浙江大学1999年——2008年高等代数试题.pdf

浙 江 大 学 一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 10 分 是个不相同的整数 证明 n aaa 21 n1 21 n axaxaxxf 在有理数域上可约的充分必要条件是可表示为一个整数多项式的平方 xf 二 10 分 设 且 求 1 n a a a 2 1 0 TT n E 2 1 T n E 其中为阶单位阵 n En的转置为 T 三 10 分 矩阵是行满秩 nm A mA 即秩 证明 1 存在可逆阵 使得 QQEA m 0 2 存在矩阵 使得 mn B m EAB 四 10 分 设阶方阵nA满足AA 2 n 21 是 n P中个线性无关的列向量 设是由 n 2 V n AAA 21 生成的子空间 是 1 V0 AX的解空间 证明 21 VVPn 五 15 分 设都是阶实对称矩阵 且BA nB正定 则 存在 使得 n DS 1 及 TT SSBSDSA 六 15 分 设阶矩阵n ijn n Aa 满足下列条件 i 0 1 ij ai j ii 12 1 1 2 iiin aaain 求证 1 若 是A的任意一个特征值 则1 2 0 1 为A的任意一个特征值 七 15 分 n R 是维欧氏空间 nA是阶正定阵 n 11 22 n nn xy xy R xy 求证 2 TTT AA A 且等号成立当且仅当 线性相关 八 15分 1 设 A B分别为复数矩阵域上的阶和l阶方阵 并且k A B没有公共的特征值 求 证AXXB 只有空解 这里 ijk l Xx 2 在 n n R 中 变换A n n XAXXA AR A为一个固定的矩阵 且A的特征 值不为A 的特征值 求证 A 为一个线性变换 浙江大学历年高等代数试题 第 1 页 共 9 页 浙 江 大 学 二 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 20分 f x是数域上的不可约多项式 P 1 且与 g xP x f x有一个公共复根 证明 f xg x 2 若c及 1 c 都是 f x的根 b是 f x的任一根 证明 1 b 也是 f x的根 二 10分 计算行列式 210000 121000 000121 000012 n D 三 20分 1 A是正定阵 C是实对称矩阵 证明 存在可逆矩阵使得同时为 对角形 P 11 P AP P CP 2 A是正定阵 B是实矩阵 而AB是实对称的 证明 AB正定的充要条件是B的 特征值全大于0 四 20分 设维线性空间V的线性变换nA有n个互异的特征值 线性变换B与A可 交换的充要条件是B是 2 n 1 AAE A 的线性组合 其中E为恒等变换 五 10分 证明 n阶幂零指数为1n 的矩阵都相似 若 1 0 n A 则称 2 0 n A A的 幂零指数为 1n 六 20分 设 A B是n维欧氏空间V的线性变换 对任意 V 都有 AB 证明 A的核等于B的值域的正交补 浙江大学历年高等代数试题 第 2 页 共 9 页 浙 江 大 学 二 一年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 一年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 10分 分别在复数域 实数域和有理数域上分解 4 1x 为不可约因式之积 二 10分 设 计算行列式2n nij Da 其中 ij aij 即 012321 101432 210543 234101 123210 n nnn nnn nnn D nnn nnn 三 10分 设A为m实矩阵 n 1 求证 秩秩 T A A T A 2 设 1 T n Xxx 是矩阵 试证线性方程组b1m TT A AXA b 有解 浙江大学历年高等代数试题 第 3 页 共 9 页 浙 江 大 学 二 二年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 二年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 12分 设两个多项式 f x和不全为零 求证 对于任意的正整数 有 g xn nnn f x g xf xg x 二 12分 设 12 0 1 2 kkk kn sxxxk 2 1 2 ijij aSi jn 计算行列式 11121 21222 12 n n nnn aaa aaa aaa n 三 12分 设 A B是n级矩阵 且ABAB 求证 ABBA 四 12分 设A是m级阵 n A的秩为 mB是 nnm 级矩阵 B的秩为nm 且AB 这里维列向量n 是齐次线性方程组0AX 的解 求证 存在唯一的 维列向量nm 使得B 五 11分 求 112321 VLVL 2 的和与交的基与维数 其中 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 5 6 5 1 2 7 3 六 20分 用正交线性替换化下面的实二次型为标准型 并写出所用的正交线性替换 1234121314232434 222222f x x x xx xx xx xx xx xx x 七 8分 设 A B是级复矩阵 且nABBA 求证 存在一个级可逆矩阵 使得 与都是上三角矩阵 nP 1 P AP 1 P BP 八 7分 设 A B是级复矩阵 其中nA是幂零矩阵 即存在正整数 使得m0 m A 而且ABBA 求证 ABB 九 6分 设 是n维线性空间V的线性变换 在V的某组基下的矩阵是A 求证 秩 2 A 秩 A 的充要条件是 VVKer 其中 V 表示 的值域 Ker 表 示 的核 浙江大学历年高等代数试题 第 4 页 共 9 页 浙 江 大 学 二 三年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 三年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 20分 令 12 s 是 n R中 个线性无关的向量 证明 存在含个未知量的齐 次线性方程组 使得 sn 12 s 是它的一个基础解系 二 20分 设有分块矩阵 其中 AB CD A D都可逆 试证 1 1 det det AB ABD CD CD 2 111111 ABD CAA B CA BDCA 1 三 20分 设V是数域上维线性空间 Pn 1234 V 1234 WL 又有 12 W 且 12 线性无关 求证 可用 12 替换 123 4 中的两个向 量 1 ii2 使得剩下的两个向量 3 ii4 与 1 2 仍然生成子空间W 也即 1234 ii WL 四 20分 设A为阶复矩阵 若n 正整数n使得0 n A 则称A为幂零矩阵 求证 1 A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为零 2 设A不可逆 也不是幂零矩阵 那么存在阶可逆矩阵 使得 nP 1 0 0 B P AP C 其中是B幂零矩阵 是可逆矩阵 C 五 20分 已知实对称矩阵 求正交矩阵使得成为对角矩阵 422 242 224 A P T P AP 六 20分 设V是维欧氏空间 内积记为n 又设T是V的一个正交变换 记 12 VV TVT V 证明 1 都是V的子空间 12 V V 2 1 VVV 2 七 10分 设 f x是一个整系数多项式 证明 若存在一个偶数及一个奇数b 使 得 a f a与 f b都是奇数 则 f x没有整数根 八 10分 设V是维欧氏空间 是V的子空间 且n 12 V V 1 dimdimV 2 V 证明 中 存在一个非零向量 它与中任一个向量正交 2 V 1 V 九 10分 设是可逆的对称实矩阵 证明 二次型 ijn n Aa 1 1111 1 1 0 n n n nnnn xx xaa f xx xaa 的矩阵是A的伴随矩阵 A 浙江大学历年高等代数试题 第 5 页 共 9 页 浙 江 大 学 二 四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 一 16分 计算n阶行列式 1 n bbbba bbbab D bbabb babbb abbbb 2 1231 2341 34512 1221 n nn n D nn n 二 16分 P是数域 设 n n AP f xP x 已知 f A可逆 求证 存在 使 g xP x 1 f A g A 三 16分 设A n n BP 求证 ABBA 四 20分 实二次型 222 123123121323 2 22f x xxxaxxbx xx xx x 经正交线性替换 123123 TT x xxP y yy 化为标准型 22 12 2yy 1 求及正交矩阵 a bP 2 问二次型f是正定的吗 为什么 五 16分 设A n n BP 且 ABn 秩秩 证明 存在阶可逆阵nM使得0AMB 六 16分 设A是阶复矩阵 且存在正整数使得nm m AE 这里E是n阶单位阵 证明 A与对角矩阵相似 七 18分 设看成上的线性空间 取定 n n VP P n n A B C DP 对任意 n n XP 令 xAXBCXXD 求证 1 是V的线性变换 2 当时 0CD 可逆的充要条件是0AB 八 16分 设 是线性空间V的线性变换且 2 令 1 VV 1 2 0 V 证明 且对每个 1 VVV 21 aV 有 aa 九 16分 设V是维欧氏空间 是V的子空间 且n 12 V V 1 dimdimV 2 V 2 0A 1 322010 232 101 2 223001 APBP A P E五 15分 设矩阵 求B的特征值和 特征向量 六 15分 设是向量空间V的子空间 且有 1 W W W 12 WW 12 WWWW 2 212 WWWW 证明 1 WW 七 15分 三阶矩阵 A B C D具有相同的特征多项式 证明其中必有两个矩阵相似 八 15分 设 是向量空间V的正交变换 W是 的不变子空间 证明W的正交补W 也是 的不变子空间 九 15分 设A为实矩阵 证明存在正交矩阵G 使为上三角矩阵的充要条 件是 1 G AG A的特征值均为实数 十 15分 设为数域 证明 1 2 iiii ff xP x gg xP x i P 112212121212 f gfgf ff gg fg g 浙 江 大 学 二 七年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 七年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 浙江大学历年高等代数试题 第 8 页 共 9 页 编号 741 一 17分 设整系数的线性方程组为 证明该方程组对任意整 数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于 2 1 1 nibxa ij n j ij n bbb 21 1 二 17分 计算阶行列式 其中 1n n 2 121 123 2341 112 n n n nnnn nsss ssss ssss ssss k n kk k xxxs 21 三 17分 设矩阵 A B C满足有意义 求证 ABC ABBCBABC 秩秩秩秩 四 17分 设 s 21 是某个齐次线性方程组的基础解系 而 k 21 是该齐次 线性方程组的个线性无关的解 并且kks A满足其中 065 2 EAAE是阶单位矩阵 证明 n A相似于对角矩阵 如果A行列式等于是正整数 求与mnm mnm 0 32 A相似 的对角矩阵 2 RMV 六 17分 假设22 是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间 1112 11 AB 1 其中是参数 是V上的线性变换 1 证明 AXBX 1 2 当 时 证明是可逆线性变换 1 3 当 时 求线性变换的核和值域 4 在值域中取一组基 并把它扩充成V的基 求线性变换 在这组基下的矩阵 2 222 1 1 七 16分 求 矩阵 的初等因子和不变因子 8111 1811 1181 1118 A 八 16分 已知矩阵 123412341234 Tf x xx xx xx xA x xx x 1 求二次型 2 用正交线性替换化二次型为标准型 4321 xxxxf 3 证明定义了 A T 4 R 4 R上的内积 其中 是的列向量 是 T 的转 置 并求在该内积下 4 R的一组标准正交基 4 求实对称矩阵B使得AB k 其中为正整数 只要写出kB的表达式 不必计算其 中的矩阵乘积 九 16分 设 其中是互不相同的 整数 证明 n aaa 21 1 22 2 2 1 n axaxaxxf f x是有理数域上的不可约多项式 浙 江 大 学 二 八年攻读硕士学位研究生入学考试试题 二 八年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 高等代数 浙江大学历年高等代数试题 第 9 页 共 9 页 编号 724 32 1f xxxx 一 15分 设 123 是多项式的3个根 求一 个以有理数为系数的多项式 且以 2 1g xxx 12 ggg 3 为根 p x p x 2 2 nn f xxx b二 15分 试证 其中b为任意复数 没有非零的重数大于2 的根 三 15分 设 12 222 n 12 1 12 n n nn n xxx xxx D xxx 12 222 12 12 12 111 2 n iii in iii n nnn n xxx xxin xxx xxx Dx 求 1 n i i D 1 2 n x x X x 四 15分 设 设 1 2 n y y Y y T AEXY T Y X 1 若1 A 试证可逆 2 若1 A 试证相似于对角矩阵