物理量对时间变化率的客观性分析.pdf

取 3 位整数井参考 70 2 来假设 值 将式 1 1 编制程序运算 最后得到 的精确值 c 703 61949 6 于是 由式 5 求得悬挂点A B 处的拉力大小 分别 为 T A 2 1 ZokN T 2 1 5 0kN 由式 6 得 导线长度 s 2 0 0 92m 本文 于198 6年3月2 8日收到 物理量对时间变化率的客观性分析 赵志文 上海工业大学 提要一个物理量对时间的变化率是否客观 是与观察者所站的坐标系有关的 本文引用了推广 了的L ev i 一C ivita平行移动概 念后证明 对于站在随体坐标系的观察者说来 物理 量 的随体导 数才是客观性的 关链词物理量 随体坐标系 平行移动 随体导数 力学中经常耍求一个物理量对时 间的 变化率 当然 它应当是一 个客观 的量 不应该依 赖于坐 标的选择 但是 如果我们 站在不同的坐标系上 用 同一种方式来度量物理量的 变 化 率的话 结果是不同的 即 不客 观的 因此 对于 不同的坐标 系 应当有不 同的度 量方式 众 所周知 对于平动的坐 标 系 物 理量 的物质导数是客 观性的 而 对于转动的 坐标系来 说 只有物 理量 的 Ja n m an n 导数 又称本构 导数 才是客观性的 现 在 要 问 对 于 力学 中常用的随体坐标 系 又称拖带坐标 系 来说 物 理量 的什么导 数才是客 观性的 呢 本文就 讨论这个 问题 我们在物体上建立随体坐 标 x 好 左 1 2 3 瞬时 t 时 物体占据 了空间域R 如图 1 所示 物体上某物质点X占据空 间 点尸 尸任R 尸点的空间位 置可 以用某 固 定 点O至尸点 的 矢径 x 来表示 物质点X的物理量 可以用空间点尸的张量t X 约来表示 在 瞬 时 f 二 时 同一物体占据 了空间域 r 物体上的同一物质点X占据了空间点 p p任r p点的空 间 位置可以用 同一固定 点O至 p 的 矢径 x 来表示 瞬 时 时 同一物质点X的物理量 可用 空间点 p 的张量t x 十A t 来表示 图 1 中的矢 量 是物质点X的速度 163 如果瞬时 t 至瞬时 中 张 量t的时间变化率用ot D 来表示的话 应有 Dt 瓦 六戮 瞬时 A 的张最 一 瞬时 的相当张 量 t 护 l 但是 我 们应当注意 瞬 时 的张 量t x t 和瞬 时 的张 量 t x O是两个不同域 的张 量 是不能相加的 但是我 们可以将t x O变换为 r 域中的相当张量t x t 使之可 以 相加 于是 匹 二 h伙 D 仁 八 一 t x t 名 一t x t 2 现 在的问题粉如何求 出t x 0 为 了简单 形象起见 我们假设物体是二维曲面 张 量 众 是二维曲面内的矢 量 孟 二 根据Le v卜ci v众三平 行移动 定理t s 1 平移后的矢量 仍应与曲面相切 所以当坐标平动时 一个矢量 x O平移至 r 域 可用下式表 示 或 x t 1 a x x 3 劣 a x x 必 共中 是R域至 r 域的转移张量 然后 跟上坐 标的转动 即 R l 或 a X t a X 畜 R 一1 二 a X X t 4 a X t a X 忿 其 中R是 r 域内的转动张量k 是蔺的逆 对于很 小 的 可以用 J 转动张量来表 示 即 浦 i 礼 e l飞耘 5 其中飞 飞 r 域的单位张量 百是旋率 移定理进一步推广 其 几何意义如 一 如 果坐 标是随体坐标的话 我 们可 以将Le vi一c iv i t a 平 先使矢量 X t 从P转移至 p 得叮X t 再 使 X t 跟 上坐标的变形带来的转动 结果所得矢 量 X O仍与曲面相切 故 有 F a X t 6 补 x 孟 x 了 节 一 二 x k I J 其中 r 是转移后的 变形梯度张 最 k 是F的逆 由图 1 可知 f n 二命匀 k 6 言 命 了 现在就可 以来求矢 量对时 间的 变化 率了 将式 3 4 5 6 7 代入 式 2 则可得物 质 导数 a lim 弓 0 a X t 一a X 忿 口 a 一砚 十口 V a 8 它对平动 坐 标 链客观性的 J a nm a n n 导数为 古a 一 二 1 1 幻口 百君 一 X t十 一 R X 口 二 丽 一 十 V a 一 二 a 9 汪6 4 它对转动 坐标 是客观性的 随体导数为 a X 忿 一 F a X t 九 一 A 1im 瓷 二 v a一 v 10 一一 a一 卜 矛 一 4 其中 1 V a 一 V a 就造熟知的矢 量的李氏 导数 一个时 一空 系 中度 量出矢 量 a 为 速度 为叭 二 Q 下面证 明式 10 是客观性的 设在另 如果 a 是客观性的 话 应 有 所以 a Q a Q a 其中 Q是正交张 量 由文献口 知 Q V Q 一 Q V 则有 a 一 V a Q a 一p V a 即 少 a J 议 些 d公 从而证明了矢量的随体导 数是客观性的 如果t X O是二阶张 量的话 我 们 可以将它看成两个矢 量 X 0和6 X O的 井矢 t 所以对平动 坐标 有 t X 乙 a b I t X t 12 对转动坐标 有 t X R I a 吞 1 R 一1 Rt X R 一 13 对于随体坐标 有 t X O F I b I F 二F t X t 14 1 5 F v t 将 1 2 1 3 14 和 5 7 代人 2 乒 则可 得物质导数为 口 袱 一 山 一一 是 l im 生区进土 乙 心 0 A t t k t 它对平动坐标是客观 的 Ja nm a n n导数为 t X 一R t X t 补 渗 at 下 即 Zt一tw t一1 叨J 0名 16 它对转动坐标是客观性的 随体导数 为 牙t 刁了一 l i m t x t X t F 一 F 一 全t呻O 1毛 5 口t 三丁 V l一 气 V 1一I 二V 少 U 17 上式中的后三项 Vt 一 V t 一 t V 就是熟知 的二阶张量的李氏导数 下面来证明式 1了 是客观性的 设在另一个时一空系中度量出的t和 为t和 如果二阶张 量t是客观 性的话 应有 t Q Q Q Q Q Q n甘 一一 一 由文献 3 可知 6 亏 Q 一 v 企 呷 Q 一 Q 一 万亏 t 一 V t t 口 V Q t 一 V t t V Q 即 豁 影 r 这就证 明 了二阶张量 t的随体导数是客观性的 当然 t的随体导数除了可写 成 1 7 的 形式 外 也可写成其它的等价形式 参考 文献 Ll 2 31 L4 5习 郭仲衡 非线性弹性理 论 科学出版社 1980 Er i n gen A C 张且分析 江苏科学技术出版社 l9 81 E rin g en A C No n lin e arT he o ry of Co n tin uo us M edia M eGraw 一H illB o ok C o mPa nyINC 19 62 陈文芳 非牛倾流体力学 科学出版社 19吕4 H E 坷青 向t计算及 张量计算初步 高等教育出版社 195 8 44 1 一 50 本 文于1986年 7 月 3日收到 有关轴对称匀质刚体惯t 主轴的几个定理 毕广吉 天津教育学院物理 系 提要本文在均质刚体有川 3 重对称轴的条件下 证明了有关惯量主轴的四个定理 从而推广 了关于匀质柱对称刚体惯量主轴的一些结论 关