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斜抛运动的最佳抛射角甘志国(该文已发表 数学通报，2011(12)：35-36)文献1介绍了球星德拉普(Rory John Delap)：斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录创造者，他就是后卫德拉普(图1).阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”图1界外球怎样才能掷得更远呢？图2通常会认为，以初速度、抛射角掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动(图2)，其运动轨迹的参数方程为 (其中分别表示球在时刻飞行的水平距离和竖直高度，为重力加速度)由此可得球的射程为 公式说明，球的射程与初速度及抛射角均有关，当一定时，当且仅当时射程最大.但文献1还说，英国物理学家尼克林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是，而是至.产生这一结果的原因是：对于公式，当为定值时，时最大；而当为定值时，越大就越大.可见球的飞行距离与初速度及抛射角均有关.而在时不能达到最大值，所以在时，可达到最大值，所以取到最大值也是可能的.早在2003年，笔者就在文献2中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于.文献1的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角”，并得到了漂亮的结论：定理 如图3，以初速度、抛射角使物体作斜抛运动，当射程最大时(也即起点到落点的距离最大(因为在图3(a)中，在图3(b), (c)中为定值)，此时的抛射角叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点竖直向上的方向与形成的角的平分线，且是问题运动轨迹(抛物线)的焦点弦.图3证明 易知图3中抛物线的参数方程为(其中的意义也同中诸字母的意义)(其中分别表示球在时刻飞行的水平距离和竖直高度，为重力加速度)化为普通方程，得由文献3的结论立知，其焦点为.即证.(1)图1(a)的情形.由式可得，又，所以.(2)图1(b)的情形(因为掷球时有一个出手高度，掷球时出手高而落点低)，用表示球运行到落点时的飞行时间，得所以因为这个关于“”的一元二次方程有实数解，所以又，所以进而可得，当且仅当，即时，取最大值，且最大值是.所以在图3中，最佳抛射角应为，它显然小于.可得，又，所以，即.可得直线的方程为再由可验证.(3)图1(c)的情形.同理可算得最大射程，最佳抛射角.可得，又，所以，即.可得直线的方程为再由可验证.该定理是有用的.设想在地面上从点开始让物体作斜抛运动，由可迅速确定最佳抛射方向(即使起点到落点的距离最大的初速度的方向)；设想图1(c)中的坐标原点是大炮口，落点是射击目标，为增加隐蔽性，应使射程越远越好，所以上述最佳抛射角在军事上也是有用的.参考文献1 戴静.界外球怎样才能掷得更远J.数理天地(高中版)，2011(1)：462 甘志国.推铅球
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