数字信号处理复习大纲.doc

数字信号处理复习大纲 绪 论一、信号的分类：(1)一维信号、二维信号、矢量信号（2）周期信号和非周期信号（3）确定信号和随机信号（4）能量信号和功率信号（5）连续时间信号、离散时间信号和数字信号（注意其中的区别）二、数字信号处理的基本组成D/A转换器A/D转换器模拟滤波器数字信号处理器前置预滤波器 三、数字信号处理的特点： 精度高、灵活性高、容易大规模集成、时分复用、可靠性强、可获得高性能指标、二维与多维处理第一章 离散时间信号与系统一、序列的运算在数字信号处理中常用序列的运算：移位、翻褶、相加、相乘、累加、差分、时间尺度变换、卷积等运算。 7差分运算前向差分 后向差分 由此得出二、几种常用序列1单位脉冲序列2单位阶跃序列3矩形序列 4实指数序列5正弦型序列6复指数序列 三、序列的周期性p1617（对应书本P42第4题，复习题选择题49题）如果对所有存在一个最小的正整数N，满足，则称序列是周期性序列，周期为N。 现在讨论正弦序列的周期性。 若 这时正弦序列就是周期性序列，其周期满足（，必须为整数）。可分情况讨论如下: （1）当为正整数时，周期为。 （2）当不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则，其中，为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为。 （3）当是无理数时，则任何皆不能使取正整数，这时，正弦序列不是周期性的。二、卷积的运算以及画图p13 书本P42习题1，复习题中选择题21、71题y(n)=卷积的运算过程在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。右对齐对应相乘同列相加（1）翻褶：先在哑变量坐标上做出和，将以的垂直轴为对称轴翻褶成。（2）移位：将移位，即得。当为正整数时，右移位。当为负整数时，左移位。（3）相乘：再将和的相同值的对应点值相乘。（4）相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来，即得值。依上法，取,-2,-1,0,1,2,各值，即可得全部值。 三、能正确判断系统的线性、以不变、因果、稳定性。 对应于书本p42习题6、7、8五、因果系统线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 六、稳定系统一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即 七、常系数线性差分方程的求解 对应书本P43习题9、101.2 连续时间信号的采样（复习题中选择题7、20、51）一、如果信号的最高频谱超过/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，我们将采样频率之半（/2）称为折叠频率，即或它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。结论：要想采样后能够不失真的还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（2），这就是奈奎斯特采样定理。（可能出问答题中）即 2 频率一般称为奈奎斯特频率。第二章 Z变换于离散时间傅里叶变换（DTFT）一、变换的定义一个离散序列的变换定义为式中是一个复变量，它所在的复平面称为平面。（1）有限长序列p45（对应复习题上的选择题的第6题）序列只在有限区间之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即， 其变换为具体有限长序列的收敛域表示如下：，时， ，时， ，时， 有时将开域称为“有限平面”。（2）右边序列p4546 右边序列是指只在时有值，在时，其变换为X(z)，如果是收敛域的最小半径，则右边序列变换的收敛域为 因果序列是最重要的一种右边序列，其变换收敛域包括。右边序列的变换如果有个有限极点存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即 对于因果序列，处也不能有极点。（3）左边序列（对应复习题上的选择题的第32题）左边序列是指在时有值，而在时，左边序列变换的收敛域为 如果，收敛域应包括，即。对于左边序列，如果序列变换有N个有限极点存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样才能在整个圆内解析，也即 （4）双边序列（对应复习题上的选择题的第6题） 双边序列其变换有收敛域 这是一个环状区域。如果，则无公共收敛区域，无收敛域，也即在z平面的任何地方都没有有界值，因此就不存在的解析式，这种变换就没有什么意义。 表1-1 几种序列的z变换 序 列 变 换 收 敛 域 1 1 所有 2 3 4 全部除去0（若）或（若） 5 6 14 1.4.2 反变换一般求反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法（长除法）。（填空或问答）对用书本P94习题2、3、41.4.3 变换的性质一、线性那么对于任意常数、，变换都能满足以下等式： (1-79)通常两序列和的变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域： 如果线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。二、序列的移位 (1-80)位移可以为正（右移）也可以为负（左移）。三、乘以指数序列（域尺度变换） (1-81)四、的微分 (1-82)五、复序列的共轭 符号“*”表示取共轭复数。六、翻褶序列 九、序列卷积（卷积定理） 若 则 (1-88)的收敛域为、收敛域的公共部分。若有极点被抵消，收敛域可扩大。在线性时不变系统中，如果输入为，系统的单位脉冲响应为，则输出是与的卷积，利用卷积定理，通过求出和，然后求出乘积的反变换，从而可得。这个定理得到广泛应用。十一、帕塞伐（Parseval）定理利用复卷积定理可以得到重要的帕塞伐定理。若有两序列、， ， 它们的收敛域满足以下条件： 那么 帕塞伐定理的一个很重要的应用是计算序列的能量，一个序列值的平方总和称为“序列能量”，利用公式（1-95），如果有，则 这表明时域中求能量与频域中求能量是一致的。1.5 拉氏变换、傅氏变换与变换1.5.3 序列的傅氏变换与z变换 特别值得指出的一点是：是的周期函数，其周期为。表1-3 序列傅里叶变换的主要性质 序 列 傅里叶变换 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Re 13jIm 14 Re15 jIm16. 为实序列 = Re=Re Im=-Im arg=-arg17 实序列 Re 为实序列 jIm18 （帕塞伐公式）19 （帕塞伐公式） 表1-3中的和分别为序列的共轭对称序列和共轭反对称序列，和分别为的共轭对称分量和共轭反对称分量。 表1-4中列出了几个基本的傅里叶变换对。表1-4 傅里叶变换对 序 列 傅里叶变换 1 1 2 3 1 （） 4 （） 5 6 7 8 一、 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR） 在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，称之为“有限长单位脉冲响应系统”简称为FIR系统。IIR只能采用递归型结构，FIR系统多采用非递归型，但用零点、极点互相抵消的办法，则也可采用含有递归结构的电路。例1-24 考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程 显然，其系统函数为 因系统是因果系统，故其收敛域为。该系统的单位取样响应为 因为无限长，故为IIR系统。二、 系统频率响应的意义线性时不变系统的频率响应是以为周期的连续周期函数，是复函数，它可以写成模和相位的形式 其中频率响应的模叫做振幅响应（或幅度响应）。频率响应的相位叫做系统的相位响应。系统频率响应存在且连续的条件是绝对可和，即要求系统是稳定系统。例1-27 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定 设系统是因果的。（1）求该系统的单位取样响应；（2）由(1)的结果，求输入的响应。解（1）对差分方程两端分别进行变换可得： 系统函数： 系统函数仅有一个极点， ，因为系统是因果的，故的收敛域必须包含，所以收敛域为。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。 对系统函数进行反变换，可得单位脉冲响应为或 （2） 第三章 离散傅里叶变换(DFT)3.1 引 言表2-1 四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数 连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散3.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT）2.4.1 DFT的定义 DFS与IDFS的公式 = = 这两个公式的求和都只限定在到的主值区间进行，它们完全适用于主值序列与，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义。根据（2-29）式与（2-27）式，长度为的有限长序列，其点的离散傅里叶变换仍然是一个长度为的频域有限长序列，它们的关系为 = =, = =, 例1 已知序列，求它的点DFT。解：单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义（2-30）式得到： 例2 已知是一个长度的有限长序列，求它的点DFT。解：由DFT的定义式（2-30）利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到的取值区间，可得 3.5 离散傅里叶变换的性质一、线性 二、圆周移位 1. 定义 一个长度为的有限长序列的圆周移位定义为 2. 时域圆周移位定理设是长度为的有限长序列，为圆周移位，即 则圆周移位后的DFT为 3. 频域圆周移位定理对于频域有限长序列，也可看成是分布在一个等分的圆周上，所以对于的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：若 则 这就是调制特性，它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。三、圆周卷积设和都是点数为的有限长序列（） , 若 则 一般称(2-41)式所表示的运算为和的圆周卷积。下面先证明(2-41)式，再说明其计算方法。圆周卷积过程中，求和变量为，为参变量。先将周期化，形成，再反转形成，取主值序列则得到，通常称之为的圆周反转。对的圆周反转序列圆周右移，形成，当时，分别将与相乘，并在到区间内求和，便得到圆周卷积。若 、皆为点有限长序列，则 (2-42)即时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以。四、有限长序列的线性卷积与圆周卷积设是点的有限长序列（），是点的有限长序列（）。（1） 线性卷积 是点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1。（2）与的圆周卷积。先假设进行点的圆周卷积，再讨论取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。 它们的周期卷积序列为 与的周期卷积是 与线性卷积的周期延拓。圆周卷积正是周期卷积取主值序列 因此 所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件为 （2-47）满足此条件后就有 即 五、共轭对称性设为的共轭复序列，则 （2-48）且 也即 （2-49）设有限长序列的长度为N点，则它的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量分别定义为 （2-50） （2-51）则两者满足 ， （2-52） ， （2-53）如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列都可以表示成其圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量之和，即 ， （2-54）由（2-50）式及（2-51）式，并利用（2-48）式及（2-49）式 ，可得圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT分别为 (2-55) (2-56)下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。若用及分别表示有限长序列的实部及虚部，即 (2-57)其中 则 (2-58) （2-59）其中，为的圆周共轭对称分量且，为的圆周共轭反对称分量且。另外，根据上述共轭对称特性可以证明有限长实序列DFT的共轭对称特性。若是实序列，这时，两边进行离散傅里叶变换并利用（2-48）式，有 (2-60)由上式可看出只有圆周共轭对称分量。若是纯虚序列，则显然只有圆周共轭反对称分量，即满足 （2-61）上述两种情况，不论哪一种，只要知道一半数目就可以了，另一半可利用对称性求得，这些性质在计算DFT时可以节约运算，提高效率。六、DFT形式下的帕塞伐定理即 = （2-63） 这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。第四章 快速傅里叶变换（FFT）一利用的共轭对称性、周期性、可约性等性质，可以减小DFT的运算量。（简答或填空）二、倒位序规律（了解） 表3-1 N=8时的自然顺序二进制数和相应的倒位序二进制数自然顺序（I）二进制数倒位序二进制数倒位序（J）0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537三、频率响应的混叠失真在图3-22画出的基本步骤中，A/D变换前利用前置低通滤波器进行预滤波，使频谱中最高频率分量不超过。假设A/D变换器的采样频率为，按照奈