高考数学四川卷试题赏析.pdf

第 2 8卷第 9期 2 0 0 9年 9月 数学教 学研究 5 7 高考数学四川卷试题赏析 潘超赵 思 林 内江师范学院 数学与信息科学学院 四川 内江6 4 1 1 1 2 摘要 研 究命题 的立 意 类型和试题 的特 点 解 法是 研 究高考教 学试题 的重要 内容 结 合考纲要 求 从试题 背案 立意 解法等视 角对 高考数 学四川卷 中思想方法型 试题 思维能力型试 题 问题探 宛 型试题和高数背景型试题进行 赏析 指 出 了各种 类型试题 的命题特 点 解题方 法 并提 出几条合理 的 教学建议 关键词 普通 离孝 四川卷 数 学试题 f 赏析 中图分类号 G6 3 2 4 7 9 1 引 言 四川省高考数学从 2 0 0 6年至 2 0 0 9年已 连续 4年 自主命 题 纵 观 这 4年 高 考 试 卷 和 考生考试情况 我们认为试卷 的命制较好地 贯彻 了全 国考试 大 纲 的精神 试 题 注 意 以能 力立意为指导 以考查能力和素质 作为命题 的一条基本原则 实施对考生的考查 体现了 如下特点 既重视基 础 又强调 能力 既立足 和回归教材 又强化数学本质 的考查 既加强 高中数学主干知识 的考查 也重视应用 探究 和创新意识的考核 此外 试题还注意合理的 加大文理科差距 以及 注意考查学生进一步 学习的潜能 这 些试 题形成 了 立意鲜 明 背景新颖 设问灵活 层次清晰 的特色 有利 于反映各个层次学生的数 学学习水平和人才 的选拔 是实现能力立意的平 台与介 质 下面 对高考数学四川卷部分试题进行赏析 2 高考数学四川卷试题赏析 2 1 思想方法型赏析 数学思想是对数学知 识的本质认识 是 对数学规律的理性认 识 是从某些具体的数 学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数 学观点 它在认识活动中被反复运用 带有普 遍 的指导意义 是建立数学和用数学解决 问 题的指导思想 包含化归思想 分类思想 模 型思想 极限思想 统计思想 最优化思想等 而数学方法则是指从数学角度提 出问题 解 决问题 包括数学 内部问题和实际问题 的过 程中所采用 的各 种方式 手 段 途径 等 2 二 者是 紧密联系的 一般来说 强调指 导思想时 称数学思想 强调操作过程 时称为数学方法 因此 二者常常合称为数学思想方法 高考中 对数学思想方法 的考查 占据 了一个非常重要 的地位 这类考查数学思想方法 的试题称为 思 想方 法型 试题 例 1 2 0 0 7年 理 第 1 1 题 如图 1所示 Z l 是 同一 平 面 内的 3条 平行 线 与 f 闻 的 距 离 是 1 1 2与 Z 3 I 团 的 距 离 是 图 1 2 正三角形 ABC的 3个顶点分别在 l l 上 则 AB C的边长是 A 2 B D 收稿 日期 2 0 0 9 0 7 2 8 作者简介 潘超 男 四川内江人 讲师 硕士 主要从事数学学科教学法和数学 教师教育研 究 E ma i l b q p a n c h a o 1 6 3 c o m 5 8 数学教学研究 第 2 8卷第 9 期2 0 0 9年 9 月 背景 赏析本题 是 以几 何 尺规作 图 中的 变位法中的旋转法为背景 有一定的新颖度 试题原型为 求 作一个正 三角形 使 它的 3 个顶点 分别 在 3条 已知 的平行 线上 解 法 赏析从解 题 方法 上 看 多种 多样 灵活 构思巧妙 给学生 留有很大的 自由发挥 的空 间 3 粗 略 的 看 已 知 条 件 简 单 明 了 但 题 目背 景新颖 给人无从 下 手 的感 觉 要求 考 生能根据题 目的条件和结论进行观察 分析 联想 探索 决策 事实上 结合题 目中的平行 线间的距离和正三 角形这 2个条件 可 以从 平面几何 解析几何 三角 函数 向量等多个 角度人手 通过 面积法 三 角函数法 解析法 等多种方法运用方程的思想建立等量关 系即 可求解 例 2 2 0 0 9年 理 第 9题 已知直线 Z l 4 一3 6 0和直线 2 X 一一1 抛物线 Y 4 x上一动点 P到直线 和直线 Z 的距 离之和的最小值是 A 2 B 3 c 萼 D 器 立意赏析本题是将 圆锥 曲线 直线 知 识融于一体的好 题 条件简单 题意分 明 形 数结合 动静相依 既考查学生基础知识 又 检测 学生数 学 思想方 法 的运 用能 力 解法赏析解决本题可 以采用数形结合 的思想方法 从抛物线的定义人手 即可得知 动点 P到直线 l 的距离等于动点 P到抛物 线焦点的距离 因而将动点 P到直线 l 和直 线 2的距离之和转化 为动点 P到直线 Z 和 到抛物线焦点 的距离之和 使 问题立即变得 非常简单 避免了大量的计算 说明立足于教 材 从定义人手 运用基本的思想方法也能解 决 一些灵 活 的 问题 2 2 思维能力型赏析 数学是一 门思维 能力 的科学 思维能力 是数学科学能力的核心 数学思维能力 以数 学知识为素材 通过空 间想象 直觉猜想 归 纳抽象 符号表示 运 算求解 演绎证 明和模 式构建等诸 多方面 对客观事物 中的空间形 式 数 量关 系和 数学模 式进 行 思 考和 判断 形 成和发展理性思维 多考点想 少考点算 生动地表示 了对数学思维能力 的重视 四川 省数学 高考试 题也 特别 注重 对 学 生思 维能力 的考查 出现了大量思维能力型试题 解决这 类试题往往不依照现成的模型 而是靠考生 运用各种思想方法 积极展开数学思维 从而 解决问题 下面就一例加 以说明 例 3 2 0 0 6年 理 第 7题 已知正 六边 形 P t P 2 P a 尸 4 P s P s 下列 向量 的数量积最大 的是 A Pl P1 P3 B P1 Pl c D 解法赏析本题可以用数量积的几何意 义来解 通过对 4个选项的分析 我们会发现 都是某一向量与P 的数量积 而数量积的 几何意义 数量积 a b等于a的长度 l a l 与 在 a的方向上 的投影 l b l C O S 0的乘积 通过 几何作图可知 丽在瓶上的射影最大 故选 A 还可以用数量积的定义来求解 先求 出 P 3 P 1 P 2 P 4 P 1 P 2 P s P 1 P 2 P 6 P l P 2 再表示 出线段 P P P P P P s的长 本题 解法多 体现一定的灵活多样性 立意赏析 从 内容上看 将 向量同三角 函数 正多边形的性质进行有机的结合 符合 命题 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量可 以处理有关长度 角度和 垂直的问题 的要求 能有效的检测学生以数 形结合 化归与转化的数学思想 开展数理逻 辑关系 图形逻辑关系辨析的思维能力 本题较为简单 较此题更为复杂 更能考 测学生思维能力 的试题 往往包 括各卷压轴 题 如 2 0 0 9年高考数学 理 2 2题 综合考查 了数列 函数 不等式等知识 同时考察推理 论证 计算及解决 问题 的能力 突出了较强的 数学思维能力要求 2 3 问题探究型赏析 在四川省 自主命题的 4年中出现了许多 第 2 8卷第 9 期2 0 0 9年 9月 数 学教 学研 究 5 9 构 思精 巧 情 境新颖 的试题 这 些 试题 充 分 体 现了 2 0 0 3 年教育部颁布的 普通高 中数学课 程标准 实验 的精神 除 了注重提高学生 的 数 学思维 能力 外 还 倡 导积 极 主 动 勇 于探 索 的学 习方 式 相应 的试 题 考 查 学 生 的探 究 意 识和探究能力 我们称之为问题探究型试题 例 4 2 0 0 7年 理 第 2 2题 设 函数 1 厂 一f 1 1 n EN 且 1 aT ER 1 I 当z 一6时 求 1 l的展开式 I 中二项式 系数最 大 的项 I I f 是 的导函数 对任意 的 实数 证明 墨 z 是 否 存 在 a E N 使 得 a n n 1 f 1 o 的导数是 对任意两个不相等的数X X 2 证明 I 当 口 0时 f 兰 2 2 1 I 当 口 4时 I 厂 1 一厂 z 2 I l X 2 1 立意赏析本题主要考查导数的基本性 质和应用 函数的性质 和均值不等式等知识 及综合分析 推理论 证的能力 从 内容上看 将导数同函数 均值不等式等知识进行整合 体现考纲中的 注重科学的 内在联系和知识 的综合性 解法赏析第 1 小题事实上以琴森不等 式为背景 其关键 是证 明该 函数是凸函数 即 证明 的二阶导数大于 0 第 2小题是 以 拉格 朗 日中值 定 理 为背 景 关键 在于证 明 丰 三 旱 1 可 考 虑 用 函 数 单 调 性 放缩法等多种方法求解 本题虽然以高等数学为背景 但 可以不 需要高等数学知识 符合考纲的要求 当然在 解题的篇 幅方面 初 等数学 的方法冗 长 繁 琐 高等数学的方法简洁 明了 事实上 四川卷像这样的试题还有很多 如 2 0 0 6年选择题第 9题是 以高等数学 中球 面几何边的余 弦定理 为背景而设计 的 2 0 0 7 年第 2 1题是一个计算 数学中弦切线法为背 景而设计产生数列的一个问题 3 教学启 示 高考是对一个学生全方位 的考查 涉及 的知识面广 教师不可能在教学 中把所有题 型逐个介绍 因此 注重对学生数学素养的培 养是非常有必要 以此提高学生解决问题 的 能力 教师在教学过程中应该注意以下几点 3 1 重视 思想 方法 的培 养 近几年的高考数学试题十分讲究数学思 想方法 这类 问题 一般较灵活 技巧性较强 解法也多样 这就要求考生找 出最佳方法 以 达 到 准 确 和争 取 时 间 的 目的 这 些 思想 方 法 分散地渗透在 中学数 学教 材的各章节之 中 在高考前的复 习过程 中 教 师要在传授基础 知识的同时 有意识 恰 当地讲解与渗透思想 方法 帮助学生掌握科学的方法 从而达到传 授 知识 培 养 能 力 相 结 合 的 目的 只有 这 样 考生在高考中才能灵活运用和综合运用所学 的知识 3 2重视 阅读 材料 的学 习 课本中设置 的 阅读 材料 是对教材 的拓 展 是对学有余力同学的有益扩充 蕴含着 比 教材更为丰富 的知识与思想方法 教师应有 意识的适 当指导学生阅读 和解决这些材料 这不单对他们数学思维能力 阅读理解能力 的培养 尤其是对数学语言能力 包括数学符 号语言转化为通俗 易懂 的生活语言 文字语 言转化 为数 学符 号语 言 的能力 的训 练 还 能 教会他们终身学习的方法与能力 3 3 倡 导探 究性 学 习方式 学校和教师要为学生营造 自主探究和合 作交流的空间 善于从教材实 际和社会生活 中提出问题 开设研究性课程 让学生 自主学 习 讨论 交流 在解决 问题 的过程中 激发兴 趣 树立信心 培养钻研精神 掌握一些基本 的研究方法 以此提高 自主学习和研究能力 3 4 研 究 教材 和考试 大 纲 教材是学生学习的基础 高考命题 的根 本 因此平 时 教 学 中应 立 足 教 材 解 析 教 材 并在此基础上深化教材 从 横向和纵向上进 行整合 使数学知识系统 以不同问题方式展 现出来 使学生在不 同方式 的问题认知过程 中实现认知结 构的整体优化 从而优化解题 策略 提高解题效率 考纲及考纲说明是高考命题 的文件性 内 容 是考试命题的依据 也是高考复习的重要 参考 钻研考纲应注意以下几点 1 掌握命题要求 的 六原则 考查主干 知识 强调数学思想方法 深化 下转第 6 7页 第 2 8卷第 9期 2 0 0 9 年 9月 数学教学研究 6 7 问 何 时取 得这 个最 大值 答 当且 仅 当 一2 7 6 一Y时 取得 一部 分 同学 已经意识 到错 误所 在 即 4 9的错 误 教 师引导 使 学 生 意 识 到 两 次 运 用 均 值 不 等式求 最 值 必 须 满 足 两 次 等号 同 时成 立 因此 只要 条件 中两 等 式相 等 即可 正解变 形使 条件 变 为 一 l S y 一 1 4 9 一 6 号 3 Y 6 一 3 十 一 3 2 此 时 当 且 仅 当 号 一 号 b 一 3 v 由 于条 件 中两 等 式 都 等 于 1 所 以 可 以取 到 同 时相 等 所 以 n 6 3 的最 大值 为 6 当然此 题 有 其 他 的 解 法 例 如 三 角 代 换 等 不妨此时再引导学生用其他方法 拓宽思 路 不要 轻易 否定 学 生 的想法 并 对 其 进行 及 时地正确疏导 是建构 主义教 学观 的重要体 现 同时也 是对 学生 自信心 的保 护 教 学 中应 大 力 提 倡这 一 做法 从 而 促 进 学 生 思维 水 平 的大 幅度提 高 通过 这样 不 断 引 导 学 生 反 思 错 误 使 学 生 所 学 的数 学 知 识 得 以巩 固 解 题 技能 得 到 了 训 练 从 而 提 高 了 思 维 能 力 和 优化 了思 维 品质 学 生 的想法 也许 是 幼稚 的 但 幼稚 中常 常 蕴 涵着 创 造 的火 花 学 生 的解 题 思 路 也 许 是笨 拙 的 但这 笨拙 往 往是 聪 慧 的起 点 老 师 的作用就是激发他们的创造力 培养他们的 悟性 失败 是成 功之母 经 常 总结失 败 的教 训 经常反思 就可 以少走 弯路 永远立 于不 败之 地 从胜 利走 向胜 利 参考文献 1 章珏 例说走 出纠错 教 学 困境 的几点 感悟 J 中