第六章 微元法的应用.doc

第六章 微元法的应用26.1 微元法26.2 定积分在几何学中的应用46.3 定积分在物理学中的应用96.4 定积分在其它领域的应用11总结与提高14复习题六15第六章 微元法的应用如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。 克莱因 “微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用6.1 微元法6.1.1 微元法的原理定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想.abx图6.1.1 微元法的意义 直观的看，对于图所示图形的面积时，在a, b上任取一点x，此处任给一个“宽度”，那么这个微小的“矩形”的面积为此时我们把称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是这些问题可化为定积分来计算的待求量有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式： （6.1.1）然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找这一项。但不要忘记，这一项与之差在时，应是比高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为 （6.1.2）这个量称为待求量的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微元。设在上连续，则它的变动上限定积分 （6.1.3）是的一个原函数，即.于是， （6.1.4）这表明连续函数的定积分就是（6.1.1）的微分的定积分.由理论依据（6.1.2）可知，所求总量就是其微分从到的无限积累（即积分），这种取微元计算积分或原函数的方法称为微元法.如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T0到T1的时间内，任取一个时间值t，再任给一个时间增量，那么在这个非常短暂的时间内（内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。6.1.2 微元法的主要步骤设想有一个函数 , 所求量可以表示为: ，然后实际进行以下三步:第一步取 , 并确定它的变化区间;第二步设想把分成许多个小区间, 取其中任一个小区间, 相应于这个小区间的部分量 能近似地表示为与的乘积),就把称为量的微元并记作, 即第三步在区间上积分, 得到Q =ba这里的关键和难点是求 , 在解决具体问题时本着是的线性主部的原则, 这样计算的 为精确值。6.1.3 微元法的使用条件 据以上分析，可以用定积分来解决的确实际问题中的所求量应符合下列条件：（1）是与一个变量的变化区间有关的量；（2）对于区间具有可加性；（3）局部量的近似值可表示为这里是实际问题选择的函数.6.2 定积分在几何学中的应用6.2.1直角坐标系下平面图形的面积 由定积分的几何意义，连续曲线 与直线 轴所围成的曲边梯形的面积为 若 在 上不都是非负的，则所围成的面积为一般的，由两条连续曲线 及直线所围成的平面图形称为型图形，其面积为 而由两条连续曲线 及直线所围成的平面图形称为型平面图形其面积为：上述结果用微元法分析如下：如图6.2.1可选取积分变量为x，并可确定x的变化区间为a, b，在a, b上任取一小区间 x, x+dx，它对应的小条形区域的面积近似等于，故面积元素为，图6.2.1所以 同理，当平面图形是由连续曲线与直线以及y轴所围时( 图6.2.1)，其面积为xyo12图6.2.2 例1 试求由所围成的图形的面积. 解 如图，这是一个典型的型图形，所以面积微元，于是所求面积例2 求由曲线x = y2以及直线y = x-2ABCDEF4x所围的平面图形的面积（如右图）。y 解 这是一个典型的Y型平面图形。由解得它们的交点坐标是：(1, -1)；(4, 2)因此所求的平面图形的面积为：图6.2.3在平面图形的面积计算过程当中，对图形进行适当的分割有时是必要的。我们所求面积的图形就好比一块大蛋糕，必要的时候，我们就得拿起小刀，对这块“蛋糕”进行分割，把它切割成符合我们要求的形状，然后再求出每小块“蛋糕”的面积，最后把它们加起来就是整块“蛋糕”的面积了。 6.2.2 已知平行截面面积的几何体的体积abS(x)x现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。我们继续用微元法导出公式。在a, b上任取一点x，并且任给x的一个增量，这样就得到一个非常薄的薄片，这个小薄片我们可以近似地把它看成柱体，于是这个微小的柱体体积为：dV=S(x)= A(x)把这些小体积加起来，就是我们要求的体积。它就是：。这里，体积的计算的关键是求截面面积S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出S(x).例 3 求两圆柱 所围的立体体积 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面, 是一个边长为 的正方形, 所以截面面积 ,考虑到是8 个卦限，所以有再看一个例题例4一半径为a的圆柱体，用与底面交角为的平面去截该圆柱体，并且截面过底圆直径，求截下部分的几何体体积。解 如下图建立坐标系。在-a, a上任取一点x，那么在这一点垂直x轴的截面为一个直角三角形，其面积为xyABEOA(x)=ABBE而；，所以：所以，所求的体积为=y x y=f(x) 图6.2.6 旋转体的体积由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。6.2.3 旋转体的体积设一平面图形以x=a；x=b；y=0以及y=f(x)为边界，求该图形绕x轴旋转一周的旋转体体积。其实这是一个求X型平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积问题。我们用“微元法”的思想，来解决这一问题。在a, b上任取一点x，再任给一个自变量的增量，得到一个细长条，该细长条我们可以把它看成矩形，该矩形的宽为，高为f(x)，那么这个小“矩形”绕x轴旋转一周的旋转体就是一个圆柱体，不过，这个圆柱体非常的薄，其厚度就是，圆柱体体积是：体积 = 底面积高于是小圆柱体的体积微元是：再把这些微小的圆柱体体积累加起来，也就是积分，所以所求的体积为这样旋转出来的旋转体如图所示。1图6.2.7 例5 求由曲线y = x2和x = y2所围的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积。解 设所求体积为V，由于上边界为x = y2，下边界为y = x2，则所求的体积为：“以x=0；x=1；y=0和围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积”与“以x=0；x=1；y=0和围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积”之差。即O b-ag1(y) g2(y)ya 图6.2.8x例5 求圆绕轴旋转而成的旋转体的体积. 解 此旋转体为一圆环体(图5-16). 圆的方程可表示为：左半圆； 右半圆，所求体积为左半圆,右半圆分别与直线、以及轴旋转一周所形成的两个旋转体的体积之差, 即 6.2.4 直角坐标平面曲线的弧长1.曲线方程情形设曲线弧由直角坐标方程给出，其中 在上具有一阶连续导数。现在用元素法来计算这曲线弧的长度.取横坐标 为积分变量，它的变化区间为.曲线上对应于上任一小区间的一段弧的长度 可以用该曲现在点出的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而这相应切线段的长度为以此作为弧长元素，即以为被积表达式，在区间 上做定积分，变得所求得弧长.曲线段弧 的长度为2.参数方程情形设曲线弧由参数方程给出，其中 ， 在上具有一阶连续导数。现在来计算这曲线弧的长度.取参数为积分变量，它的变化区间为 .相应上任一小区间 的小弧段的长度的近似值及弧长元素为于是，曲线段弧 的长度为6.2.4 旋转体的侧面积设函数在闭区间连续，求其绕轴旋转所得的旋转体的侧面积.在任取小区间，以左端点所对应的函数值为半径作圆，这圆的周长与小区间所对应的弧长的乘积，近似代替该小区间所对应的弧段绕轴旋转所得的曲面面积.所以，旋转体的侧面积元素可表示为；所以旋转体的侧面积为.例6 求半径为的球面面积.解 球面可看作上半圆周绕轴旋转一周而形成的旋转曲面.取积分变量为，其区间为.任取小区间，于是侧面积面积元素为 侧面积为 .习题6.21. 求抛物线 与直线 所围的平面图形的面积.2. 求由曲线 围成的平面图形的面积.3. 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积.4.求底面半径为r，高为h的直圆锥的体积.5. 求由抛物线,直线及x轴所围平面图形分别绕轴、 y轴旋转所得立体的体积.6求悬链线 介于和之间的一段弧长.6.3 定积分在物理学中的应用“微元法”是研究物理问题时所采用的一种特殊的分析方法,它是把研究对象分割为无限多个无限小的部分,或把物理过程分解成无限多个无限小的部分,然后抽取其中的一部分加以研究,通过对所抽取的这一部分的研究,就可以认知整体或全过程的性质和规律,它实质就是“从复合到单一,再从单一到复合”的综合分析思维方法。6.3.1 变力沿直线所作的功 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力作用，并且力 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力对物体所作的功是 .如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题.例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到处时，计算电场力 对它所做得功.解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到 时，由库仑定律库仑定律：真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。即： 其中k为静电力常量， k=9.010 9 Nm2/c2，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为图6.3.1于是所求的为 6.3.2 静止液体的压力物理学知道，深为处液体的压强为，其中是液体的密度，. 设有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为处，则平板一侧所受的压力为.如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上面的公式计算平板一侧所受的压力，需要定积分来求解. 下面举例说明.例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。解 如图6.3.2, 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于,这窄条的长度近似为,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为图6.3.2这就是压力元素，于是所求的压力为6.3.3 引力的计算图6.3.3由万有引力定律知道，质量分别为相距为的两质点间的引力的大小为，其中为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.如要计算一细棒对一质点的引力，由于细棒上各点与该物质的距离是变化的，并且各点对该物质的引力方向也是变化的，所以就不能用上面公式来计算。下面举例说明用微元法计算它的方法：例3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力解 取坐标系如图6.3.3所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为.在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距 ，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为，从而求出 在水平方向分力的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力的元素为于是得到引力在水平方向的分力为上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为.习题6.31.一贮油罐装有密度为的油料.为了便于清理，罐的下部侧面开有半径的圆孔，孔中心距液面孔口挡板用螺钉铆紧，已知每个螺钉能承受的力.问至少需要多少个螺钉？2.古埃及大金字塔为一正四棱锥，设高为125m，塔基为230m230m的正方形，传说历时20年才建成。若建造金字塔所用石块的密度为3210kg/m3，试求建成这座金字塔所做的功，并由此大致估算需要多少工匠直接投入建塔工程。 3.一横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为，计算桶的圆形一侧所受的压力.4.边长为的矩形薄片，与液面成角沉于液体内，长边平行于液面而位于深处，设，液体的比重为，试求薄片每面所受的压力6.4 定积分在其它领域的应用6.4.1平均值许多问题常要计算连续函数在区间上的平均值，如24小时的平均气温等.1.算术平均值设函数在闭区间上连续，将分成等份，设等分点依次为,，当足够大，每个小区间的长就足够小，于是可用近似代替小区间上各点的函数值，. 于是，在区间的近似平均值为 .当时，的极限就是在的平均值. 据此，以及定积分的定义，得由定积分中值定理易知， 就是在的平均值.例1 计算从0秒到秒这段时间内自由落体的平均速度. 解 自由落体的速度为，所以要计算的平均速度为.例2 设交流电；两个交流半周的整流电流，求其在一个周期上的平均值.解 由，的周期为，于是由，的周期为，于是，平均值是直流电的强度，它等效于一个周期内流过的交流电量.一般地,如果 , , 且 那么成为函数 关于权数 在区间 上的加权平均值.若令 , 加权平均就变成了算术平均2.均方根在物理学中，除讨论电流在一个周期上的平均值外，还常考虑电流的有效值.周期性非恒定电流的有效期规定为：当在其一个周期内，在负载电阻上消耗的平均功率，等于取固定值的直流电流在上消耗的功率时，称这个值为的有效值.由于固定值的电流在电阻上消耗的功率为，电流在上消耗的功率为，它在一个周期内的平均值为，所以，于是，即 （6.3.1）数学上，将(6.3.1)称为函数在区间上的均方根. 由此可见： 没有经过整流的电流的有效值为； 整流为两个交流半周的电流的有效值为.二者结果相同.这是因为消耗的功率相同，而与电流的方向无关.6.4.2 微元法在其他领域中的应用微元法在经济、化工、医学、生物等领域也有广泛的应用，如人口统计、心脏输出量的测定、单位时间内的血流量、化学反应物的生成、生物群落的量的计算等等。例3（人口统计模型）某城市1990年的人口密度近似为表示距市中心 公里区域内的人口数, 单位为每平方公里10 万人.试求距市中心2区域内的人口数. 解 假设我们从城市中心画一条射线, 把这条线上从0到2 之间分成n 个小区间, 每个小区间的长度为.每个小区间确定了一个环, 估算每个环中的人口数并把它们相加, 就得到了总人口数。第 个环的面积为:于是此环面积的线性主部为.在第 个环内, 人口密度可看成常数, 所以此环内的人口数近似为，即得微元。故人口数(10 万) , 即距市中心2 区域内的人口数大约为229, 100。总结与提高&数海撷趣数学与文学的关系，当代国际著名的数学家丘成桐在其演讲数学与文学的比较中有较为细致的论述，但最引人入胜的是关于数学思想与文学意境的论述，由“如孤帆远影碧空尽， 惟见长江天际流”的美妙意境联想到极限；从“众里寻他千百度，蓦然回首， 那人却在灯火阑珊处” 体会解题的感受；旷野孤身一人诵读佳句“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”，感受时空变换穿梭，真是其种种美的体验，不尽溢于言表。古人将数词入诗成为佳话，而将数词用在书信中其表情达意又另有一番滋味。相传西汉时卓文君与司马相如成婚不久，司马相如便辞别娇妻去京城做官。痴情的卓文君朝思暮想，等待春丈夫的“万金”家书。殊不知等了 5 年，等来的却只是一封写着“一二三四五六七八九十百千万”的数字家书。聪颖过人的卓文君当然明白丈夫的意思家书中数字无“亿”，表示丈夫已对她“无意”了，只不过没直说罢了。卓文君知丈夫已移情另有所爱，既悲且愤又恨当即复书如下：一别之后，两地相思，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中拆断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。万语千言道不尽，百无聊赖十凭栏。九重登高看孤雁，八月中秋月圆人不园。七月半