小增益定理.doc

第三章其它数学基础三.1 Diophantine Equation的相关数学无论是模式跟随或极点安置的设计，皆须要寻找适当的多项式及以满足Diophantine Equation，也就是，在此我们将讨论及存在的条件。我们将证明，只要及为互质(coprime)，也就是及没有相同的根，则对于任意的，一定存在一组适当的及来满足。 首先，我们可以将、及 分别展开如下： 其中为及的阶数，而、及皆为实常数。 则我们可以将 展开成如下的系数方程式： (3.1) 接着，问题就变成是对系数矩阵跟系数向量求系数向量。显然地，问题的解必为 (为方阵, ) (3.2) 系数矩阵有列跟行，因此将在成为方阵。此时，如果的逆矩阵存在，则系数向量的解便是如(3.2)式所示。 但要确保矩阵为可逆(invertible)，其条件如下面的定理一所示： 定理一：矩阵为左面可逆的充分（但非必要）条件为以及跟互质。 证明：我们将以反证的方式，以其逆为伪来证明定理为真。 假设矩阵，则将存在一个向量使得。 其次，的元素可以组成两个多项式及。 又由于，因此及将满足 。 然而，若跟为互质，则上面的分式恒等式要成立，必须与同阶；换言之，的阶数必须为。 这意谓着在所有的情况下(包含)，矩阵将保持为行全阶(Full column rank)。但矩阵在之际为方阵，因此在之际，矩阵将为可逆而且此时的解为唯一。 至于若，则从起每加一阶，矩阵将增加一列暨两行，而且新增的两行皆与前行线性独立，因此之后的矩阵将保持为（左面）可逆。- 在之后，矩阵的行数将多于其列数，此时，为（左面）可逆的意思是指理论上的解仍然存在，但是因为这时候(3.1)式的未知数将多于其限制条件，因此将有无穷多的解。 另外，定理一之中矩阵为左面可逆的条件皆为充分但非必要。换言之，(3.1)式的解有可能于之际存在。- 在之际，矩阵的列数将多于其行数，此时，因为为行全阶，因此方阵为可逆。这时，一个的可能解为。这个的可能解是否为真的解，就看误差向量，是否为零。 范例3.1： -令而且 则(3.1)式在此便成为上式的解为 以及我们可以验算这组解确实满足。-三.2 时域数据之关联(Correlation)运算我们将探讨一个控制系统的输出讯号、控制输入以及输入指令之间的关联方程式。建立这个方程式的观念及数学过程，将是数值化控制器设计的重要理论基础之一。 首先，对开回路系统而言，其动态方程式， (3.3)隐喻了下列的关系： (3.4) 将上式通除以，并透过Z-转换的时序平移特性，则离散序列及将满足下列的关系： 。 (3.5) 最后，将上式对所有的组成下列的矩阵型式： (3.6)(3.6)式即称为开回路系统的输出讯号跟控制讯号之间的关联方程式。 范例3.2： -考虑如下的离散开回路系统 ，其开回路单位步阶响应可以列如下表：将这些及代入上面的及等矩阵，则可以验证(3.6)式。 -另一方面，由于跟必须满足(3.6)式，我们可以透过它反过来求跟，如下： 基本上，一个正确的将使得，但是对任意则。 换言之，一个正确的将使得误差为最小，或说是为最小。 数学上，这意谓着一个正确的将使得对的微分为零 由于，对的微分可写为 (3.7)因此，我们可以得到。 (3.8)范例3.3： -将范例3.2的及代入(3.8)式，则可计算得： -在实务上，以(3.8)式来倒求跟有以下的几点注意事项：(1) 要将及代入矩阵，必须知道系统的阶数的值。然而，我们之所以要倒求跟，必是因为系统的模式为未知。既然如此，则我们又如何知道的值为何？(2) 为此，我们可使用一个猜测的值进行计算，然后以所得的，计算，再以的值来评估答案。若则所得的为正确；否则尝试下一个值的解。(3) 有时候，虽然用于计算的值小于系统的阶数，却是仍然让。通常，这代表系统的极零点之间有近乎对消的情形，因此系统的实际阶数小于分母多项式的阶数。范例3.4： -将范例3.1的四阶系统取单位步阶响应及，然后将这些数据在跟的假设条件下分别代入(3.8)式。则当我们取之时，的解跟这个解的误差分别为这结果代表着范例3.1的四阶系统若以下列的三阶系统来近似，则其近似误差将只有 。至于以用在(3.8)式的解更代表着范例3.1的四阶系统甚至可以下列的二阶系统来近似，而其近似误差也将只有。 -【附加讨论：闭回路系统的Correlation公式】对闭回路系统而言，由于控制器的使用，造成系统里的变量除了输出及控制之外，还加上指令讯号。因此，数据之间的关联方程式将更形复杂。 首先，因为及，使得下式成立：。 (3.9) 将上式通除以，并透过的特性，则、及将满足。 (3.10) 假设在开始，则因果律的限制将使得以及。如此，则所有的、及序号将因为上述的恒等式，而得以组成下列的矩阵方程式：。 (3.11) 注意上面的、及皆为闭回路之下的数据。 这个矩阵恒等式即称为闭回路系统的时域数据关联方程式。 范例3.5： -对于如下的开回路系统，其数字控制器设计为，则其闭回路系统可写成。令，则及的闭回路响应可以列如下表： 将上面的、及代入(3.11)式以为验证，如下： = 完全吻合 -三.3 时域数据之回归(Convolution)运算另一方面，开回路系统，的单位脉冲响应(unit pulse response，记为)，乃系统在为单位脉冲(图3.2a)之下的响应，并且满足以下的线性条件：(1) 若的脉冲时序改变，则的时序也随着改变(图3.2.b)。(2) 另外，若脉冲的振幅变了，则也成比例变化(图3.2.c)。在这些线性条件之下，我们另外可以列出 在的单一脉冲之下： 在的单一脉冲之下： 在的单一脉冲之下： 最后，若是接连著作用，则输出将满足 (3.12)以矩阵的型式表示，则(3.12)式可以写为 (3.13)第(3.13)式即称为离散动态系统的回归(convolution)运算。注意在(3.13)式里，的值是从到但的值则是从到，这是由于因果律的关系，使得的值只受的影响，而不受的影响。 另外，第(3.13)式里的序列必须是在系统初始状态为零之下所取得的数据，如果系统初始状态不为零，则的公式就必须予以调整，兹讨论如下： 首先，如果初始状态不为零，则即便在之下，系统仍会有如下的响应输出：- 以(3.3)式的开回路系统为例，假设其有初始状态，则在之下的系统输出可根据(3.5)式产生如下：- 注意上面这些因为初始状态而滋生的系统输出是用表示，以便让它跟因为控制输入所激发的系统输出相区别。 这些由于是因为初始状态所滋生，因此称为初始状态响应。 又由于由于是在控制输入为零的状态下所产生，因此又称为零输入响应。 当系统的初始状态不为零之时，这些初始状态响应将附加在控制输入所激发的系统输出，而使得第(3.13)式必须修正为以下的型式： (3.14) 第(3.14)式即为包含了初始状态响应的完整回归方程式。【附加讨论之一：(3.14)式的引申意涵】对于如(3.3)式所示的数字系统 将存在有两种方法来计算其在任意的初始状态以及任意序列下的系统输出响应。(1) 准备初始状态，以及控制讯号，然后根据第(3.5)式的ARMA法则来依次计算。(2) 分开计算系统的初始状态响应跟的单位脉冲响应，然后以(3.14)式来计算。 以单次计算而言，方法(1)较方法(2)简单，但如果是同时要对几组不同的控制讯号计算，则对每一个序列，整个方法(1)的计算都必须重新做一次，但在方法(2)，则相同的跟可以重复地用于(3.14)式，因此较为省事。 方法(2)，或说(3.14)式，可以让我们执行数值化的设计(第六章)。 范例3.6： -以范例3.2的系统来说，它的开回路的转移函数显示了，或 。假设初始状态，及，跟步阶输入，则系统的输出可计算如下：方法(1)： ： ： ：方法(2)： 首先，开回路系统的单位脉冲输响应，则可透过MATLAB求出如下接着，初始状态响应可计算如下： ： ： ：最后，我们可以验证、及确实满足(3.14)式的完整回归公式：。 -【附加讨论之二：(3.13)式跟(3.14)式的另外型式】 对于的数字系统，我们说它的输出、控制输入跟的单位脉冲响应满足(3.13)式，或同样的系统也可以写成 ，但这样一来，、跟的关系将变为 (3.15) (3.15)式因此是(3.13)式的另外型式。 当有响应初始状态存在之时，则(3.15)式变成 (3.16) (3.16)式即是(3.14)式的另外型式。三.4 小增益定理 连续回馈系统之强轫稳定条件 基本上，连续时间控制器 (3.17)乃针对一个估测出来的连续时间开回路系统模式 (3.18)而设计，并且将确保下面的理想闭回路系统为稳定 (3.19) 但在实务上，(3.18)式通常都只是一个近似的系统模式。换言之，开回路系统实为 (3.20)其中代表的估测误差，而因此真正的闭回路系统也就变成 (3.21)则我们的问题便在于是否仍为稳定？为了分析这个问题，我们定义，并将的分母项写为 (3.22) _ 令为的极点，则必将满足 或 。 _ 若，则为的根所以必然稳定。因此，分析的重点其实是在于确定使得 的是否文稳定。【之根轨迹与稳定条件】首先，将随而变化因此形成根轨迹。并且，这些的轨迹将满足下列各点： 若的轨迹包含左右两半平面，则必然也包含虚数轴。反之，如果的轨迹不包含虚数轴，则这轨迹必然只挶 限在某一个半平面。并且，这个半平面将是在之际的所处之半平面。 由于意味，而且的设计将保证为稳定，因此之际的将处于左平面。 所以，只要的根轨迹不包含虚数轴，则的稳定将可以得到确保。 然而，若要的根轨迹不包含虚数轴，则必须满足 。 由于在任何之下使得的必要条件是，因此只要，则必然。 其次， 代表着下面两者之一为真： 或者 。 - 基本上，频宽的限制将使得，造成 的情况不可能成立。 - 所以，唯一的可能是让 。因此，的稳定条件便成为 。= 小增益定理 - 这个强轫稳定条件之所以称为小增益定理，是由于 将表示 ，因此只适用于当是一个小的误差之时。三.4.1数字控制系统的小增益定理原则上，上述小增益定理的强轫稳定条件同样适用于数字控制系统，如下所示： 根据一个估测出来的数字开回路系统 (3.23)所设计的数字控制器， (3.24)在真正的开回路系统实为 (3.25)之下，将仍然保证闭回路系统的稳定，只要下列条件成立：(a) 为稳定； (b) 条件(a)意味着根据(3.23)式所设计的 ，又称为名义上闭回路系统，必须是稳定的。而条件(b)则限制开回路模式误差必须只是一个小误差。上式的下标代表在单位圆上的值。在离散系统的数据运算里，这些值常常以它们的离散序列之数字傅立叶转换(DFT)来近似。 -附录五三.4.2对小增益定理的其它观点 从波得图看小增益定理： 根据古典理论的波得图分析法， 是否有稳定的根，要看的波得图是否有足够的增益边限(Gain margin, GM)及相角边限(Phase margin, PM)。 在这个观点之下，小增益定理的稳定条件， ，变成是要求的绝对值曲线，都保持在0db线之下。- 这使得波得图没有cross over，因此其相角边限将变成无穷大()。- 至于其增益边限则至少为 。 小增益定理的实际意义： 通常，或的实际函数大都无法得知，因此造成对闭回路系统稳定的疑虑。 然而，或等误差，却大都会直接显现在系统的响应数据里，因此透过对响应数据的傅立叶转换附录五，我们通常可以很容易地估计到或的频谱(spectrum)，也就是或的值。 于是，闭回路系统的稳定问题，便可以透过小增益定理来予以确定。三.4.3小增益定理的其它型式 定理II：已知 为一个稳定的多项式，则任意的多项式也将会是稳定的多项式，只要 跟的差，定义为，满足。定理II证明： 将写成，则的根将随而变化，而形成根轨迹，并且这根轨迹将满足下列叙述：(a) 若的根轨迹延伸单位圆的内跟外，则必然包含单位圆。(b) 反之，如果的根轨迹不包含单位圆，则的根轨迹必然只挶限在单位圆的内或外，视之下的根位置而定。(c) 在之下，；这时，它的根将在单位圆内。 因此，只要没有在单位圆上的根，则必为稳定。 另一方面，有根在单位圆上的必要条件为，所以，只要 ，则将不会有根在单位圆上，因此必为稳定小增益定理II的应用： 对于如下的数字控制系统， 其闭回路系统的分母项为 ， 并且会被设计为稳定的多项式 但若因为跟的估计有误或其它缘因，使闭回路系统的分母项成为，则我们可以透过对的估计，并根据小增益定理II来分析的稳定。附录五：离散数据之数字傅立叶转换(DFT)在连续时间领域，如果函数满足，则其Fourier转换跟Laplace转换分别为： 跟 。 (A5.1) 因此，即是在虚数轴()上的值。 意义上，是系统在受到频率为的正弦输入之下，所造成的稳态响应。 类似的定义也存在于