454590，DBPDBN12180D、B、P三点在同一直线上。又DMMN，DGMNGB，3MNB，3P，DMMP，DMMN。从以上的分析、证明可以看出，此题的解决方法并不很难，它的关键还是需要我们能牢固掌握基础和基本的分析思维方法，并能熟练地应用。所以在平时应多注意“双基”的学习和训练。又如（05苏州）（1）如图一，等边ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AEBC；（2）如图二，将（1）中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AEBC？证明你的结论。点评：本题设计精巧，（1）（2）两问层次递进，创设了一个由特殊到一般的动态的几何问题情境，本题的结论AEBC，体现了几何最本质的运动不变性的特征。试题考查了平面几何中的基本图形（三角形）和基本性质（平行线的判定以及全等三角形、相似三角形的判定），考查了学生推理论证的能力及探索能力。新教材虽然适当降低了几何方面的要求，但学习时，同学们对几何证明表述的规范性仍要引起重视。2）动线问题例9、（04海口）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的数量关系？请写出这个数量关系，并加以证明。3）动形问题例10、（05宝应）等腰ABC中，ABAC8，BAC120，P为BC的中点，小慧拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转。（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F。探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）探究2：连结EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；设EFm，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S。点评：这是一道操作探究题，它改变了多年来扬州市最后一道压轴题以二次函数为主线的呈现方式。它以每位学生都有的30三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力。问题的设置以问题串的形式呈现，层层推进，第91）问入手容易，第（2）问深入困难，有一定的区分度，使不同层次的学生有不同的收获。同时通过本题的解答，一使同学们领悟到学习数学的方法，二是提醒教师在平时的教学中要注意变式练习。本题的第（1）问不难，用两角相等即可证得相似，第（2）问中的由第（1）问类比即得，要用到中对应边成比例代换后方可证得，一般学生都能想到作高，却想不到求这条高要用到角平分线、解直角三角形等知识。实际上三角板运动到特殊位置还有一些结论，感兴趣的学生不妨继续研究。要关注几何图形在运动状态下几何关系的不变性哦！类似的，（05福州）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，(如图1)，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由再如（05无锡）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置（如图1）。设AB的长为a，PB的长为b（ba），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若PA2，PB4，APB135，求PC的长。（2）如图2，若PA2PC22PB2，请说明点P必在对角线AC上。点评：本题的考查意图主要是：利用图形变换来解决一些几何问题，相比较而言，它比传统教材介绍的几何解法来得更简单。由于图形变化的内容是首次在中考中正式被应用，所以在试题设计上作了一些辅垫（在第（1）小题中），第（2）小题则是要求学生在第（1）小题的解题过程中进行学习，将所学到的方法图形的旋转，用来解决第（2）小题。本题也可设计为：已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）若PA2，PB4，PC6，求APB的度数；（2）问：是否存在这样的点P，使PA2PC22PB2成立？若存在，请求出所有这样的点P；若不存在，请说明理由。四、数据统计综合题例11小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中两圆组成的圆环小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题。（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）又如（05芜湖）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下(1)试问小球通过第二层A位置的概率是多少?(2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少?五、代数几何综合题这是绝对大多数中考试卷的压轴题（常用来考查学生探索、发现、归纳、综合应用数学的能力）。这类试题一般都会渗透数形结合思想、分类思想、方程思想、函数思想等。例12（05南京）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在ABC的左侧，OC=8cm。当t为何值时，ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？当ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。解：t=1st=4s重叠部面积为9cm2t=7st=16s重叠部分面积为（9+6）cm2点评：本题是一道探索性很强的试题，在运动中考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想、方程思想、分类思想。命题者给半圆、直角三角形分别赋予了量角器、三角板这样的实际背景，意在了解和考查学生的学习方式。解答本题时，考生如能想到利用量角器、三角板进行运动分析，将有助于获得正确结论，而且不容易漏解。你不妨试一试！例17（05徐州）如图16，已知直线y=2x(即直线)和直线(即直线)，与x轴相交于点A。点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t秒.(1)求这时点P、Q的坐标(用t表示).(2)过点P、Q分别作x轴的垂线，与、分别相交于点O1、O2(如图16).以O1为圆心、O1P为半径的圆与以O2为圆心、O2Q为半径的圆能否相切？若能，求出t值；若不能，说明理由.(图17)AOyxPQO1O221以O1为圆心、P为一个顶点的正方形与以O2为中心、Q为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t值；若不能，说明理由.(同学可在图17中画草图)AOyxPQO1O221(图16)点评：本题第（1）小题已做了暗示，即要充分理解点的坐标（数）与线段长度（形）的关系，建立平面直角坐标系的本质思想就是将形与数通过点的坐标联系起来。第（2）小题中图形的运动变化较复杂，第题中的两圆在运动中，它们的圆心和半径都在变化，还要分别讨论外切与内外两种情况。第题基本是课本知识的综合运用，第题则是考查学习的迁移能力，要通过画图，充分发挥想象力，并依据几何定理推出结论。如果同学们平时只是单凭记忆公式、定理并不会应用，那么解决这样的问题是很困难的。例18（05常州）已知的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系有一个正方形，顶点的坐标为（，0），顶点在轴上方，顶点在上运动（1）当点运动到与点、在一条直线上时，与相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值解：（1）CD与O相切。因为A、D、O在一直线上，ADC=90，所以COD=90，所以CD是O的切线。CD与O相切时，有两种情况：切点在第二象限时（如图），设正方形ABCD的边长为a，则a2（a1）2=13，解得a=2，或a=-3（舍去）过点D作DEOB于E，则RtODERtOBA，所以，所以DE=，OE=，所以点D1的坐标是（-，）所以OD所在直线对应的函数表达式为y=切点在第四象限时（如图），设正方形ABCD的边长为b，则b2（b1）2=13，解得b=-2（舍去），或b=3过点D作DFOB于F，则RtODFRtOBA，所以，所以OF=，DF=，所以点D2的坐标是（，-）所以OD所在直线对应的函数表达式为y=（2）如图，过点D作DGOB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2DG2=（BOOG）2OD2-OG2=所以S=AB2=因为-1x1，所以S的最大值为，S的最小值为点评：本题把几何论证、计算和数形结合、分类讨论、运动问题联系起来组成压轴题。此题起点不高，但要求较全面。综合了几何、代数、函数方面的知识，融入了动态几何的变和不变，数形结合、分类讨论的思想。试题要求学生能动中求静，静中思变，这有一定难度，但上手还是容易的。通过层层辅垫能够把一部分优秀学生凸现出来，发挥了选拔功能。例19（05苏州）如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）。D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB边上选取适当的点E，将BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直线DG、DF重合。（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a,6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线yx26的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线yx26始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。点评：本题是一道以二次函数、一次函数、几何图形翻折构成的代数几何综合题。试题要求学生从纸片的翻折中寻找直线运动的数学规律，试题设置了层层递进的几个小题，引导学生先特殊再一般，先操作探究再数学归纳，这种研究方法体现了数学研究的一般过程，反映了科学研究和发现的一般规律。例20（05南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，6），O为坐标原点，OAB沿AB翻折得到PAB将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围OSyBSxA解：（1）过点B作BQOA于点Q（如图1）点A坐标是（10，0），Oy3BxAPQ（第28题图1）点A1坐标为（10m，3），OA10又点B坐标是（8，6），BQ6，OQ8在RtOQB中，OAOB10，由翻折的性质可知，PAOA10，PBOB10，四边形OAPB是菱形，PBAO，P点坐标为（18，6），P1点坐标为（18m，3）（2）当0m4时，（如图2）,过点B1作B1Q1x轴于点Q1，则B1Q16-33，设O1B1交x轴于点F，O1B1BO，xOyBAP1A1O1B1Q1FQ（第28题图2）P在RtFQ1B1中，Q1F4，B1F5，AQOAOQ1082，AFAQ+QQ1+Q1F2+m+46+m，周长l2（B1FAF）2（56m）2m22；xOBAP1A1O1B1（第28题图3）PSHFy当4m14时，（如图3）设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H，由平移性质，得OHB1F5，此时ASm4，OSOAAS=10（m4）14m，周长l2（OHOS）2（514m）2m38点评：这是一道代数、几何的综合题，有较大的区分度。题目有三个要求，依次将上一题结论作为下一题的条件，条件错综复杂，是一道原创命题。解好本题除了具有扎实的基础知识外，还需有良好的思维习惯和心理素质，是一道考查数学综合素质的好题目。相信你有能力解出来。解（1）中的关键是，写出k1m，然后由k，解得2m6。解（2）问的关键是求出点B坐标（0，7）或（0，7），这里要防止漏解，从而得出S（7m）或S（7m）。解（3）中的关键是S最大值时，m2，C（0，2），分别过点A、B作y轴的垂线AD、BE，垂足为D、E。则AD2，CD422。CBBC725，CE，BE。故OECEOC。点B的坐标为（，）。例21（05连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点（1）求和的值；（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上y xONMC A BP滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别，又点A，B在直线上，解得或当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且.（2）假设存在点使得轴，轴，RtRt,设点P坐标为（1x8，则M点坐标为，.又，即（）方程（）无实数根所以不存在点使得点评：作为最后一道压轴题一次函数、反比例函数与几何的综合题，其真正的解答难度并不太大，从阅卷情况看同学们丢分的原因表现在：（1）对压轴题的畏惧心理；（2）对试题所给信息点的理解、把握、提取、迁移和整合不够；（3）书写零乱无序，表现出思维不通或不畅。由ACx轴，BCy轴可知A、B两点的坐标分别为（1，m），（2m，），列方程组便可解决第（1）问。第（2）问的解答关键在于能否证出RtMPNRtACB，进而求出相似比并设出P点坐标列方程，从而把判断P点的存在性问题转化为一地名二次方程根的判别式问题。例22（05淮安）如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为，点D的坐标为（用含有a的代数式表示）；（2）求证：AC=BD；（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E求证：AB=2ME；是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：C（2a，0），D（0，2a+8）方法一：由题意得：A（4，0），B（0，4）4a0，且a2，当2a+84，即4a2时，AC=42a，BD=4（2a+8）=42a，AC=BD，当2a+84，即2a0时，同理可证：AC=BD，综上：AC=BD。方法二：当点D在B、O之间时，连CD，COD90，圆心M在CD上，过点D作DFAB，点M为CD中点，MA为CDF中位线，ACAF，又DFAB，而BOAO，AF=BD，ACBD点D在点B上方时，同理可证：AC=BD，综上：AC=BD方法一：A(4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，BDE、ABO均为等腰直角三角形，E的纵坐标为a+6，ME=(yEyM)=a+6-(a+4)=2，AB=4AB=2MEAM=(yMyA)(a+4)，BE=|yEyB|=|a+2|，AM=BE又4a0，且a2，10当4a2时，(a+4)=(a+2)a=3，M（3，1）20当2a0时，(a+4)=(a+2)，a不存在方法二：当点D在B、O之间时，作MPx轴于点P、MQy轴于点Q，取AB中点N，在RtMNO与RtDEM中，MOMDMON450MOP，EMD450DMQ450OMQ450MOPMONEMDRtMNORtDEM，MNEDEBAB2NB2（NEEB）2（NEMN）2ME，当点D在点B上方时，同理可证当点D在B、O之间时，由得MN=EB，AM=NE若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=，M（3，1）点D在点B上方时，不存在。点评：本题在点的运动过程中综合考查了代数、几何两方面的知识，如：一次函数、圆、三角形等。还考查了根据位置进行讨论的分类讨论思想方法。考生既可以用初中学过的几何知识去解决问题，亦可以用坐标法（解析法）去解决问题，充分体现了命题与高中知识接轨、为高中数学教学服务的指导思想。本题解法多、思路广，对培养学生思维能力（运用基础知识解决问题的能力、逻辑思维能力、运算能力）提供了平台，运用了坐标法、全等形、等腰三角形、对称性、圆中的关系等基础知识，考查了学生证线段相等、倍数关系、是否存在（探索结论是否存在）等数学思想方法，同时也考查了学生的数形结合思想。本题有梯度，也有难度，能较好地考查不同层次学生水平。有较强的选拔功能，充分体现不同的人在数学上有不同的发展这一新课程理念。例23（05泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设ACC=（3090（图4）；ED图2图3DE图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）解：（1）BE=AD。证明：ABC与DCE是等边三角形ACB=DCE=60CA=CB，CE=CDBCE=ACDBCEACDBE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在CQT中TCQ=30RQT=60QTC=30QTC=TCQQT=QC=x，RT=3xRTSR=90RST=906分y=32(3x)2=(3x)2(0x3)10分（不证明RST=90扣2分，不写自变量取值范围扣1分）（3）CNEM的值不变11分证明：ACC=60MCENCC=120CNCNCC=120MCE=CNC12分E=CEMCCCNCNEM=CCEC=14分点评：这是一道实践操作题，情境设计较为自然，操作较为简单，考生容易上手。题目形式较为新颖，有利于考查考生的创新精神、实践操作能力及探究能力。本题对学生的操作要求简单、清楚，但却能较好地展示考生的自主学习过程，较好地体现了数学课程改革的理念，是一道不可多得的好题，是本卷中的