《概率论与数理统计》习题详解 第一章 随机事件和概率.doc

第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C为三个事件, 且_.解.= 0.970.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_.解. , 注意: = +所以; 3. 随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D为半圆. 则 , k为比例系数. 所以假设D1 = D中落点和原点连线与x轴夹角小于的区域 .4. 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若表示B的对立事件, 则积事件的概率 = _.解. 0.4 + 0.30.6 = 0.1 .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是_.解. 假设A = 订日报, B = 订晚报, C = A + B.由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.5 + 0.650.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_.解. 设Ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.8, P(A3) = 0.7, =10.90.80.7=0.496.7. 电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是_.解. 假设事件A, B, C表示元件A, B, C完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC. P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)P(A)P(B)P(C) = 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686.所以 P(电路断路) = 10.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率_.解. 设X表示甲进球数, Y表示乙进球数. P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0) =+ = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为, 则此密码被译出的概率_.解. 设A, B, C表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则.P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)P(AB)P(AC)P(BC) + P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =.二单项选择题.1. 以A表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”解. (D)是答案.2. 设A, B, C是三个事件, 与事件A互斥的事件是(A) (B) (C) (D) 解. f, 所以(D)是答案.3. 设A, B是任意二个事件, 则(A) P(AB)P(AB)P(A)P(B) (B) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(BA)P(A)P(B)P(AB) (D).解. P(A + B)P(AB)P(A)P(B) = (P(A) + P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B) =P(A)(P(B)P(AB) + P(AB)(P(B)P(AB) =(P(B)P(AB)(P(A)P(AB) =P(BA)P(AB) 0所以(B)是答案 .4. 事件A与B相互独立的充要条件为(A) A + B = W (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = f (D) P(A + B) = P(A) + P(B)解. (B)是答案.5. 设A, B为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B为任意二个事件, 且AB, P(B) 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) P(A|B) (C) P(A) P(A|B)解. (当B = W时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 P(B) 1, 且P(A1 + A2)|B = P(A1|B) + P(A2|B), 则下列选项必然成立的是(A)(B) P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B)(C) P(A1 +A2) = P(A1|B) +P(A2|B)(D) P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)解. 由P(A1 + A2)|B = P(A1|B) + P(A2|B)得到 , 所以P(A1B +A2B) = P(A1B) +P(A2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品) =2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A=至少有一本数学书. =没有数学书 P() =, P(A) = 1P() = 3. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率:i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =ii. P(男生|北京学生) =iii. P(北京男生) =iv. P(女生|非北京学生) =v. P(免修英语男生) =4 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求:i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设Bi表示第一次比赛抽到i个新球(i = 0, 1, 2, 3). A表示第二次比赛都是新球. 于是, ii. 5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n个白球