例析运用间接法求解排列组合应用题.pdf

2 0 1 4 年第4期 福建中学数学 3 7 中把例 2 例 4中的 去掉 若再用拉格朗日中值 定理把切割线 随意等价 替代 那就无法得到正确答 案 给一线教师评卷带来极大的方便 参考文献 1 陈建威 关于拉格朗日 L a g r a n g e 中值定理的逆定理问题 红河学院学 报 1 9 8 6 3 1 3 3 1 3 8 2 陈天明 李云杰 基于考试的数形结合思想研究 福建中学数学 2 0 1 2 5 7 强化命题利用数学归纳法证明不等式 黄俊峰 袁方程 湖北省大冶市第一中学 4 3 5 1 0 0 对于数 列型 不等式 m 可以 先加强为 l厂 聆 然后 可 用数学归纳法证 明 下面举例说明 例 求 证 吉 1 1 N 分析 1 首先假设命题可以强化为 1 1 1 4 9 一 十 丽 一 2 利用数学归纳法可以证明 当 时 吉 一 1 归 纳 假 设 吉 1 丽1 一 接下来要证 1 一 1 9 2 k 2 k 4 一 2 5 1 3 g 尼 1 一 而由归纳假设只能得到 1 l l 1 一 9 2 5 f 2 十1 f 2 七 3 l l l l 4 g 尼 2 k 3 则需证 1 一 1 一 即 一 1 2 k g g 1 3 一 3 观察 式的结构 不等式右边分母是二次 多项式 则不等式左边通分后也是一个二次多项式 从而g O H b a b 为待定系数 g 日 6 代入 得 口 6 g n a n 6代入 得 a 2 k 3 a k b a k n 6 对 k N 恒成立 即4 a k 1 2 a k 9 a a 2 k 2 a b 口 j b a b 对 k N 恒成立 比较系数可得 a 4 6 4 结合 不妨取 a 4 b 4 即 g n 4 n 4 故原不等式 可以加强为 9 1 丽 1 1 一 4 用数学归纳法证 明上式即可 例析运用间接法求解排列组合应用题 纪宏伟 江苏省如皋高等师范学校 2 2 6 5 0 0 对于排列组合中的应 用题 一般都有两个方 向 的列式途径 一个是正面考虑 采用的是直接法 这也是大部分情况下采用的方法 另一种是间接法 就是先不考虑元素的约束条件 把所有的排列和组 合数计算出来 再剔除不符合限制条件的情况 从 而间接求出满足条件的结果 也称排除法 很多排 列组合问题都有直接法和间接法两条思路 本文对 间接法的应用情况简要分析 权当抛砖 引玉 3 8 福建中学数学 2 0 1 4年第4期 1正面复杂 对立面相对简单 某些排列组合问题的正面情况比较复杂 难以 分清 或者计算繁琐 运算量大 但其对立面或反 面的情况比较简单 易于处理 可以优先考虑间接 法 这也就是通常所说的 正难则反 先撷取一个简 单的例子 例 1从 4名男生和 5 名女生中选出 3 人参加学 校合唱团 至少有 1 名男生的选法有多少种 解析 众所周知 像 至多 至少 之类的组合 问题 通常都是对事件进行整体分类 然后看所求 问题包含其中的多少个类 采用分类计数原理 本 题 从 4名男生和 5 名女生中选出 3人 包含 1 男 2 女 2男 1 女 3男 3女 这 4种情况 而条 件 3 人中至少 1 名男生 恰好包含这4种情况的前 3 种 故选法种数是c c c 2 c C 7 4 相比较而 言 它的反面就简洁得多 因为 至少有 1 名男生的 选法 相当于从总的这 4种情况中去除最后一个情 况 也即在所有选法 从 9 名学生中任选 3 人 中 去掉所选 3人都是女 生的选法 所以结果是 一 7 4 例 2从 8名男医生和 7名女医生中选派一个由 8人组成的医疗队 其 中男女医生都有的选法有多少 种 解析 满足条件要求的选法有 7 类 1 男 7 女 2 男 6女 3男 5女 4男 4女 5男 3女 6男 2女 7 男 l 女 不同的选法种数是 c c c 2 c c c c c c c c c c c 6 4 3 4 种 可见类别多 计 算繁 让人烦 实际上 问题的反面却非常明确 当且仅 当 8人都是男医生的情况不符合题意 其余 情况均满足要求 故选法有c 一 C 6 4 3 4 种 例 3现有 8 个人排成一排照相 其中有甲 乙 丙 3 人不能相邻的排法有多少种 解析 本题中 甲 乙 丙3 人不能相邻 包括 甲 乙 丙 3人互不相邻 和 甲 乙 丙 3人不能同时相 邻 但允许其中有两人相邻 采用插空法和捆绑法 可得出A 55 A A 5 2 A 3 6 0 0 0 种 但是注意到 不能 相邻 的对立面就是 甲 乙 丙全相邻 所以在 8 个人全排列的方法数中减去甲 乙 丙全相邻的方 法数 就得到甲 乙 丙 3人不能相邻的排法数 这样共有A 一 A 3 6 0 0 0 种 例 4三个班级到甲 乙 丙 丁 4个工厂进行 实习 其中工厂甲必须有班级去 每班去何工厂可 自由选择 则不 同的分配方案有多少 解析 本题采用直接法易犯这样一个错误 工厂 甲先派一个班 有 3种方法 剩下的 2个班均有 4 种选择 所以共有 3 4 x 4 4 8 种分配方案 这里面 蕴含着重复计算的错误 且这种重复的引入往往比 较隐蔽 不易察觉 而且很难排除 例如 A班先去 甲厂 之后 B 班也去了甲厂 与 B班先去 甲厂 之 后 A 班也去了甲厂 是同一种情况 注意到 工厂甲 必须有班级去 的对立面就是 工厂 甲没有班级去 所以先计算 3个班 自由选择工厂的总数 再去除工 厂甲没有班级去的分配数 应是一个非常清晰和自 然的思路 本题答案是 4 4 4 3 3 3 3 7 种 2问题中包含同一性的情况 某些排列组合问题中 存在一些形式不同而实 质同一的对象 这些对象只需要保留一个 常常考 虑用间接法 把多余的一一排除 例 5空间有 1 2 个点 其中 5 个点共面 此外无 任何 4 个点共面 则这 1 2 个点最多可确定多少个不 同的平面 解析 本例用直接法需要分4 类 5 个共面点中任 意 2个点和其余 7个点任意 1 点 5个共面点中任 意 1 个点和其余 7 个点任意 2点 7 个点中任意 3 点 5 个共面点决定自身的 1 个平面 注意到 5 个点共面 存在 同一性 所以用间接法将更直接 更 快捷 全部情况是C 3 属于同一性的有 C 又因在 同一平面的 5点虽然不能确定c 个平面 但其本身 却可以确定 1 个平面 故有c 一 C 1 2 1 1 个平面 例 6已知集合 A 5 B 1 2 C 1 3 4 从这 3个集合 中各取 1个元素构成空 间直角坐标系 中点的坐标 则可以确定多少个不同的点 解析 从集合 B C都取 l时 点 5 1 1 1 5 1 1 1 5 出现了同一性 都各 自重复了一次 所以共有 c 1 乙 1 l 一 3 3 3 个满足题意的点 例 7从 1 2 3 4 7 9中任取不相同的两个 数 分别作为对数的底数和真数 能得到多少个不 同的对数值 解析 显然恨容易辨认 lo g 2 3 l o g 4 9 lo g 2 4 l o g 3 9 l o g 3 2 l o g 9 4 l o g 4 2 l o g 9 4 因真数为 1 时 对数为 0 故对数值共有 一 4 1 1 7 个 例 8有面值 5 元 3 元 2 元 1 元的某种货币 2 0 1 4 年第 4 期 福建中学数学 3 9 各一张 可以组成多少种不同的币值 解析 由 4种不同面值货币中取 1张 2张 3 张 4 张都可以组成币值 有C c c 4 C 1 5 种 但其 中包括了1 2 3 2 3 5 1 2 3 1 5 6 1 2 5 3 5 8 的情形 显然组成的 3元 5元 6 元 8 元币都重复出现了一次 应去除 故组成不同 的币值是 C C C c 一 4 1 1 种 3 不符合条件 的情况相对简便 排列组合的应用题种类纷繁 抽象性较强 常 常需要用到分类讨论的方法 即根据对象的本质和 属性 将其区分为不同种类 然后逐类进行研究 但在有些情况下 寻求 不符合条件 的类 要比 符合 条件的类 简便得多 此时用间接法显可以降低思维 难度 简化解题过程 例 9某一天的课程表要排入政治 语文 数学 物理 体育 美术共 6 节课 如果第一节不排体育 最后一节不排数学 那有多少种不同的排课方法 解析 符合 第一节不排体育 最后一节不排数 学 的分类有 体育 数学既不排在第一节也不排在最 后一节 数学排在第一节但体育不排在最后一节 体育排在最后一节但数学不排在第一节 数学排 在第一节体育排在最后一节 而不符合 第一节不排 体育 最后一节不排数学 的分类有 第一节排体育 最后一节不排数学 第一节排体育 最后一节排数 学 第一节不排体育 最后一节排数学 相比较 而言 不符合条件 的分类较为容易划分 也更容易 理解些 本题用间接法可得出A 一 A 14 A 一 A 一 A 14 A 5 0 4种 例 l O有两排座位 前排 l 1 个座位 后排 1 2个 现安排 2人就座 规定前排中间的 3个位置不能坐 且这 2 个人不左右相邻 那么不同的排法数有多少 解析 不符合 2个人不左右相邻 这一条件的 就只有 2个人在前排相邻 和 2个人在后排相邻 这 两个相对较简单的情况 而符合 2 个人不左右相邻 这一条件的 则需分三大类讨论 两人分别坐在前 后排 两人都在后排 两人都在前排 其中 两 人都在前排 又可分为 两人一左一右 两人同左或 同右 这两类 相对较烦 故用间接法可以快速达到 目的 结果是A 一 2 A 13 A 一 A 1 A 2 3 4 6 种 例 1 1 要排一张有 4个歌唱节 目 4个舞蹈节 目 和 2个小品节 目的演出节 目单 任何两个舞蹈节 目 不相邻 且任何两个小 品节 目也不相邻 则满足条 件 的排法种数共有多少 解析 本题用插空法直接求解 因为涉及到 二次 插空 的问题 位置关系复杂 较难捉摸 求解容易 出错 不妨考虑间接法 可先把 4个歌唱节 目及 2 个小品排好 再用插空法把舞蹈节目插进去 显然 这里面包含了小品联排的情形 故满足条件的排法 种数是A 66 A 一 A 2 A 5 A 5 1 8 4 0 0 种 例 1 2四面体的顶点和各棱中点共有 1 0个点 在其中取 4个不共面得点 不 同的取法共有多少种 解析 本题若直接法求解 就需要从不共面的四 类情况分析入手 分别是 恰有 3个点在底面上 恰有 2个点在底面上 恰有 1个点在底面上 4个点全不在底面上 其中 还要就 2个点是否 在 同一条棱上和这 1个点是棱的中点还是端点展开 讨论 不可谓不繁琐 相 比较不共面 的各种情况 寻求共面的情况则要简便得多 容易得多 它只包 括 4个点在同一侧面和底面 每条棱的中点和其 对棱上 3点 各棱 中点中 4点共面 这三种情况 因此共有取法c 4 0 4 C 一 6 3 1 4 1 种 例 1 3有 8张卡片分别标有 1 2 3 4 5 6 7 8 从 中取 出 6张卡片排成 3行 2列 要求 3行 中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 则有多 少种不同的排法 解析 符合数字之和为 5的情况只有 4 1 和 2 3 两种情况 而不符合这一条件的情况却非常复 杂 所以从整体上不宜考虑间接法 应优先满足数 字之和为 5的要求 故先考虑从 1 4 2 3 这两 组数中选出一组排在中间一行有C 12 A 种 接下来 因为数字之和 已经是 5了 此时不符合条件的情况 就非常容易找到 分别是另两个和为 5的数排在第 一 行和第三行 根据这种思路 最后可求出结果是 ci 2A A 一 c l A 2 A 2 1 2 4 8 种 本题是在 步 中的类 中寻找出 不符合条件 的情况 间接法得以在分步中 局部实现 间接法是求解排列组合最重要 的方法之一 在 解题 中有较强的优越性 学生在平 时的学 习中 应 有意识地加强这方面的训练 除了用直接法解题之 外 不妨考虑是否可以利用间接法 达到殊途同归 的 目的