数值分析4-1.doc

二、差商、差分及插值多项式插值多项式作为一种计算方案有它自身的一些缺点，如要确定在某一点处的近似值，预先不知道要选择多少个插值节点为宜.通常的办法是依次算出，直到（根据估计）求出足够精确的的近似值为止，其中为在插值节点的次插值多项式；即使在计算的过程中，每步都需从头开始计算.我们设想给出一个构造的方法，它只需对作一个简单的修正即可.考虑-，显然是一个次数不高于的多项式，且对有 -=-=0即有个零点.因此，存在一个常数使得或等价于 =+如果常数可以确定，则可以从来求出.下面确定常数.在的表达式中令得：=+=-（ ）=1. 差商及插值多项式按照上式计算仍然比较麻烦，为此，引进差商的概念.定义：已知函数在个互异节点处的函数值为，（1）称 为关于节点的一阶差商，简称一阶差商（或均差），记作，即=（2）称一阶差商，的差商，为关于节点的二阶差商，记作，即 =（3）称阶差商的差商为关于节点的阶差商，记为即 约定为关于节点的零阶差商，并记为.注意： （1） 由差商的定义可知，若给定在个互异节点上的函数值，则可求出直至阶的各阶差商.如给定函数表：则各阶差商可列于下表： 0 123 利用差商表计算各阶差商是很方便的，且，处于表的第一条横线上.（2） 差商有下面重要性质：性质1：阶差商是由函数值的线性组合而成，即 = 此性质表明，在上面我们要确定的常数就是阶差商，即=，利用这一性质，我们可以将插值多项式表示成：=+ 上式右端称为次插值多项式，记为，即=+ 给定数据 30 45 60 求二次插值多项式.解：先求差商表 0 1230 = = = 45 = = 60 = 所以，二次插值多项式为：=+ 值得注意的是：插值多项式在节点处也满足插值条件，因而由插值多项式的唯一性可知：=，只是插值多项式便于计算罢了.性质2：差商具有对称性，即在阶差商中任意调换两个节点的顺序，其值不变. 这一性质说明：如果已由插值节点求得次插值多项式，现增加一个节点，则只需在差商表的最后加上，依次计算各阶差商即可.其过程如下： 0 123 2. 差分的概念上面讨论的是节点任意分布的插值多项式，但在实际应用中经常碰到等距节点问题，即节点为： ， 这里称为步长，此时插值公式可以进一步简化，同时可以避免除法运算.为此，引进差分的概念.定义：设已知函数在等距节点（）上的函数值为，称为函数在节点处以步长为的一阶向前差分，简称一阶差分，记作，即 =类似地，称 =-为在节点处以步长为的阶向前差分，简称阶差分.和差商的计算一样，差分也可以构造差分表计算： 并且可以证明，差商与差分之间有如下关系：= 给定数据 30 45 60 求二次插值多项式.解：记=15，=30，=45，=60，=30+15.先求差分表 304560 所以=+4.3 分段低次插值一、 龙格现象和分段线性插值1. 龙格现象前面我们讨论了多项式插值，并给出了相应的余项估计式.从中可以看出：余项的大小既与插值节点的个数有关，也与的高阶导数有关.以插值为例，如果在区间上存在任意阶导数，且存在与无关的常数使得 那么我们有余项估计式 从中可以看出，插值节点的个数越多，误差越小.但我们不能由此就断定插值节点数越多，误差就越小，这是因为上述的估计是有条件的：在区间上存在高阶导数，且高阶导数要一致有界.如：考虑区间上的函数=显然有任意阶导数，可以求得，因而 .如果取等距节点，把等分，分点为：，构造10次插值多项式： 其中，.通过计算我们发现，用来近似替代只有在区间内时，逼近程度最好，在其它地方则误差较大，特别是在端点附近，误差就更大.如，；，.对于高次插值所发生的这种现象，称为现象.现象说明插值多项式不一定都能一致收敛于被插函数，由于以上原因，一般都避免使用高次插值，改进的方法较多，其中一个常用的方法就是分段低次插值.2. 分段线性插值给定在个节点上的数据表 记，.在每个小区间上利用数据，作线性插值：=+则线性插值的余项估计为：令：则 .即满足插值条件，称为的分段线性插值函数.其中称为区间的一个分划，称为边界点，称为内节点.利用作为的近似，其余项估计式为=上式说明分段线性插值的余项只依赖二阶导数的界，只要的在上存在连续的二阶导数，当时就有余项一致趋于零.3. 分段埃尔米特三次插值采用分段线性插值，虽然计算简单，且具有一致收敛性，但在节点处的导数不一定存在，因而光滑性较差.在有些实际问题中，如船体放样、机翼设计等要求有二阶光华度，即有连续的一、二阶导数.为了克服这种缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数插值条件.由此得到三次插值.首先考虑两个插值点，且.如果已知：， 则在区间上满足条件， 的插值多项式（如果我们限制其次数不超过3次的话）是存在唯一的.事实上，因要满足4个插值条件，其次数不会超过3次，称为的三次插值.并且可以如下构造：插值基函数：，为三次多项式. =，= =，=从而， =+对于一般的分段三次插值可如下定义：定义：设函数，对于划分，记：， 称分段三次函数=+ 为在区间上的三次插值多项式.其中 =，= =，=可以证明，及在区间上都是连续的，且对于具有一阶连续导数的，不仅一致收敛于，而且一致收敛于.这一性质显然比分段线性