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1 二次函数的图象与性质 例1 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 应有 a 4或 a 6 即a 6或a 4 已知函数在区间 0 1 上的最大值是2 求实数a的值 对称轴为 当0 1 即0 a 2时 得a 3或a 2 与0 a 2矛盾 不合要求 当 0 即a 0时 y在 0 1 上单调递减 有ymax f 0 2 练一练 当 1 即a 2时 y在 0 1 上单调递增 综上 得 有ymax f 1 2 例2 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 求集合M m 使方程f x mx有四个不相等的实根 2 由图象可知 y f x 与y mx图象有四个不同的交点 直线y mx应介于x轴与切线l1之间 解 作出图象如图所示 1 递增区间为 1 2 和 3 递减区间为 1 和 2 3 得x2 m 4 x 3 0 由 0 得 当时 舍去 所以集合M m 0 m 4 2 例2 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 求集合M m 使方程f x mx有四个不相等的实根 方程f x 0有两正根 方程f x 0有两负根 方程f x 0有一正根一负根 记f x ax2 bx c a 0 2 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根分布问题 例3 方程x2 mx 1 0的两根为 且则实数m的取值范围是 由图可知 方法2 设f x x2 mx 1 则f 0 1 例3 方程x2 mx 1 0的两根为 且则实数m的取值范围是 则问题转化为 m g x min 解 m 2x2 9x在区间 2 3 上恒成立 1 变量分离法 分离参数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 3 不等式恒成立问题 问题等价于f x max 0 解 构造函数 2 转换求函数的最值 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式恒成立问题 则 解 构造函数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 数形结合思想 不等式恒成立问题 解 据题意 由已知得 不等式解集为 2 3 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式解集法 不等式恒成立问题 练一练 与直线y k
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