动态问题---点动是源泉(数学).doc

动态问题-点动是源泉河北省怀来县桑园中学（075441） 古金龙动态问题一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线或弧上运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动（平面几何图形的平移、对称（翻折）、旋转）。这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性质解释动态问题。数形结合的升华部分就在此。但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动。点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其中，解决问题要抓住一些关键点即可，现举例说明：一、双点动回归单点动点动包括单动点型、双动点型，其中双动点型在中考里常见的，两点速度可以是同速、异速，方向随图形形状而有所要求。例1 （09浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、高BE的长是 ；(2)探究下列问题：若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.解析：此题P点限定在一条线段上，而Q点是在折线上运动，由此注意分类。（2）中重新限定了Q点在线段上，所以只需求出三角形高（用相似知识）即可；中Q点的速度是变量，且运动路线分段，故需分类讨论，解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形，则此三角形必是等腰三角形。解：（1）5 , 24, （2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QGAD，垂足为G，由QGBE得 AQGABE,QG=,(t5). (t5).当t=时，S最大值为6. 要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需APQ为等腰三角形即可.当t=4秒时，点P的速度为每秒1个单位，AP=.以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q在CB上时, PQBEPA，只存在点Q1,使Q1A=Q1P.如图2,过点Q1作Q1MAP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM=.由AMFAODCQ1F,得, ,.CQ1=.则, .第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,分别使AP= AQ2,PA=PQ3.若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.则,. 若PA=PQ3，如图4,过点P作PNAB，垂足为N，由ANPAEB,得. AE= , AN.AQ3=2AN=, BC+BQ3=10-则. 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.说明：由此题看出双动点问题可以转化为单动点问题来解决，逐个攻破，动中找静，假设一点符合条件，描出此点就此处解决。二、点动引起线动线的运动其实是直线或线段与几何图形的交点不断发生变化，在前几年考查上很单一，近几年中考命题上有所突破。ACBPQED图5（09河北）如图5，在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值 解析：此题需弄清楚双点运动的路线及方向，且射线DE的产生过程。想象出整个运动中各个图形位置关系变化的时段，运用相似、勾股定理建立函数、方程（等式），当然分类思想必不可少。解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图5， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED图6，即（3）能 当DEQB时，如图6 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90由APQABC，得，ACBPQED图7AC(E)BPQD图8GAC(E)BPQD图9G即 解得 如图7，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形此时APQ =90由AQPABC，得 ，即 解得（4）或【注：点P由C向A运动，DE经过点C方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图8，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图9，】说明：此题一改过去点的运动方式（单向单程），变为双向且往返；另外此题最大亮点是两个点的运动带动了射线的运动（不是线的平移）。探求问题时，按要求画图找到DE位置（动中找静），利用相似三角形判定、性质，直角梯形、线段垂直平分线性质求解。考查了综合能力。三、点动带动面动 例1 设边长为2的正方形的中心A在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的O的圆心O在直线上运动，点A、O间距离为。图10（1）如图10，当时，根据、之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：、之间关系公共点个数+=+=所以，当时，O与正方形的公共点个数可能有 个；（2）如图11，当时，根据、之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：图11、之间关系公共点个数+=+所以，当=时，O与正方形的公共点个数可能有 个；图12（3）如图12，当O与正方形有5个公共点时，试说明；（4）就的情形，请你仿照“当时，O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于O与正方形的公共点个数的正确结论。解析：此题很象学过的圆和圆位置关系的探索，（1）（2）问按要求动手画一画即可出答案，思维活跃同学，能够想象出来。（3）问借助几何知识，利用等式关系求解，（4）问的思维含量较高考虑要全面（通过半径变化产生分类）。解：（1）、之间关系公共点个数+0=+1+2=10所以，当时，O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2 个；（2）、之间关系公共点个数+0=+1+24所以，当=时，O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2、4 个；（3）如图所示，连接OC.则OE=OC=，OF=EF-OE=。在RtOCF中，由勾股定理得，OF2+FC2=OC2即.整理解得。（4）当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；=时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个。说明：本题看似圆动，其实是圆心（点）的位置发生变化，圆位置也随之变化。此题难点是圆的半径也变化。讨论公共交点个数时，依两点（O、A点）距离大小画出静态图的情况进行分类。由以上看出，不论双点运动，还是线、面