光学信息处理教案第一章.ppt

OpticalInformationProcessing 光学信息处理 授课教师 曹益平办公地点 基教A 119联系电话 85463879 第一章 LinearSystemAnalysis线性系统分析 1 通信理论引入光学 a Maxwell方程的正确性 把电与光学有机的统一起来 b 光学信息处理是电子通信理论的发展 解决了电子信息处理的瓶颈问题 c 许多电子通信理论及技术可以用来指导光学信息处理理论 d 从一维线性理论发展到二维光学线性理论是有条件的 近似的 2 常用非初等函数 a 矩形函数 2 常用非初等函数 b Sinc函数 2 常用非初等函数 c 三角形函数 2 常用非初等函数 d 阶跃函数 2 常用非初等函数 e 符号函数 2 常用非初等函数 f 圆柱函数 3 脉冲激励函数 函数 a 函数的物理意义 质点 点电荷 点光源 瞬态脉冲等物理量的数学描述模型 b 函数的表述形式 函数的描述形式有多种 主要介绍三种 3 脉冲激励函数 函数 1 类似于普通非初等函数定义的形式 并且 能量守恒 函数图 3 脉冲激励函数 函数 2 普通函数序列的极限表达形式 如果存在这样的函数序列gn x y 满足 则 注意 满足这一要求的函数序列非常多 3 脉冲激励函数 函数 2 普通函数序列的极限表达形式 常用的表现形式 一维情况 3 脉冲激励函数 函数 2 普通函数序列的极限表达形式 常用的表现形式 二维情况 这些表现形式在进行理论推导时意义重大 3 脉冲激励函数 函数 3 广义函数定义的形式 对于任意一个检验函数 x y 只要在x y 0处连续 如果存在函数f x y 总有 则称这个函数f x y 为 函数即 3 脉冲激励函数 函数 以上三种 函数的表现形式都是等效的应根据具体问题选用最合适的表现形式 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 1 筛选性质 设函数f x y 在 x0 y0 点连续 则恒有 广义 函数定义形式的扩展 当x0 0且y0 0时 上式即为广义 函数定义形式 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 证明 设X x x0 Y y y0则 所以由广义 函数定义形式 恒有 令检验函数 X Y f X x0 Y y0 因 0 0 f x0 y0 存在 即 X Y 在 0 0 点连续 即 原等式成立证毕 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 2 坐标缩放性质 设a b为非零常数 则有 注意 右边有绝对值符号 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 证明 将原等式变形为 令检验函数 x y 在 0 0 点连续 则有 即要证明上式左边就是一个标准 函数形式 令X ax Y by 根据a b的符号上式有四种情况 即 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 证明 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 证明 分析a b的符号后可归结为 所以由广义 函数定义形式 恒有 即 原等式成立证毕 由此可知 就是一个 函数 所以 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 3 可分离变量性质 即为所证 证明 由 函数的函数序列定义形式分析有 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 4 偶函数性质 证明做为作业留给大家 3 脉冲激励函数 函数 c 函数的性质 5 乘积性质 又称为采样性质 4 梳状函数 comb函数 a 一维梳状函数 有无数个 函数组成 每个 函数都落在整数坐标上 4 梳状函数 comb函数 b 二维梳状函数 4 梳状函数 comb函数 例题 证明 证明 函数的缩放性质 4 梳状函数 comb函数 而 4 梳状函数 comb函数 当n为奇数时 即n 2k 1此时k为整数 当n为偶数时 即n 2k此时k为整数 当n k 即二者值域和定义域都一样 证毕 4 梳状函数 comb函数 讨论题 写出下图的函数g x 表达式 写出第一个 函数的表达形式 写出第n个 函数的表达形式 函数g x 由无数个 函数组成 4 梳状函数 comb函数 讨论题 写出下图的函数g x 表达式 写出第一个 函数的表达形式 写出第n个 函数的表达形式 函数g x 由无数个 函数组成 思考 g x 的comb函数表述形式 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 1 比例变换特性 有偏置x0的comb函数表现形式 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 1 比例变换特性 有偏置x0的comb函数表现形式 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 证明 提取公因子 函数的缩放特性 证毕 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 2 偶函数特性 注意 有偏置x0的comb函数无此特性 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 证明 证毕 当a 1时 当a 1时 n和k的定义域和值域完全相同 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 3 周期性 4 平移性质 5 积分性质 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 6 抽样性质 有偏置x0和缩放的comb函数抽样特性 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 6 抽样性质 抽样函数 正实数常数 x 0 x0 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 7 卷积性质 有偏置x0和缩放的comb函数卷积特性 4 梳状函数 comb函数 c 梳状函数的性质 7 卷积性质 x 0 复现函数 x 0 x0 4 梳状函数 comb函数 作业 用梳状函数和矩形函数的运算关系式表示下图所是一块由250条线的实际罗奇光栅的函数g x 表达式 单位为 mm g x x 0 0 03 0 02 0 1 5 二维傅里叶变换 a 傅里叶级数 周期函数的狄里赫利条件 对于周期性函数 如果在一个周期内有有限个极值点或有有限个第一类间断点 则该周期函数可以展开成三角级数形式 第一类间断点 左右极限都存在的间断点 5 二维傅里叶变换 a 傅里叶级数 三角级数形式 5 二维傅里叶变换 a 傅里叶级数 三角级数的等效复数形式 其中 Cn一般为频率 的复函数 通常称为频谱函数 分析可知 Cn是离散的 这个表达式即被称为 傅里叶级数 即 周期函数的频谱是离散的 5 二维傅里叶变换 b 二维傅里叶变换 1 定义 对于一个非周期性函数f x y 如果在整个无限x y平面内满足狄里赫利条件 且 则称该函数的傅里叶变换为 存在 能量守恒 其中 称为傅里叶变换的核 记作 5 二维傅里叶变换 b 二维傅里叶变换 2 傅里叶逆变换定义 傅里叶逆变换表示为 其中 称为傅里叶逆变换的核 记作 5 二维傅里叶变换 b 二维傅里叶变换 3 存在条件的思考 在整个无限x y平面内满足狄里赫利条件和绝对可积条件 在自然界中可以找到许多满足条件的事例 有许多例外 如余弦函数 阶跃函数 常数等无法满足条件 但在光学现象中常见 应寻求一种解决的办法 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 1 定义 设f x y 是一个无法确定狭义傅里叶变换的函数 如果f x y 和一个函数序列fn x y 其中n 1 2 具有以下关系 并且函数序列中的所有函数都存在狭义傅里叶变换 即 则定义f x y 的广义傅里叶变换为 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 例一 求符号函数的傅里叶变换 解 选择函数序列fn x 为 式中n 1 2 3 容易看出 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 而 当 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 当 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 综合 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 例二 求 x 函数的傅里叶变换 解 容易看出 当 时 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 例三 求证常数1的傅里叶变换为 x y 证明 函数f x y 1不满足傅里叶变换存在的条件 可以找到矩形函数序列的极限形式来表达 令 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 所以 rect x rect y 即 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 所以 rect x rect y 即 5 二维傅里叶变换 c 广义二维傅里叶变换 2 例题 所以 rect x rect y 即 5 二维傅里叶变换 d 常用傅里叶变换对 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 1 定义 对于函数f x y 和h x y 的卷积定义为 记为 2 计算方法 图解法 解析法 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 3 例题 求 图解法 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 3 例题 求 解析法 步骤 求积分区间 分段积分 综合 被积函数非零时 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 4 卷积的物理意义 卷积函数的宽度等于两被卷积函数的宽度之和 展宽效应 平滑效应 实际应用中用于消除突跳 毛刺等 作业 p321 41 5 1 3 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 5 卷积的基本性质 设a b为任意常数 可实可复 则有 线性性质 交换律 则有 平移不变性 对于 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 5 卷积的基本性质 对于 结合律 坐标缩放性质 则有 与 函数卷积的性质 对于 恒有 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 6 互相关 对于 为该两函数的互相关 注意 记为 Rfg x y f x y g x y 定义 Rfg x y Rgf x y Rfg x y Rgf x y Rfg x y Rgf x y 一般 实数 5 二维傅里叶变换 e 卷积与相关 7 自相关 对于 为该两函数的自相关 注意 记为 Rff x y f x y f x y 定义 自相关具有厄密对称性 Rff x y Rff x y Rff x y Rff x y 对实数 为偶函数 另外 6 傅氏变换的性质和有关定理 a 傅氏变换的基本性质 1 线性性Ag x y Bh x y AG BH 证明 2 缩放性 g ax by g x y 称为Inversionproperty 反演性 证明 特例 当a b 1时 3 位移性 证明 4 共轭性 证明 5 对称性 如果 则 如果 则 6 迭次傅里叶变换性质 7 体积对应性质 如果 则 作业 p321 6 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 1 卷积定理 证明 定义 定理 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 2 相关定理g x y h x y g x y g x y 定理 定义 Autocorrelation Crosscorrelation Correlationtheorem相关定理的证明 第一步 第二步F 特例自相关定理 证 F F F 利用傅里叶变换的共轭性质 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 3 巴塞伐 Parseval 定理 证明 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 3 巴塞伐 Parseval 定理 Parseval定理 的物理意义 如g x y 为光场的复振幅分布 则代表光强分布 该积分式代表该光场在空间的总光能 而则表示单位频率间隔的光能量 称为功率谱 所以Parseval定理实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达一致性的表现 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 3 巴塞伐 Parseval 定理 解 例 求积分 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 4 广义巴塞伐定理 证明 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 4 广义巴塞伐定理 解 例 求积分 作业 p321 8 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 5 函数导数的傅立叶变换 如果 则 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 6 矩定理 Mk l称为函数g x y 的 k l 阶矩 定义 定理 如果 则 6 傅氏变换的性质和有关定理 b 傅氏变换的基本定理 6 矩定理 零阶矩定理 一阶矩定理 二阶矩定理 7 线性系统分析 a 叠加性 对于某个系统 如果对输入f1 x1 y1 f2 x1 y1 的输出响应分别为g1 x2 y2 g2 x2 y2 即 g1 x2 y2 f1 x1 y1 g2 x2 y2 f2 x1 y1 如果满足 f1 x1 y1 f2 x1 y1 f1 x1 y1 f2 x1 y1 g1 x2 y2 g2 x2 y2 则称该系统具有叠加性 7 线性系统分析 b 均匀性 对于某个系统 如果对输入f1 x1 y1 的输出响应为g1 x2 y2 即 g1 x2 y2 f1 x1 y1 如果对于常数a满足 af1 x1 y1 a f1 x1 y1 ag1 x2 y2 则称该系统具有均匀性 7 线性系统分析 c 线性系统 对于某个系统 如果同时满足叠加性和均匀性 即对于 g1 x2 y2 f1 x1 y1 g2 x2 y2 f2 x1 y1 如果满足 af1 x1 y1 bf2 x1 y1 a f1 x1 y1 b f2 x1 y1 ag1 x2 y2 bg2 x2 y2 则称该系统为线性系统 7 线性系统分析 d 线性平移不变性 对于某个系统 如果同时满足线性性和平移不变性 则称该系统为线性平移不变系统 对于常用光学信息处理系统 可近似为线性平移不变系统 8 二维光场分析 a 单色光波长的复振幅表示 单色光场中某点p在时刻t的光振动可表示为 1 一般表达式 式中 表示光波频率 a p 表示p点的光振幅 p 表示p点的初始相位 U p t a p cos 2 t p 8 二维光场分析 a 单色光波长的复振幅表示 单色光场中某点p在时刻t的光振动可表示为 2 指数形式表达式 可展开为 U p t Re a p exp j2 t j p 表示p点单色光的复振幅 U p t Re a p exp j p exp j2 t U p a p exp j p 此时光强I U p U p 8 二维光场分析 a 单色光波长的复振幅表示 用复振幅形式表示光场 3 光信息处理基本步骤 用I U p U p 求最终光强分布 用复振幅形式进行运算 分析 8 二维光场分析 b 典型光波场的复振幅 以点光源为原点的极坐标表示法 1 球面波 当时 为发散球面波 即 当时 为会