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张泽文 10微电一班 20101600626.设谐振子处于基态(n=0);(1)写出其波函数的表达式;(2)由哈密顿算符的本征方程及基态波函数计算基态能量。解:(1)本征函数为:其中对于基态, n=0,有:,(2)将上式代入得7.设谐振子的初态为基态和第一激发态的叠加态:(1)求出归一化常数A;(2)求出谐振子任意时刻的状态;解:(1):由归一化条件有:,有:于是;(2):由于 而:,于是有: 8. 证明:坐标与动量算符构成的算符不是厄密算符,已知。 证明:由于动量算符和坐标算符都是厄密算符,即: 于是有: 所以算符不是厄密算符。9. 求解角动量Z分量的本征方程:给出本征函数和本征值。 提示:利用周期性边界条件: 解:由本征方程:,得: 再由归一化条件,有: ,得: 于是 :,再由周期性边界条件:有:,即:再展开:, 于是有: 最后得本征值: 归一化本征函数:10:氢原子处于基态(n = 1,l = 0, m = 0):(1)写出其本征函数;(2)写出电子的径向几率密度;(3)求电子的最可几半径;(4)说明量子理论与玻尔理论的区别。解:(1)= (2)d=4d = () (3)=2-2=0 此时r=,此时有最可几半径 (4)玻尔理论:电子处于r=a的轨道 量子理论:电子在整个空间(0ra)的几率都不为0,但在玻尔半径r=a时的几率最大。11. 设厄密算符F有正交完备集,相应的本征方程为,则任一矢量可以按 展开为(1) 称为什么? 表示什么?(2) 证明(3) 证明算符F在态中的期待值为解: (
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