09级大学文科数学自测题.pdf

大学文科数学 单元练习一 大学文科数学 单元练习一 1 设1 设 f x与与 g x互为反函数 且互为反函数 且 0f x 求 求 3 21 g fx 的反函数 2 的反函数 2 1 1 0 1 x f x x 求 1 求 1 f f x 2 2 3 2 ffx 3 3 sin 1cos 3 2 x fx 求 求 cos 2 x f 4 4 lim f x存在 存在 lim g x不存在 问不存在 问 lim f xg x lim f x g x是否存在 5 是否存在 5 lim f x lim g x 则下列极限正确的是 A 则下列极限正确的是 A lim f xg x B B lim 0f xg x C C 1 lim0 f xg x D D lim 0 x kf xk 6 下列极限正确的是 A 6 下列极限正确的是 A 2 0 sin lim1 x x x B B 0 lim1 tan x x x C C 2 0 lim1 sin x x x D D sin lim1 x x x 7 下列极限不正确 7 下列极限不正确的是 A 的是 A 2 0 lim 1 3 x x B B 0 1 lim1 1 x x C C 1 1 1 lim10 x x D D 1 00 lim 30 x x 8 下列极限不正确 8 下列极限不正确的是 A 的是 A 2 1 lim 1 x x e x B B 1 1 lim 1 x x e x C C 2 2 1 2 0 lim 1 x x x xe D D 1 2 0 lim 1 x x xe 9 已知 9 已知 1 sin f x x 问问 0 lim x f x 是否存在 10 是否存在 10 0 x时 时 2 1 x f xe是是 sin 2 g xx的 无穷小 A 高阶 B 低阶 C 同阶但非等阶 D 等阶 11 的 无穷小 A 高阶 B 低阶 C 同阶但非等阶 D 等阶 11 0 x时 以下函数与 时 以下函数与 x为等阶无穷小的是 A 为等阶无穷小的是 A 1tan1sinxx B B 2tansin2xx C C 3 sin4xx D D cos 1 2 x 12 下列命题中正确的是 A 无穷小是绝对值很小的数 B 无穷大是绝对值很大的数 C 无穷小的倒数是无穷大 D 无穷大的倒数是无穷小 13 12 下列命题中正确的是 A 无穷小是绝对值很小的数 B 无穷大是绝对值很大的数 C 无穷小的倒数是无穷大 D 无穷大的倒数是无穷小 13 0 x时 函数 是 时 函数 是 x 的 2 阶无穷小 A 的 2 阶无穷小 A sin 2 x B B 1cosx C C 11xx D D 1 cosx x 14 14 x 时 时 f x与与1 x是等价无穷小 求是等价无穷小 求lim 3 2 x xfx 15 已知当 15 已知当 0 x时 时 tan1sinaxx ln 12 k bx 求常数 求常数 ab和和k 16 已知 16 已知 0m n 当 当 0 x时 证明 1 时 证明 1 mnmn xo xo x 2 2 mnmn o xo xo x 3 当 3 当mn 时时 min mnk o xo xo xkm n 17 求极限 1 17 求极限 1 0 11 lim 11 m n x x x 2 2 0 1cos lim 1cos x x xx 3 3 coscos lim xa xa xa 4 4 6 limtan3tan 6 x xx 5 5 22 0 11 lim 11 x xxxx xx 6 6 2 1 lim 1 n x xxxn x 7 7 1 0 lim cossin x x xx 8 8 230 442 lim 11 xx x x 9 9 2 3 1 cos 1 lim ln x xx x 10 10 2 1 lim 1 x x x 11 11 1 0 lim 1 x x x xe 12 12 2 sin 2cos lim sin 2 x x x 13 13 2 2 sin 4 lim 22 x x x 14 14 0 cos2 lim ln 12 x x ex x 18 求 18 求 sin lim 2cos n nn nn 19 19 0 1 1 lim ln cos x x x x 20 已知20 已知 2 lim 1 1 x xaxbx 求 求 ab 21 21 2 1 3 lim 112 x ax xx 求 求a 22 设 22 设 tan 2 0 1 limlim x x x xx x e xk 求常数 求常数k 23 求 23 求a 使函数 使函数 1 sin 0 0 0 xx f xx x 1 1 1 时求时求 fx 2 2 2 时 时 fx在在 0 x 是否连续 请证明你的结论 11 是否连续 请证明你的结论 11 sinf xxx 求 求 fx 12 12 2 3 cosf xx 求 求 fx 13 设 13 设 1 1 f x x 且 且 0 17f x 求 求 0 ffx 14 求下列函数的导数或微分 1 14 求下列函数的导数或微分 1 cot 2 x y 求 求 3 y 2 2 0 xab abx xa b yab 求 求 y 3 3 2 1 t s t 求 求 2 2 d s d t 4 4 1 lg arccos x x e y x 求 求dy 15 求下列方程所确定的隐函数 15 求下列方程所确定的隐函数 yy x 的导数的导数y 1 1 lnsin yxxy 2 2 2 arcsin cosxyyx 16 设 16 设 y yxe 则 则dy A A 1 y y e dx xe B B 1 y y e dx xe C C 1 y y xe dx e D D 1 y y xe dx e 17 17 dfx x dx 求 求 fx及及 1 f 18 已知 18 已知 2 nx yx 求 求 1 n y 19 19 f xx yef e f x可导 求可导 求 y 20 20 3 11 2fx xx 求 求 dfx 21 设函数 21 设函数 f x有连续导数 且有连续导数 且 0 0 1ff 求 求 0 sin 1 lim ln x fx f x 22 求下列极限 1 22 求下列极限 1 3 0 tan lim sin x xx x 2 2 tan 2 1 lim 2 x x x 3 3 1 0 1 lim x x e x 4 4 1 1 lim 1ln x x xx 5 5 1 lim1 x x xe x 6 6 1 lim 1 tan 2 x x x 7 7 2 1 0 sin lim x x x x 8 8 1 0 lim lnln 1 x xx 9 9 1 ln 0 0 lim cot x x x 10 10 2 2 ln sin lim 2 x x x 23 求函数 23 求函数 2 1 x f x x 的极值与极值点 24 函数 的极值与极值点 24 函数 yf x 的导函数的导函数 yfx 的图像如下所示 则下列结论正确的是 A 的图像如下所示 则下列结论正确的是 A 1x 是驻点 但不是极值点 B 是驻点 但不是极值点 B 1x 不是驻点 C 不是驻点 C 1x 是极小值点 D 是极小值点 D 1x 是极大值点 是极大值点 25 设 25 设 2 2 1 1 axbxa f x x 在在3x 处有极小值 0 求常数处有极小值 0 求常数 a b的值及函数的值及函数 f x的极大 值点 26 设函数 的极大 值点 26 设函数 f x对一切对一切xR 都满足方程都满足方程 31 1 2 1 1 x xfxxfxe 1 若 1 若 f x在点在点 1 xa a 取得极值 问它是极大值还是极小值 2 若 取得极值 问它是极大值还是极小值 2 若 f x在点在点1x 取得极值 问它是极大值还是极小值 27 若点 取得极值 问它是极大值还是极小值 27 若点 0 x为为 f x的极值点 则 A 的极值点 则 A 0 0fx B B 0 0fx C C 0 fx 不存在 D 不存在 D 0 0fx 或或 0 fx 不存在 28 若 不存在 28 若 0 0fx 0 0fx 则函数 则函数 f x在点在点 0 x处 A 一定有极大值 B 一定有极小值 C 不一定有极值 D 一定没有极值 29 函数 处 A 一定有极大值 B 一定有极小值 C 不一定有极值 D 一定没有极值 29 函数 yf x满足满足 0 x时有 A 时有 A 0ydy B B 0dyy D D 0dyy 30 一灯泡悬挂在水平桌面上方 已知读者在桌面上的视点距灯泡所在铅垂线的距离 30 一灯泡悬挂在水平桌面上方 已知读者在桌面上的视点距灯泡所在铅垂线的距离a米 视点 处的光线与视点处铅垂线的夹角为 米 视点 处的光线与视点处铅垂线的夹角为 已知视点处受到的照度 已知视点处受到的照度I与与 的余弦成正比 与视点 距灯泡的距离 的余弦成正比 与视点 距灯泡的距离l成反比 问灯泡悬挂多高时视点处的照度最大 31 曲线 成反比 问灯泡悬挂多高时视点处的照度最大 31 曲线 1xy上求一点 使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小 32 求内接于半径为 上求一点 使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小 32 求内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长 33 要制作一个下部为矩形 上部为半圆形的窗户 半圆的直径 的半圆的周长最大的矩形的边长 33 要制作一个下部为矩形 上部为半圆形的窗户 半圆的直径R等于矩形的宽 要求窗户的周 长为定值 等于矩形的宽 要求窗户的周 长为定值L 问矩形的宽和高 问矩形的宽和高h各为多少时 窗户的面积各为多少时 窗户的面积A最大 34 欲用围墙围成面积为 最大 34 欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形场地 并在正中用一堵墙将其分割成两块 设墙 高为常数 平方米的一块矩形场地 并在正中用一堵墙将其分割成两块 设墙 高为常数h米 问此场地的长和宽各为多少米时 才能最省建筑材料 35 从半径为 米 问此场地的长和宽各为多少米时 才能最省建筑材料 35 从半径为R的圆中切去一圆心角为的圆中切去一圆心角为 的扇形 余下的部分卷成漏斗 问的扇形 余下的部分卷成漏斗 问 为何值时漏斗的 容积最大 36 证明不等式 1 为何值时漏斗的 容积最大 36 证明不等式 1 0 x 时 时 arctan ln 1 1 x x x 2 2 则 A 则 A f x为为 a a 上的奇函数 B 上的奇函数 B f x为为 a a 上的偶函数 C 上的偶函数 C f x可能为可能为 a a 上的非奇非偶函数 D 上的非奇非偶函数 D f x必定为必定为 a a 上的非奇非偶函数 17 求下列定积分 1 上的非奇非偶函数 17 求下列定积分 1 2 2 sin 2cos x dx x 2 2 2 1 2 1 1xxdx 18 18 1 0 2 fx dx A A 2 2 0 ff B B 1 2 0 2 ff C C 2 1 0 ff D D 1 1 0 2 ff 19 19 0 x f x e B 0 0 xy C 0 0 xy D 0 0 xy 2 2 函数zxy 的定义域为 3 3 二元函数 2 cos zx y 则 y y z等于 A 22 sin xx y B 22 sin xx y C 42 cos xx y D 42 cos xx y 4 4 二元函数 x y zx 则 x z等于 A 1x y xy x B ln x y xx C 1 ln x yx y xy xyxx D 1 ln x yx y xy xxx 5 5 二元函数 ln x yzy 则 x z等于 A 1 ln x yxyy B ln ln ln x y yy C ln ln ln x y yyy D ln ln ln x y xyy 6 6 22 f xy xyxyxy 求 xy fx yfx y 7 7 求下列函数的偏导数偏导数和 或全微分全微分 1 arccos xy ze 求 z x 2 34 2 xy zxy 求dz 3 zuxy 求du及 2u z x 4 2 3 0 2 0 cosln x y ztdtt dt 求 z x 及 2 2 z y 5 2 sin zxy 求 xx z及 yx z 6 23 lnuxy 求du 7 ln zxxy 求 xy z 8 ln y zxxy 求d z 9 2y zx 求 x y z 10 arctan 1 xy z xy 求 2 2 z y 8 8 11 expz xy 证明 22 2 zz xyz xy 9 9 22 zF xy 且 F u为可微函数 证明 xy y zx z 10 10 函数 1 24 f x yxy 2 f x yxy 在点 0 0 处是否存在偏导数 11 11 对于二元函数 zf x y 有 A 偏导数不连续 则全微分必不存在 B 偏导数连续 则全微分必存在 C 全微分存在 则偏导数必连续 D 偏导数存在 则全微分必存在 12 12 已知 1 1xy 证明近似公式 1 1 1 mm xymxny 13 13 已知 x zfx xy y 求dz 1414 1 cos zyxy 为可微函数 求证 xy z zz y 2 二阶可导函数 f u满足 0fuufu 证明 zfxy 满足0 x y z 15 15 已知 1 ln y x zxfxyx 其中 f u二阶可导 证明 22 1 x xy y x zy zxy 16 16 已知 f u二阶连续可导 且 yx F x yfyf xy 求 22 x xy y x Fy F 1717 1 设20 x yz ezedz 求 求 2 yy x z 由方程ln xy yz 确定 求 y z y x 和dy 18 18 zz x y 由方程 222 40 xyzz 确定 求 x x z 19 19 设 uu x yx y 且 且 0 1 xuy yux 求 xyxy u u 20 20 求下列函数的极值 1 22 2 3 xy f x yexy 2 1 cos yy f x yexye 3 4422 2f x yxyxxyy 21 21 二元函数 22 241zxyxy 的极值点是 A 0 0 B 0 2 C 1 0 D 1 2 22 22 求函数 22 zxy 在条件1 xy ab 0 a b 下的极值 23 23 设某种产品的生产函数为 2 0 005Q x yx y 这里Q为产量 x y分别为两种原料 A A B B 的数量 已知 A BA B 两种原料的单价分别为 1 1 元和 2 2 元 现欲用 150150 元购买原材料 问需要 购进两种原料各多少时 可使生产的产品数量最多 并求出此值 24 24 某工厂要造一个无盖的圆柱形发酵池 容积为 3 2 池底材料每平方米 3030 元 池壁材料每 平方米 2020 元 问如何设计 才能使造价最低 大学文科数学 单元练习五 大学文科数学 单元练习五 1 设A为ps 矩阵 B是mn 矩阵 如果 T AC B有意义 则C是 矩阵 A pn B ms C pm D sm 2 A是n阶方阵 且 2 0 AaA a 证明 1 1 k k a IAIA a 3 已知 11 0 0 22 T T AI 2 T BI 求AB及BA 4 已知 11 22 A 求 n A 5 已知 210 021 002 A 求 n A 6 A B是n阶方阵 且 2 AA 2 BB 及 2 ABAB 证明 0ABBA 7 证明 T A AO 的充要条件是AO 这里A是mn 的实矩阵 8 A为n阶对称阵 B为n阶反对称矩阵 判定下列矩阵是否为对称或反对称矩阵 1 ABBA 2 2 AB 3 T B AB 9 计算下列行列式 1 4 0 0 0 0 aba aab D baa aba 2 111213 3212223 313233 ababab Dababab ababab 3 4 xaaa bxaa D bbxa bbbx 4 4 2cos100 12cos10 012cos1 0012cos D 10 已知 4 1332 4545 0 040 3070 D x 求x的值 11 证明证明 1 222 1 2 xyz zxyxyzxyyzzx yzx 2 22 3 22 111 aabb aabbab 3 33 axbyaybzazbxxyz aybzazbxaxbyabzxy azbxaxbyaybzyzx 4 111111111 222222222 333333333 222 2229 222 abbccaabc abbccaabc abbccaabc 12 设行列式 4 abcd cbda D dbca abdc 则 11213141 AAAA 13 下列命题中不正确不正确的是 A det detdet T ABAB B det det TT ABAB C det detdetABAB D det detdetABAB 14 A B都是n阶矩阵 且2AB 则2AB 15 15 A B都是n阶正交矩阵 并且0AB 证明 0AB 16 设矩阵 222 111 Aabc abc 且abc 是互不相同的实数 求 1 1 1 TT A x 的解 17 17 证明 平面上三点 111222333 P xyP xyP xy共线的充要条件是 11 22 33 1 10 1 xy xy xy 18 设矩阵 31 22 31 22 A 有 6 AI 则 23 A A 31 22 31 22 B 31 22 31 22 C 10 01 D 31 22 31 22 19 n阶方阵A B C满足ABCI 则下列等式中正确的是 多选 A ACBI B BCAI C BACI D CABI 20 下列矩阵中不是初等矩阵的为 A 100 020 001 B 130 001 010 C 103 010 001 D 100 001 010 21 设AB 为n阶方阵 则下列命题正确的是 A 若AB 都可逆 则A B 必可逆 B 若AB 都不可逆 则A B 必不可逆 C 若AB不可逆 则AB 都不可逆 D 若AB可逆 则AB 都可逆 22 设AB 均为n阶方阵 则必有 A 1 11 ABA B B 1 11 ABAB C ABBA D T TT ABAB 23 123 221 343 A 21 53 B 13 20 31 C 求矩阵X 使AXBC 24 3 4 7 Adiag 且 1 6A BAABA B为3阶方阵 求B 25 解矩阵方程 11 AIAIXI 这里矩阵A为已知矩阵 26 n阶方阵A满足 2 AO 证明 IA 及IA 均可逆 27 设AB 均为可逆 方 阵 未 必 同阶 分 块 矩 阵分 块 矩 阵 AO C OB 证明C可逆且 1 1 1 AO C OB 并尽可能推广此结论 28 已知矩阵A 13 40 2 310 001 2 1 1 0 B 满足 1111 T XAIBB AI 求矩 阵X 29 已知 100 110 111 A 011 101 110 B 矩阵X满足 AXABXBAXBBXAI 求X 30 324 612 843 A 且 1 BIAIA 求 1 IB 31 设IA 是可逆矩阵 证明 1 1 IAIAIAIA 32 已知mn 矩阵M 并且 T MM可逆 令 1 TT PIMMMM 证明 1 T PP 即P为对称阵 2 2 PP 即P为幂等阵幂等阵 33 证明 A可逆时 有 1 TT AA 2 1 A A A 34 111 111 111 A 且 1 2A BAB 求B 35 已知A为可逆矩阵 则下列结论中不正确不正确的是 A 12 21 AA B 1 1 22AA C 1 1 T T AA D 11 AA E 11 AA 36 三阶方阵A的行列式为 3 则 1 32AA A 9 9 B 3 3 C 9 9 D 3 3 37 设A为n阶可逆矩阵 则下列结论不正确不正确的为 A T AA B 1 n AA C 22 T AA D 1 1 AA 38 111213 212223 313233 aaa Aaaa aaa 212223 111213 311132123313 aaa Baaa aaaaaa 1 010 101 001 P 2 100 010 101 P 则 A 12 AP PB B 21 AP PB C 12 P P AB D 21 P P AB 39 三阶非零方阵 i j Aa 满足 T AA 1 证明A可逆 2 当A第一列的元素全相等 时求 11 a 大学文科数学 单元练习六 大学文科数学 单元练习六 1 判断下列方程组何时有非零解 并求出相应的通解 1 123 123 13 220 0 0 xaxx xxax xx 2 123 123 123 2823 1 0 3 1 2 70 740 xxx xxx xxx 2 方程组 123 123 123 221 23 20 xxx xxxb xxax 何时无解 有唯一解及有无穷个解 并求出相应的通解 3 证明线性方程组 121 232 313 xxa xxa xxa 有解的充要条件是 123 0aaa 4 A为mn 矩阵 且 r Ar 则对于方程组Axb 下列结论正确的是 A rm 时有解 B rm 时有唯一解 C mn 时有唯一解 D rn时仅有零解 B 当nm 时必有非零解 C 当mn 时仅有零解 D 当mn 时必有非零解 10 已知 n阶矩阵A的各行元素之和均为零 且 1r An 求线性方程组AXO 的通解 11 方程 32 0axbxcxd 有四个互不相等的实根 证明 0abcd 12 已知 123 123 123 230 2350 0 xxx Ixxx xxax 与 123 2 123 0 2 1 0 xbxcx II xb xcx 同解 求abc 13 A是n阶实矩阵 证明 线性方程组0Ax 和0 T A Ax 同解 大学文科数学 单元练习七 大学文科数学 单元练习七 1 05 xx 23 Axx 14 Bxx 则 A 0P B A B P A BP A C 0P A B D P ABP A P B 9 袋中 8 本不同的中文书和 4 本不同的外文书 任意摆放在书架上 则外文书放在一起的概率为 A 9 12 B 4 8 12 C 5 8 12 D 4 9 12 10 袋中有 5 个黑球 3 个白球 一次随机摸出 4 个球 其中恰有 3 个白球的概率为 A 3 8 B 5 31 88 C 3 31 88 D 4 8 5 C 11 一个宿舍有 7 位同学 他们生日都不相同的的概率为 A 7 365 B 7 365 7 365 C C 7 365 7 365 P D 7 365 7 365 C P 12 事件ABC 相互独立 且0 1P C 则下列各对事件中不相互独立不相互独立的是 A AB 和C B AC和C C AB 和C D AB和C 13 三本学生证混放在一起 现将它们随意地发给这三个学生 令A表示 没有一名学生拿到自 己的学生证 求A的概率 14 已知0 1P A 且 P B AP B A 证明 AB 相互独立 15 已知AB 相互独立 且 0 25P ABP AB 求 P A 16 ABC 相互独立 证明 ABABAB 皆与C相互独立 17 把n个不同的球随机地放入N个盒子 求某个指定的盒子中恰有 0 rrn 个球的概率 18 对某个四选一的单选题 如果学生不知道正确答案 就做随机选择 已知知道正确答案的学 生占参加测验者的 60 假如某个学生此问题的回答是正确的 请问该生是随机猜出的概率有多 大 19 一实习生用一台机器接连独立地制造 3 3 个同种零件 第 i i 个零件是不合格的概率为 1 i 1 2 3 1i 求 3 3 个零件中恰有两个合格品的概率 20 血型匹配问题 血型匹配问题 人群中血型为 A 型 B 型 O 型 AB 型的百分比分别为 37 5 20 9 33 7 7 9 已知能允许输血的血型配对如下表 现从人群中任选两人 分别为输血者和受血者 求输 血能成功的概率 输血者输血者 受血者受血者 A型型 B型型 AB型型 O型型 A 型型 匹配 不匹配 匹配 匹配匹配 B 型型 不匹配 匹配 匹配 匹配匹配 AB 型型 匹配 匹配 匹配 匹配匹配 O 型型 不匹配不匹配 不匹配不匹配 不匹配不匹配 匹配匹配 21 袋中有 1010 个球 7 7 白 3 3 黑 无放回地任取两次 求下列概率 1 两次都是黑球 2 两 次中一次取白球 一次取黑球 3 至少有一次取到黑球 4 第二次取到黑球 22 现有三所学校的报名表分别为 10 份 其中女生 3 份 15 份 女生 7 份 25 份 女生 5 份 随机地取一个学校的报名表 从中先后抽出两份 1 求先抽到的一份是女生表的概率p 2 已知后抽到的一份是男生表 求先抽到的一份是女生表的概率q 23 对以往数据进行分析 结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为 90 90 当机器发生 故障时 产品的合格率为 30 30 每天机器开动时 机器调整得良好的概率为 75 75 设某日第一件 产品是合格品 试问机器调整得良好的概率是多少 24 从 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 共六个数字中 任取 3 3 个数组成三位数 求其为数字不重复的 3 3 位奇 数的概率 25 超几何分布 超几何分布 1 一批产品共有N件 其中有M件为次品 今从中任意抽取n件作质量 检查 求恰有m件次品的概率 2 从某池塘中捕得 1200 条鱼 做红色标记后放回池中 经过 一段时间 再从池中捕 1000 条鱼 数得其中有红色标记的鱼为 100 条 试估计池中共有多少条鱼 26 赌金分配问题 赌金分配问题 设甲 乙两个赌徒在每局获胜的概率都为 0 5 两人约定谁先赢得S局谁 先胜出 但现在由于某些外偶然因素导致赌博中断 此时甲还需赢a局才能获胜 aS 乙还 需赢b局才能获胜 bS 1 2 n n 1 2 3 1 2 1 1 2 3 4 4 1 3 1 3 4 7 8 5 1 4 1 7 8 15 16 6 2 3 7 8 1 2 11 16 1 观察可知 成立关系式 11 1 1 22 e a be abe a b 请说明你对此式的理解 2 注意到关系式 与组合公式 1 1 kkk nnn CCC 的相似性 帕斯卡猜想 1 1 1 0 1 2 b iab ab i e a bC 请验证他的猜想 并求出乙获胜的概率 27 德 德 梅尔问题 梅尔问题 需要将两枚均匀骰子掷多少次才能使得到两个 6 点的概率不小于 0 5 28 贝特朗悖论 贝特朗悖论 在单位圆内随机地取一条弦 求其长度超过该圆内接等边三角形的边长3的 概率 29 赌徒谬论 赌徒谬论 某赌徒抛掷一枚均匀骰子 连续得到 9 次点数为 6 点 问他第 10 次的运气如 何 30 霍尔问题 霍尔问题 三扇门后有一扇站着美女 另两扇后是野兽 某勇士选择了其中一扇门后 知 道门后情况的国王为了增加考验程度 打开了另外一扇门 门后是野兽 现在勇士是保持最初的 选择 还是选择另一扇没有打开的门 31 在空战中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 20 2 若乙机未被击落 就进行还击 击 落甲机的概率为 0 30 3 若甲机未被击落 则再进攻乙机 击落乙机的概率为 0 40 4 求在这三个回 合中 1 甲机被击落的概率 2 乙机被击落的概率 32 设甲 乙两人投篮的命中率分别为 0 70 7 和 0 60 6 每人投篮 3 3 次 求二人进球数相等的概率 33 从数 1 2 3 41 2 3 4 中任取一个数 记为X 再从1 2 X 中任取一个数 记为Y 求P Y 2 34 从甲地到乙地中间需要经过 3 个路口 每个路口遇到红灯是互相独立的 且概率都为 1 3 用X 表示途中遇到红灯的次数 求X的概率分布 35 同时掷两枚骰子 点数之和为i 2 3 12i 的概率是多大 36 某人向目标独立射击 5 次 每次的命中率为p X表示 击中目标的次数 已知至少命中 一次的概率为 211 243 则X服从 A 参数为 1 5 3 的二项分布 B 参数为 2 5 3 的二项分布 C 参数为 1 3 的泊松分布 D 参数为 2 3 的泊松分布 37 设 2 XN u 则概率 1 P X A 随 的增加而增大 B 随 的增加而减少 C 随 的增加而增大 D 随 的增加而 减小 38 设 0 1 XN 且 0 1 P Xx 则x A 1 B 1 1 2 C 1 1 D 1 2 39 设 2 XN u 则对任意实数a 有 A 1aa B 1aa C 1aa 则有 A 2 2ab B 2 1ab C 1 1 2 ab D 1 1 2 ab 41 设 随 机 变 量X的 分 布 密 度 函 数 为 01 0 axbx p x 其他 其他 又 已 知 11 P 试求常数 a b 42 设随机变量X的分布函数为 2 0 0 0 1 1 1 x F xAxx x 试求 1 系数A 2 X落在 1 0 5 及 0 3 2 内的概率 3 X的分布密度函数 43 拉普拉斯分布拉普拉斯分布 随机变量X的分布密度函数为 exp Rf xAxx 求 1 AB 2 P 0 1 X 3 X的分布函数 44 设随机变量X的分布密度函数为 Acos 2 0 xx f x 其他 其他 求 1 A 2 X的分布函数 3 1 P sin 2 X 45 设随机变量X和Y的分布密度函数都为 2 3 02 8 0 xx f x 其他 a与事件B X a独立 且 3 4 P AB 求常数a 46 设某城市男子的身高X服从正态分布 2 170 6 N 问应该如何选择公共汽车车门的高度使 得男子与车门碰头的机会小于0 01 47 设X服从正态分布 2 0 N 问实数 取何值时 x落在区间 2 3 的概率最大 48 设X服 从 正 态 分 布 2 60 3 N 求 实 数 12 x x 使 得x落 在 区 间 1122 xx xx 的概率之比为3 4 5 49 设X N 16 Y N 25 证明 4 5 P XP Yu 50 设随机变量X的分布列为 1 P X 1 2 2k kk 求Y sin X 2 的分布列 51 设X的概率密度函数为 2 1 1 x 求2YX 的概率密度函数 52 已知随机变量X的概率分布为 1 1 2 1 P Xkk k k 则EX A 0 5 B 0 C 1 D 不存在 53 已知对随机变量X 2 EX DX EX都存在 则 A 0EX B 0DX C 22 EXEX D 2 EXEX 54 已知 22 1 10 2 6 E XE X 求 EX DX 55 对某目标进行射击 直至击中为止 如果每次的命中率p 求射击次数的数学期望和方差 56 已知随机变量 1 XBp 且 2 9 DX 求X的分布密度函数 57 已知随机变量X的分布函数为 3 8 1 2 0 2 x F xx x 求EX DX 58 随 机 变 量X的 分 布 密 度 函 数 为 02 24 0 axx f xbxcx 其他其他 已 知 EX 2 P 1 其中常数 0 求EX DX 60 随机变量X的分布密度函数为 2 01 0 xx f x 其他其他 求P XEX 2 DX 大学文科数学 单元练习八 大学文科数学 单元练习八 1 1 已知总体X的分布密度函数为 1 1 0 1 xx x x 的矩法估计和最大似然估计 2 2 已知总体 XU ab ab 12 n XXX 是X的样本 1 求 0 a b b 的矩法估计 a b 2 a b是不是 a b的无偏估计 3 3 已知总体X的分布密度函数为 1 0 2 1 1 2 1 0 x xx 其他 12 n XXX 是X的 样本 证明 对任意常数 2 1 XS 都是 的无偏估计 6 6 从一批垫圈中随机地抽取 10 只 测得它们的厚度 单位 毫米 为 1 23 1 24 1 26 1 27 1 32 1 30 1 25 1 24 1 31 1 28 1 23 1 24 1 26 1 27 1 32 1 30 1 25 1 24 1 31 1 28 假设厚度 2 XN 其中 0 均未知 求 1 的置信水平为 95 的置信区间 2 的置信水平为 95 的置信区间 7 7 设某异常区磁场强度服从 2 N 现对该区进行磁测 按仪器规定其方差不得超过 0 01 今随机抽测 16 个点 得样本均值12 7X 修正样本方差 2 0 0025S 问此仪器工作是否稳定 0 05 8 8 已知总体 2 XN 1216 XXX 是X的样本 求 的置信水平为 95 的置信区间 的长度L的平方的数学期望 2 E L 9 9 已知总体 2 XN 2 已知 若样本容量n和置信水平 不变 则对于不同的样本观 测值 总体均值 的置信区间的长度 A 变长 B 变短 C 不变 D 不能确定 1010 已知总体 2 XN 2 未知 若样本容量n不变 总体均值 的置信区间的长度L与 置信水平 之间的关系是 A L随 减小而缩短 B L随 减小而增大 C 减小时 L保持不变 D 不能确定 1111 一个矩形的宽与长之比为黄金数 0 618 将给人们一个良好的感觉 某工艺品厂生产的矩形工 艺品框架的宽与长之比服从正态分布 现随机抽取 20 个 测得其比值为 0 499 0 749 0 645 0 670 0 612 0 572 0 615 0 706 0 690 0 628 0 668 0 511 0 606 0 709 0 601 0 553 0 570 0 844 0 566 0 933 0 499 0 749 0 645 0 670 0 612 0 572 0 615 0 706 0 690 0 628 0 668 0 511 0 606 0 709 0 601 0 553 0 570 0 844 0 566 0 933 问 在显著水平0 05 下 能否认为其均值为 0 618 1212 某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布 其说明书上写明其标准差不超过 0 90 9 现随 机抽取 1010 只 测得样本标准差为 1 21 2 试在显著水平0 05 下检验厂方的说法是否可信 1313 某化工产品的含硫量 2 N 0 都未知 随机抽取 5 个样品 测得含硫量为 4 28 4 40 4 42 4 35 4 37 4 28 4 40 4 42 4 35 4 37 在显著水平0 05 下 检验 01 4 50H 和 02 0 04H 检验的结果为 A 拒 绝 01 4 50H 拒 绝 02 0 04H B 拒 绝 01 4 50H 接 受 02 0 04H C 接 受 01 4 50H 拒 绝 02 0 04H D 接 受 01 4 50H 接 受 02 0 04H 1414 对正态总体 2 N 2 未知 在显著水平0 05 下 检验 0 1H 的拒绝域为 A 0 95 1 RXu B 1 1 0 95 RXt nSn C 1 1 0 95 RXt nSn D 1 1 0 95 RXt nSn 0 0f 证明 函数 f x g x x 在 0 及 0 内都是单调增加的 七 本题满分 8 分 求常数k 使得曲线 22 3 yk x 在拐点处的法线通过原点 八 本题满分 8 分 求定积分 1 2 1 3 4 x dx x 华东理工大学 2007 2008 学年第一学期 文科数学 上 课程期末考试试卷 B 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 0 lim 13 x x x 2 2 1 531 lim 1 x xx x 3 已知 1 1cos f x x 则 df x 4 4 f xx x 的单调减少区间是 5 曲线 1 2 xx yee 的极小值点处的切线是 6 若 1 x 是 f x的一个原函数 则 fx 7 tanxdx 8 1 2 1 1sin x xdx x 则 1 9 曲线 2 21yx 2 21yx 所围成的平面图形的面积为 10 略 二 选择题 每小题 3 3 分 共 2424 分 1 5 2 lim 1 x n n e n 则x A 2 5 B 5 2 C 2 5 D 5 2 2 设函数 f x可微 则 0 2 3 lim h f xhf xh h A fx B fx C 5 fx D 5 fx 3 设 sin x f xex 则 fx A 2cos x ex B 2 sincos x exx C cos x ex D cos x ex 4 若函数 f x在点 0 xx 处取到极大值 则必有 A 0 0fx B 0 0fx C 0 0fx 且 0 0fx D 0 0fx 或 0 fx 不存在 5 下列函数中 不是 22xx ee 的原函数的是 A 22 1 2 xx ee B 2 1 2 xx ee C 2 1 2 xx ee D 22 2 xx ee 6 不定积分 1 12 dx x A 1 ln 21 2 xC B 1 ln 21 2 xC C ln 21 xC D ln 21 xC 7 1 2 0 21xxdx A 0 B 1 C 1 2 D 1 2 8 略 三 本题满分 6 分 略 四 本题满分 8 分 求极限 3 0 2 lim xx x eex x 五 本题满分 8 分 设 1 1 f x x 且 0 17f x 求 0 f fx 六 本题满分 8 分 已知 f x在 可导 f x g x x 如果 g x在 0 xa a 处有极值 证明 曲线 f x在 0 xa a 处的切线过原点 七 本题满分 8 分 求不定积分 3 1 dx xx 八 本题满分 8 分 求定积分 1 2 0 arctan xxdx 华东理工大学 2008 2009 学年第一学期 大学文科数学 上 课程期末考试试卷 A 一 填空题 每小题 4 分 共 40 分 1 0 2 lim 13 x x x 2 曲线 235 3yxx 在与y轴交点处的法线方程是 3 函数 4 x yx 的单调减少区间是 4 设 2 lnxx是 f x的一个原函数 则 fx 5 不定积分 2 2 1 xx dx 6 不定积分13 xx e d e 7 设 0 0 x xx f x ex 记曲线弧AB与直线xp yn 所围曲边三角形的面 积为R 证明 4 1 2 Rqp 华东理工大学 2008 2009 学年第一学期 大学文科数学 上 课程期末考试试卷 B 一 填空题 每小题 4 分 共 40 分 1 0 tan 2 arcsin 3 lim x x x 2 设函数sin 3 x yx 则dy 3 若1x 是函数 3 3yxpxq 的极值点 则 2 lim 13 xp x x 4 不定积分 2 2 1 x dx 5 设lnxx是 f x的一个原函数 则 fx dx 6 若 22 1 x x dxdF x 则 F x 7 设 2 2 0 1 x f t d txx 则 1 2 3 f xdx 8 1 22 1 1 xxdx 9 曲线 2 yx 与直线210yxx 所围成的图形的面积为 10 设 2 arctan 3 xy zey 则 z y 二 选择题 每小题 3 3 分 共 1515 分 1 当0 x 时 11xx 是x的 A 高阶无穷小 B 等价无穷小 C 低阶无穷小 D 同阶但非等价无穷小 2 曲线 x yxe 在0 x 处的切线方程是 A 21yx B 22yx C 1yx D 2yx 3 2 x x ede A 3 22 3 x eC B 3 22 3 x eC C 3 23 2 x eC D 3 23 2 x eC 4 设 f x为连续函数 则 1 0 3 fx dx A 3 0 ff B 1 3 1 0 ff C 1 3 3 0 ff D 1 0 ff 5 设 ln x yzy 时 则 z x A 1 ln x yxyy B ln lnln x y yy C ln lnln x y yyy D ln lnln x y xyy 三 本题满分 8 分 求极限 0 0 2 ln 1 1 1 lim x x t dt x 四 本题满分 8 分 已知 1 arctanln x f xxx 求 1 f 五 本题满分 8 分 求函数 x f xxe 的单调区间和极值 六 本题满分 8 分 求不定积分 2 tan1 xdx 七 本题满分 8 分 1 设 0 2 sin n n Ixdx 其中n为正整数 求 01 II 并利用分部积分公式分部积分公式证明递推式 2 1 2 nn nn IIn 5 分 2 设 0 2 cos n n Jxdx 求 4 J并猜测 n I与 n J的关系 3 分 八 本题满分 5 分 求负数a 使曲线 2 yxx 与直线ya x 所围成图形的面积为 9 2 华东理工大学 2007 2008 学年第二学期 文科数学 下 课程期末考试试卷 A 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 设 2 1 z xy 则 z y 2 设 23 x zfxye 则dz 3 设 1 34 2 A 则 3 A 4 设 41130 1324 X 则矩阵X 5 设 3 4 5 Adiag 则 1 1 A A 6 2 2 2 111 111 111 a b c 7 从数1 2 3 4 5中任取三个 用X表示其中的最大数 则 5 P X 8 设 0 4P A 0 3P B 0 7P B A 则 P AB 9 已知随机变量X服从 Rayleigh 分布 分布密度函数为 2 2 2 0 0 0 x Axex f x x 其中常数0 则常数A 10 已知3EX 5DX 则 1 2 E XX 二 本题满分 8 分 设 22 y F xy z 其中函数F可微 证明 2 11zz xy z y yx 三 本题满分 8 分 已知 110 011 001 B 213 021 002 C 且矩阵A满足关系式 1 T T A ICBCI 求矩阵A 四 本题满分 8 分 称满足 T AAI 的方阵A为正交矩阵 1 证明正交矩阵的行列式为常数 4 分 2 写出两个二阶的正交矩阵 4 分 五 选择题 每小题 3 分 共 18 分 1 设ln n n zxy 则 zz xy xy A 1 n B 2 n C 1 D 2 2 设 2 sin zx y 则 2 2 z x A 42 cos yx y B 42 cos yx y C 42 sin yx y D 42 sin yx y 3 三阶方阵A的行列式为3 则 1 32AA A 9 B 3 C 9 D 3 4 对非齐次线性方程组AXb 及其导出组AXO 有 A AXO 仅有零解 则AXb 有唯一解 B AXO 有非零解 则AXb 有无穷个解 C AXb 有无穷个解 则AXO 有非零解 D AXb 有唯一解 则AXO 有非零解 5 甲 乙两人独立地译出某密码的概率均为1 4 则恰好有一人译出此密码的概率为 A 5 16 B 6 16 C 7 16