数学探索研究1.doc

数学探索研究1一1. 对于一个多面体，如果它的表面能够连续地变形为一个球面，那么这样的多面体就叫做简单多面体，3：V-E+F=2 式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。证明1:(归纳面） 将一个图先 嵌入 二维平面得到图G. 当G只有一个面时 : E(1) = V(1) - 1 + F(1) - 1 当G有N个面时, 设: E(N) =V(N-1) - 1 +F(N-1) - 1 我们去除一条G中两个面的一条临边, 得到G有 N-1个面时 E(N-1) = E(N)- 1 V(N-1) = V(N) F(N-1) = F(N) 故: E(N-1) =V(N-1) - 1 + F(N-1) - 1 丛而归纳出欧拉公式成立 证明2：（归纳顶点） 将一个图先 嵌入 二维平面得到图G. 当G只有一个顶点时 (一个简单环 ) F(1) + V(1) - E(1) = (E(1) + 1) + 1 - E(1) = 2 当G有N个顶点时, 假设结论成立 我们去除一条G中两个面的一条临边, 得到G有 N-1个面时 ,面和边各减少1. 故结论成立解析：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个. 多面体的顶点数：V=60，多面体的面数：F=x+y.多面体的棱数：E=(360)，根据欧拉公式，可得60+(x+y)-(360)=2 另一方面，棱数也可以由多边形的边数来表示，即 (5x+6y)= (360). 所以C60分子中形状为五边形的面有12个，形状为六边形的面有20个. 由以上两方程可解出V=12,y=20.所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种顶点数V，面数F，棱数E 设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即 nF=2E - 同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即 mV=2E - 由、，得 F=2E/n, V=2E/m, 代入欧拉公式V+F-E=2， 有2E/m+2E/n-E=2 整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E. 由于E是正整数，所以1/E0。因此 1/m+1/n1/2 - 说明m,n不能同时大于3，否则不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m3且n3。因此m和n至少有一个等于3 当m=3时，因为1/n1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5 同理n=3，m也只能是3，4，5 所以有以下几种情况： n m 类型 3 3 正四面体 4 3 正六面体 3 4 正八面体 5 3 正十二面体 3 5 正二十面体 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体 所以正多面体只有5种莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。拓扑学是19世纪发展起来的一个重要的几何分支。早在欧拉或更早的时代，就已有拓扑学的萌芽。著名的“哥尼斯七桥问题”以及“麦比乌斯丁的拓扑学初步。里斯丁是高斯的学生，1834年以后是哥根大学教授。他本想称这个学科为”位置几何学“，但这个名称陶特用来指射影几何。于是改用”topology”这个名字。“topology直译的意思是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。1956年，统一的数学名词把它确定成拓扑学。 拓扑学虽然是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的”平面几何“、”立体几何“不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的机关位置以及它们的试题性质。拓扑学研究的内容与研究对象的长短、大海、面积、体积及试题性质和数量关系无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等图形，也就是说，通常的平面几何是研究在运动中大小和形状都不变的学科，但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每个图形的大小、形状中以改变。 里斯丁以后，黎曼把拓扑学的概念引入复变函数论中，发展成黎曼曲面论。 早期的拓扑学明显地分为两支：一是点集拓扑，以康托的贡献为起点；另一支是组合拓扑，由上世纪末庞加莱所首创。庞加莱平时行支迟缓、笨拙，视力很差，常常给人心不在焉的印象。可是，庞加莱具有超凡的心算和数学思维能力。庞国莱对20世纪数学影响十分浣。1895年，他出版了analysissitus(位置分析），第一次系统地论述了拓朴学的内容。后来被发展成20世纪极富有成果的拓朴学分支，庞加莱的