考研试题分析二(导数与微分).pdf

考研试题分析二 导数与微分 考研试题分析二 导数与微分 例例 1 1999 年高数二 设函数由方程确定 则 xyy xyxyxsin ln 32 0 x dx dy 答案 1 分析 这是一个隐函数 可以利用复合函数求导法则求解 解答 把 代入已知等式得0 x1 y 对两边求导得 xyxyxsin ln 32 xyxyx yx yx cos3 2 32 2 把代入上式得 1 0 yx 1 0 y 故1 0 x dx dy 例例 2 1998 年高数一 函数xxxxxf 32 2 不可导点的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 分析 因为函数带有绝对值 可以用左右极限的办法来求函数在某点的左右导 数判断 解答 因为 1 1 2 2 xxxxxxf 则函数除了分段点外都可导 在分 段点有可能不可导 因此只要判断函数在分段点不可导的个数 容易判断函数在处不可导 而在1 0 x1 x处可导 故选 B 2 例例 3 2003 年高数二 设函数 xyy 由参数方程 t u du u e y tx ln21 1 2 21 所确 定 求 1 t 9 2 2 x dx yd 1 分析 运用参数方程求导法则计算 解答 由 t et tt e dt dy t ln21 22 ln21 ln21 t dt dx 4 则 ln21 24 ln21 2 t e t t et dt dx dt dy dx dy 所以 222 2 ln21 4 1 tt e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx yd 当时 由和得9 x 2 21tx 0 t2 t 故 2 9 2 2 2ln21 16 e dx yd x 例 4 例 4 2002 年高数二 已知函数在 xf 0 内可导 且满足 0 xf1 lim xf x xh h e xf hxxf 11 0 lim 求 xf 分析 先对 h xf hxxf 1 取对数 再由导数定义列出微分方程 得出 xf 解答 设 h xf hxxf y 1 则 ln 1 ln xf hxxf h y 因为 ln 1 lnlim 0 xf hxxf h y h hx xfhxxfx h ln ln lim 0 ln xfx 2 故 ln 1 0 lim xfx h h e xf hxxf 由已知条件得 x xfx ee 1 ln 因此 x xfx 1 ln 从而 2 1 ln x xf 解之得 x Cexf 1 由1 lim x xf得 x exf 1 例 5 例 5 1989 年高数三 设 2 1 nxxxxxf 则 0 f 分析 由于是一个多项式 而且由个一次因式乘积形式给出的 直接计算 非常困难 但是用导数的定义计算反而简单 xfn 解答 x fxf f x 0 lim 0 0 x fxf x 0 lim 0 x nxxxx x 2 1 lim 0 2 1 lim 0 nnxxx x 例 6 例 6 1996 年高数三 设其中具有二阶导数 且 求 22 0 2 tfy duufx t uf0 uf 2 2 dx yd 分析 函数用参数方程给出 因此可以用参数方程的求导公式求解 解答 因为 2 tf dt dx 4 22 tfttf dt dy 所以 4 2 tf t dt dx dt dy dx dy 3 故 2 41 2 222 2 2 tf tfttf dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx yd 例 7 例 7 2003 年高数二 已知 x x y ln 是微分方程 y x x y y 的解 则 y x 的 表达式为 A 2 2 x y B 2 2 x y C 2 2 y x D 2 2 y x 分析 将所给的解代入微分方程 求出函数的表达式 解答 由 x x y ln 则有 2 2 2 ln 1 ln 1 x y x y xxdx dy 代入有 2 2 y x x y x y x y 故 2 2 x y y x 例 8 例 8 2002 年高数二 设函数可导 当自变量在处取 得 增 量时 相 应 的 函 数 增 量 uf 2 xfy x1 x 1 0 xy 的 线 性 主 部 为 0 1 则 1 f A 1 B 0 1 C 1 D 0 5 分析 相应的函数增量的线性主部就是微分 因此利用微分可以解决 此 题考查学生书本的熟悉程度 y dy 解答 因为 2 2 xf x dx dy 则 1 0 1 2 1 0 1 2 x x x x xxf xdy 4 即 故 1 0 1 1 21 0 f 5 0 1 f 例 9 例 9 1995 年高数三 设 0 0 0 1 arctan 2 x x x c xf讨论 x f 在处的连 续性 0 x 分析 如函数在的连续 则 xf0 x 0 lim 0 fxf x 因此先要求出和 lim 0 xf x 0 f 解答 2 1 arctan lim 0 2 0 x x x f x 2 1 21 arctanlim lim 4 2 2 00 x x x xf xx 所以在处是连续 x f 0 x 例 10 例 10 2004 年高数一 已知 且 xx xeef 0 0 f 则 xf 分析 先换元求出 再