全国大学生数学建模竞赛题“抢渡长江”解法....pdf

2 0 0 4年 9月 第 l 4卷第 3期 榆 林 学 院 学 报 J OURNAL OF YULI N C0LL EGE S e p t 2 0 0 4 Vo 1 1 4 No 3 全 国大学生数学建模竞赛题 抢渡长江 解法研究 赵玉怀 杜光斌 榆 林学院 数 学 系 陕西 榆林7 1 9 0 0 0 摘 要 文章就 2 0 0 3年全国大学数学建模 竞赛 抢渡长江 问题 在 5种不同的假设下 给 出了相应数 学模型及 解法 关键词 水流分布 行进路 线 水流方向 夹角 中图分类号 0 1 4 1 4 文献标识码 A文章编号 1 0 0 8 3 8 7 1 2 0 0 4 0 3 o o 2 7 5 抢渡长江 问题 渡江 是武汉城市的一张名片 1 9 3 4年 9月 9日 武汉警备旅官兵与体育界人士联手 在武汉第一次 举办横渡长江游泳竞赛活动 起点为武昌汉阳门码头 终点设在汉 口三北码头 全程约 5 0 0 0米 有 4 4人参 加横渡 4 0人达到终点 张学 良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾 上书 力挽狂澜 2 0 0 1年 武汉抢渡长江挑战赛 重现江城 2 0 0 2年 正式命名为 武汉国际抢渡长江挑战赛 于每年 的5月 1日进行 由于水情 水性的不可预测性 这种竞赛更富有挑战性和观赏性 2 0 0 2年 5月 1日 抢渡的起点设在武昌汉阳门码头 终点设在汉阳南岸咀 江面宽约 1 1 6 0米 据报载 当日的平均水温 1 6 8 C 江水的平均流速为 1 8 9米 秒 参赛的国内外选手共 1 8 6人 其中专业人员将近 一 半 仅 3 4人到达终点 第一名的成绩为 l 4分 8秒 除了气象条件外 大部分选手 由于路线选择错误 被 滚滚 的江水 冲到下游 而未能准确到达终点 假设在竞渡区域两岸为平行直线 它们之间的垂直距离为 1 1 6 0米 从武昌汉阳门的正对岸到汉 阳南岸 咀的距离 为 1 0 0 0米 见示意图 终点 汉 咀 起点 武昌汉阳门 请通过数学建模来分析上述情况 并回答以下问题 1 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变 且竞渡 区域每点的流速均为 1 8 9米 秒 试说明 2 0 0 2 年第一名是沿着怎样的路线前进的 求她游泳速度的大小和方向 如何根据游泳者 自己的速度选择游 泳方向 试为一个速度能保持在 1 5 米 秒的人选择游泳方向 并估计他的成绩 收稿日期 2 0 o 4 O 3 o 8 作者简介 赵玉怀 1 9 5 5 一 男 陕西榆林人 教授 维普资讯 28 榆林学院学报 2 0 0 4年第 3期 总 第 4 8期 2 在 1 的假设下 如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游 他 她 们能否到达终点 根据你们的数学 模型说明为什么 1 9 3 4年和 2 0 0 2年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别 给出能够成功到达终点的 选手 的条件 3 若 流速沿离岸边距 离的分布为 设从武 昌汉 阳门垂直 向上为 y轴正 向 r 1 4 7米 秒 0米 y 2 0 0米 v Y J 2 1 1 米 秒 2 0 0米 Y 9 6 0米 1 4 7米 秒 9 6 0米 y 1 1 6 0米 游泳者的速度大小 1 5米 秒 仍全程保持不变 试为他选择游泳方向和路线 估计他的成绩 4 若流速 沿离岸边距离 为连续分布 例 如 v Y y 2 00 2 2 8 20 0 Y 9 60 2 面 2 8 1 1 6 0 一 y 9 6 0 y 1 1 6 0 或你们认为合适的连续分布 如何处理这个问题 几个重要 结论 在如下几个假设下 我们有几个重要结论 假定 1 游泳者速度大小和方向不变 2 竞度区域每点江流速度均匀 且大于 1 8 秒 3 竞渡的起点 终点如 2 0 0 2年地点所设 记号 江宽为 a 米 起点 A与终点 B的纵向落差为 b米 游泳速度 v 与水流方向夹角为 d 水流速度为 v 方向 A B与水流方向夹角 p 在上述假设下 依据矢量分析法 我们有如下几个结论 定理 1 游泳者实 际行进 的路线是一直线段 这是由于水流速度和游泳速度二者的大小方向都为定值 因而在一时刻的合速度也为定值 所以行进路 线 为直线段 定理 2 游泳者在途中纵 向 水流方向 的位置一旦低于终点位置时 纵 向位在终点之下游 不论他离 终点有多远 他是永远游不到终点的 这是因为根据世界游泳纪录记载 人的游泳速度不可能达到 1 8 秒 所 以游泳速度与水流速度的合 速度 的纵 向分 量指 向下流 定理 3 设水流速度为 V 水 游泳者速度为定值 V人 河宽为定值 a 那么要最快到达江对岸 不一定是终 点 则必须垂 直与河岸方 向游 所用时 间为 a l v l 起点与到达点 的纵 向落差为 b a l v l l V l 如果 游泳 速度大小不变 方 向角为 d 9 0 d 1 8 0 则 到达对 岸用 的时 间是 d的增 函数 t d a 1 V l s i n e 这是由于要最快到达对岸 横向速度 l V 1 s i n e 应尽可能大 定理 4 若游泳速度 V的方向可以改变 则要最快到达终点 仍应选择合适不变的游泳方向 游进路线仍 为起点 与终点 的连线段 事实上 在速度达不到垂直横渡速度时 游泳方向角 d大于 9 0 记使合速度方向角为 B的最小游泳方 向角为 d 见后图4 若某一段时间用大于 d 的方向角 d游 则合速在横向上的分量关系为 l V 1 s i n e l V 1 s i n e 所 以到达对岸 是终点的上游 就要用更多的时间 故定理结论成立 问题1 1 在假定游泳者的速度大小和方向不变 水流速度 l v l 1 8 9 秒 2 0 0 2年第一名所用时间 t 1 4分 8秒 8 4 8秒 她的速度 v 的方 向与水流方 向夹角为 d满足 维普资讯 赵玉怀 杜光斌 全国大学生数学建模竞赛题 抢渡长江 解法研究 2 9 i d 8 4 8 6 o I v l I C O S O 1 8 9 8 4 8 1 0 0 0 解之得 I v l I 1 5 4 1米 秒 0 1 1 7 4 2 因为 V 与 V 合速度方向为定值 故行进路线为直线 所以 2 0 0 2年竞赛第一名是大小为 1 5 4 1 米 秒 与水流方向夹角 1 1 7 4 2 的方向游进 游行的路线是从起点到终点的直线段 2 对 一个速 度为 v 的游泳者 方 向角 0 与总用时 间 t 三者应满足 的关 系是 t I v l n 0 2 t I v l I c o s 0 1 8 9 1 0 0 0 对上方程当I I 1 8 9 1 4 3 1 5 秒时才有解 1 1 6 0 1 0 00 此时解得 s l n o t 1 8 9 o 丽 U 1 1 6 0 1 0 0 0 I v l I 一 1 1 6 0 1 8 9 1 8 9 0 可 丽 d 1 8 o 一a r c s i n Q 1 8 9 0 垂 聂 丁 而 当I v l I 1 5时 0 1 8 0 一5 8 1 4 1 21 8 6 由 2 解得他 用得时间为 1 1 60 1 1 6 0 9 1 0 8 7秒 所 以该游泳的人选择游泳方向与水流方向夹角为 1 2 1 8 4 他的成绩约为 9 1 0 8 7 秒 1 6分 5秒 问题2 由定理 1 定理 3说明 要游过各点匀水流的江 只有选择合适的定方向游才可最快到达终点 即游泳路 线为起点与终点的连线段 在原题 1的假设下 因为水流速度 I V I 1 8 9 游泳者 以速度大小为 v 要 与岸边垂直 的方 向游 那么他 要 到 达 对 岸 需 要 时 间 为 t 这 时 水 流 将 他 纵 向 下 冲 得 与 起 点 的 落 差 为 I I 要 到 I V l I I V I I V I 达终点 则必须有 1 0 0 0 I V 1 I 解得 I V 1 I 2 1 9 秒 根据世界游泳纪 录记 载 水平不超过 1 7米 秒 故 与岸边 垂 直方 向游 是到不 了终点 的 只能 到达终 点 的下游 在原题 1的假设下 游泳方向和大小不变 那么游泳路线为一条从起点到终点的直线段 直线段与岸边 所成角 p值为 p a r c t a g 1 1 6 如图 1 此直线方向即应为游泳速 V 度与水流速度 V 的合速度方向 V 合 即 v 合 v v 对大小方向不变的 v v 那么要能成功达到终点 当且仅当 v 与 v 合速度 v 合为与水流方向 成 p角的速度 于是作向量 o X v 作射线使 A O C p 以 A点为圆心 以 R I V I 为半径作圆 那么我们 用矢量分析法对各种情况作如下讨论 1 如果oA与 O C不交 I v I 1 4 3 1 5米 秒时 由方程组 2 可得 游泳者方向角 应满足 而 丽 1 0 0 0s l n o t l v 2 I 而 z 1 1 6 0 1 0 0 0 I v I 一 1 1 6 0 I v 2 I 所用 时间 t l V l sl not 问题3 对给定的流速分布 我们假定在每个匀水 速 段上 游泳 者各保 持方 向不 变 设 边段 上游泳 方 向角为 o O A B C上共用 时间 t 中段 AB上方 向角为 o AB上用 时间为 t 记 D A x 2 1 要从 O到达 C则必须满足 l 6 p q 起点 凰工 维普资讯 赵玉怀 杜光斌 全国大学生数学建模竞赛题 抢渡长江 解法研究 3 1 1 5s i nal t l 40 0 1 5 C O S O f l 1 4 7 t l x 1 5 s i n a 2 t 2 7 6 0 Ic 1 5 c o s 2 2 1 1 t 2 1 0 0 0一x 在满足上述条件下 研究 x 取何值时 T 1 t l t 2取最小值 我们使用 m a t h e m a t ic软件 由 Ic 解得 t l s i n o t t 2 s i n o t 他们都是 x的函数 从而 T t t 是 x的一元函数 在x的取值范围内 求 T 的最小值 获 得 x 1 9 4米时 最小的 T 9 0 4秒 此时 1 8 0 一5 3 8 1 2 6 2 d2 1 8 0 一6 2 1 1 8 即沿 图所示 的折线段 O A B C为最短游程路线 所用时 间为 9 0 4秒 2 从上述 d d 数值比较 值差异不大 我们偿试取 d d 相等的值 求解上述方程组 知当 x 2 1 3 米 时 得 d d 2 1 2 1 8 5 所用 时间 T 2 9 0 9秒 3 由上 1 2 看 出 在 1 中走最优路线 d 1 2 6 2 d 1 1 8 所用 时间 T 9 04 秒 与 2 中所走 路线 d d 1 2 1 5 8 所用时间 T 2 9 0 9秒 比较差异不大 所 以为了游泳者便于控制方 向 建议他选择 恒定的游泳方向 即 d 1 2 1 8 5 为上 此时他的成绩是 9 0 9秒 即 1 5分9秒 问题4 根据水流的力学原理 流速从岸边到河中央是一个从零连续递增到最大值 对较宽的河流 河道中央一 段可以认为流速为均匀的 所以原题给的流速分布是有较大的合理性 另外 我们还可以假定流速的大小沿 河岸到 中心为一元二 次函数 如 v Y k y 1 1 6 0一 Y k 0常数 0 Y 1 1 6 0 这样水流速度函数是一可导函数 原题给的函数有不光滑点 更符合实际 1 游泳方向的确定 我们根据问题 3的讨论 中看出 在不均流速的河面上 我们也可以采用不变的游泳 方向 这样 既有 利于游泳方 向的控制 又能获得相 当好 的成 绩 2 游泳方 向角 的确定 根据不 同流速 中可 以采用 固定 方 向 而要快 速到 达终点 方 向角必须满 足与 水流 速度确定的关系 我们以整条河宽上的流速的平均值 v 作为均匀流速的河段的流速值 按均匀流速确定方向 角 平均流速 为 V 01 1 6 0 v y l l 6 0 d y 对原题给出的 v y 我们有 1 8 8 7 秒 从而在流速 为 v 1 8 8 7 秒 的均匀 水流河段上 选 择游泳方 向角 d满足 I l I s i ns 11 6 0 l I C O S O t 2 1 0 0 0 即有 1 1 6 从而有 VZ d十 s l n o t 而 1 0 o o f v 2 I l v 2 I 1 1 6 0 1 0 0 0 I v l I 一 1 1 1 6 0 I v 2 I 当 V 1 5米 秒时 s i n o t 0 8 5 2 0 3 所 以 d 1 2 1 5 6 所 用 的时 间 T 9 0 7 6 3 4 秒 3 我们给出另一种连续分布流速函数的问题讨论 我们取水流速度的函数 V Y k y 1 1 6 0一 Y k 0常数 0 y 1 1 6 0 则 有d d y t I V l l s i n d 下转第3 9页 维普资讯 李威君 压弯组合变形中轴力对变形和强度的影响 3 9 N O 1 Nc r O 3Nc r O 5Nc r O 7Nc r O 9Nc r U 0 4 96 7 0 8 60 4 1 1 1 O7 1 31 42 1 49 02 P 1 1 ll 5 1 4 301 2 003 6 3 3 4 20 1 0 03 4 P 1 1 l 4 3 1 4 41 1 2 0 2 9 9 3 4 0 51 1 0 2 8 4 3 由此表可看出 即使轴力只有欧拉力的 1 1 0 但其对最大挠度和最大弯矩的放大倍数也达 1 1 1 而当 轴力为欧拉力的一半时 其实际最大挠度和弯矩已放大 2 倍 由此可见 一般情况下轴力的影响不能忽略 2 轴力为多大时 其对弯曲变形的影响可以忽略呢 签于工程上可以接受的误差为 5 因此根据 P P 的表达式 我们建议采用如下判别条件 I 1 N 1 4 E I 5 若此不等式成立 则可忽略轴力对弯 曲变形的 影响 按 材力 中通常办法求解 若不满足上不等式 则应按 9 和 1 2 式进行计算 3 上面的讨论尽管是