浅探“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的相似性质.doc

浅探“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的相似性质罗贞巧（云南省会泽县茚旺高级中学，654200）通过阅读文1 、2以及查阅相关的资料，经过研究后发现“黄金椭圆”与“黄金双曲线”之间有着密切的联系，因此具有很多的相似性质。为了探求他们更多的性质，本文略微列举几个，并对部分性质进行证明，供参考。一、相关概念 1.黄金分割点：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为，这个分割点称为黄金分割点。如图： ACB，为线段的黄金分割点。记2黄金椭圆：如果椭圆的半焦距与长半轴长之比等于，即椭圆离心率，则称这种椭圆为黄金椭圆。3黄金双曲线：如果双曲线的实半轴长与半焦距之比等于，即双曲线离心率，则称这种双曲线为黄金双曲线。4双曲线菱形：连接任一双曲线焦点与虚轴端点的菱形叫做双曲线菱形。二、“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的联系若一双曲线以黄金椭圆的长轴端点为焦点，以黄金椭圆的焦点为实轴端点，则此双曲线为黄金双曲线。O图1如图1，已知：黄金椭圆的焦点为、，长轴端点为、，一双曲线以、为焦点，以、为实轴端点。求证：此双曲线为黄金双曲线。证明：设，则.设双曲线方程为：，则.由于双曲线的离心率，于是.又因为黄金椭圆的离心率为，所以.即双曲线的离心率为，故此双曲线为黄金双曲线。三、“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的一些相似性质性质一：一椭圆是黄金椭圆的充要条件是其长半轴长、短半轴长、半焦距成等比数列。一双曲线是黄金双曲线的充要条件是其实半轴长、虚半轴长、半焦距成等比数列。此性质由“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的定义即可得证。性质二：设、是一个椭圆上任意两点，是线段的中点，、的斜率、都存在，则这个椭圆是黄金椭圆的充要条件是.设、是一个双曲线上任意两点，是线段的中点，、的斜率、都存在，则这个双曲线是黄金双曲线的充要条件是.下面证明“黄金椭圆”。证明：设椭圆方程为：，焦距为，则，.又因为点、在椭圆上，所以有由-得：，所以又椭圆是黄金椭圆，由性质一可知：故.反过来证明“黄金椭圆”。事实上，由上得知： ，从而，所以，故椭圆是黄金椭圆。对于双曲线来说，同理可证。性质三：设椭圆的四个顶点为、，则椭圆是黄金椭圆的充要条件是菱形的内切圆过椭圆焦点。一双曲线是黄金双曲线的充要条件是双曲线菱形的内切圆过实轴端点。图2对于这个性质，本人只对双曲线的情形进行证明，椭圆的情形由黄金椭圆与黄金双曲线之间的联系即可得。如图2，已知：黄金双曲线的左、右焦点分别是、.求证：以、为顶点的菱形的内切圆过顶点、.证明：由已知可得直线的方程为，则原点到该直线的距离为，将代入，得，又将代入，化简得，即直线与圆相切，同理可证：直线、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆。反之，易证“双曲线菱形的内切圆过实轴端点双曲线是黄金双曲线”。性质四：一椭圆是黄金椭圆的充要条件是过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方形。一双曲线是黄金双曲线的充要条件是过其焦点且垂直于实轴的直线与双曲线的交点围成一个正方形。此性质的证明可仿照文1及本文的性质一得到，这里从略。性质五：黄金椭圆上任一点与其两个长轴端点（或两个短轴端点）的连线的斜率之积为定值.黄金双曲线上任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为定值.此性质的证明可仿照本文性质二的证明过程。数学是一门具有高度的抽象性和严密的逻辑性的学科。作为一名数学老师，我发现很多人不喜欢数学，总觉得数学枯燥乏味，深涩难懂。但是由以上列举的“黄金椭圆”与“黄金双曲线”的几个相似性质，我们可以充分体会到数学中的对称、统一、和谐的数学美。当我们学会了去欣赏数学美之后，就会在学习数学的实际操作中去发现美、创造美，数学中蕴含的美的因素是深广博大的，所以