高中数学教学论文 中学数学中的反证法.pdf

中学数学中的反证法中学数学中的反证法 摘要 对于反证法 人们常常有一种对其功能认识不是的误解 为此本文对反证 法的基本概念 步骤 及其正确使用等方向进行了阐述 关键词 中学数学 反证法 间接证法 引言 去掉大米中的砂粒 有两种方法 一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来 一种是用 间接的方法 淘洗法 把砂粒残留下来 这两种方法虽然形式不同 但结果却是一样的 都能达到去掉砂粒的目的 但直接方法困难得很 间接方法却容易的多 在数学解题中 也 常用间接的方法 即有些命题不易用直接的方法去证明 这时可通过证明它的等价命题真 从而断定原命题真的证明方法 来证题 下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一 反 证法 一 反证法的基本概念 反证法是指 证明某个命题时 现假设它的结论的否定成立 然后从这个假设出发 根据命 题的条件和已知的真命题 经过推理 得出与已知事实 条件 公理 定义 定理 法则 公式等 相矛盾的结果 这样 就证明了结论的否定不成立 从而间接地肯定了原命题的结 论成立 这种证明的方法 叫做反证法 反证法的原理是 假设命题不真 也就是说 我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设 条件 反正假设 到已知条件中去 利用一系列的推理 得到矛盾的结论 与已知条件矛盾 与已证明过的数学命题矛盾 与刚提出的反证假设矛盾 或是导出两个自相矛盾的结论 依据排中律 附加的条件不真 从而 证得原命题成立 反证法的基本思想是 将否定结论作为条件就会导致矛盾 这种基本思想可以用下面的公式 来表示 否定推理矛盾肯定 否定 假设所要证明的结论不成立 而结论的反面成立 即首先否定结论 推论 从原条件和新作的假设出发 引用一系列的论据进行推理 矛盾 通过推理 导致矛盾 即得出与已知条件 定义 公理 定理或明显的事实相矛 盾的结果 肯定 由于推理过程正确 矛盾产生的原因是由假设所引起 因此假设是错的 从而肯 定原结论的正确 二 反证法的步骤 用反证法证题一般分为三个步骤 1 假设原命题的结论不成立 2 从这个结论出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不成立 从而肯定原命题的结论正确 即 提出假设推出矛盾肯定结论 例 1 已知 求证 直线和是异面直线 1 证明 提出假设 假设直线和在同一平面 内 那么这个平面一定经过点和直线 推出矛盾 经过点和直线只能有一个平面 直线与应在平面内 这与已知矛盾 肯定结论 直线和是异面直线 在运用反证法证题时 必须认真考察原命题的结论 并找出结论反面的所有情况 因为结论 的反面可能只有一种情况 也可能有多种情况 因此 反证法分为归谬法和穷举法两种 当 结论的反面只有一种情况时 只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确 这种反证法叫 归谬法 当结论的反面有多种情况时 必须一一予以否定才能证明原命题的正确 这种反证 法叫穷举法 例 2 已知 求证 分析 此题的结论的否定只有一种情况 2 因此用反证法证明时 只要否定了这种情 况 就能肯定的这种情况了 证明 假设 2 则 2 由此可知 这与已知矛盾 例 3 已知 平面 平面 直线 求证 与也相交 分析 此题结论的否定有两种情况 1 2 用反证法证明时 只有把这两种情况都否定了 才能 肯定 与相交 证明省略 三 反证法的正确使用 任何方法都有它成立的条件 都有它适用的范围 离开了条件超越了范围就会犯错误 同样 也会影响解题的成功率 因此 我们应该学会正确使用反证法来解题 1 注意其适用范围 虽然反证法是一种很积极的证明方法 而且用反证法证题还有很多优点 如适用范围广 思想选择的余地大 推理方便等 但是并不是每一道题都能用反证法来解的 例 4 如果对任何正数 二次方程的两个根是正实数 则系数 试证之 证明 假设 0 则二次函数的图象是开口向上的抛物线 显然可见 当增大时 抛物线就沿轴向上平移 而当值增大到相当大的正数时 抛物线就上开 到与轴没有交点 则对这样的一些值 二次方程的实数根就不存在 因此 0 这 一假设与已知矛盾 同理 0 和0 的条件下 它有无数个根 否则无 根 但总之不会有两个根 题设条件和结论矛盾 因此 本题不能反证法来处理 若原题改为 如果对于任何正数 只存在正实根 则系数 就能用反证法证明了 因此 对于下列命题 较适用反证法来解决 1 对于结论是否定形式的命题 2 对于结论是以 至多 至少 或 无限 的形式出现的命题 3 对于结论是以 唯一 或 必然 的形式出现的命题 4 对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题 例 5 设 都是正数 求证 证明 反设不成立 便有 由对称性知 相加 即 这一矛盾说明正确 从而 即 交换 位置 合并得 4 2 提出假设时 要分清结论反面的全部情况 即不能多 也不能少 例 6 求证 五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数 证 明 设 五 个 连 续 自 然 数 是 则 是一个关于的二次三项式 若其 为 一 个 完 全 平 方 数 即 二 次 三 项 式有 两 个 相 等 的 实 根 于 是 有 与矛盾 即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数 分析 本题的证明过程似乎也合理 但其实它的假设发生了错误 原结论是对于任何大于 2 的自然数 不是完全平方数 所以结论的反面应是至少存在一个大于 2 的自然 数使是一个完全平方数 而不是对所有的 是一个完全平方数 于 是不能推出 例如 当时是一个完全平方数 但是 3 推出矛盾时 一般说来 根据条件和假设 通过推理导出与下列矛盾之一即可 1 与题设矛盾 2 与定义相矛盾 3 与定理相矛盾 4 与公理相矛盾 5 与客观事实相矛盾 6 自相矛盾 例 7 设 0 求证 三个数中至少有一个不大于 证明 假设三个数都大于 则 1 另一方面 根据平均值不等式 5 同理 于是 2 1 与 2 矛盾 所以原命题成立 小结 反证法是数学证明中的一种重要方法 牛顿曾经说过 反证法是数学家最精当的武器之一 它是从否定命题的结论出发 通过正确的逻辑推理导出矛盾 从而证明了原命题的正确性的 一种重要方法 反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件 这对发 现正确的解题思路是有帮助的 对于具体 简单的命题 或者直接证明难以下手的命题 改 变其思维方向 从结论入手进行反面思考 问题可能解决得