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拓展材料“两个基本计数原理”教学案例 苏州市第五中学 赵莉 一、目标定位 计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想。本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理。从思想方法的角度看，一个是将问题进行分类思考，一个是将问题进行分步思考，从而达到分解问题解决问题的目的。本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力。所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用。 基于本节课在教材中的地位和作用，根据课程标准的要求，结合学生的认知特点，本节课的目标定位如下： （一）知识与技能 1. 准确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，弄清它们的区别 ； 2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。 （二）过程与方法 1. 培养学生的归纳概括能力，提高他们分析问题和解决问题的能力； 2. 培养学生比较，类比，归纳等数学思想方法和灵活运用的能力。 （三）情感态度价值观 1. 认识数学知识与现实生活的内在联系，激发学生的兴趣； 2. 引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 二、案例聚焦 用什么方法引导学生归纳出两个计数原理？ 对分类计数原理和分步计数原理的理解，学生往往有困难，或是停留在一种朴素的阶段。使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，可多设置问题情境，用一些具体的生活中的实例来帮助学生理解。 如何让学生正确区分“分类”和“分步”的含义？ 让学生自主去探索，获取结论。通过比较分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异。分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事。 三、教学示例 1问题情境 情境：春天来了，要从上海到杭州旅游，可以乘火车，也可以乘汽车。我们怎么选择自己的出行呢？把它抽象成一个简单的数学问题。 问题 1.1 ：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。若一天中火车有 3 列，汽车有 2 辆。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法 ? 2学生活动 学生根据生活经验，解答问题 1 。 1 ，并试图寻找规律。 设问：从甲地到乙地的交通工具可分为 _ 类方式？ 第一类方式，乘火车，有 _ 种方法； 第二类方式，乘汽车，有 _ 种方法； 所以从甲地到乙地有 _ 种方法。 问题 1.2 ：若除了火车和汽车外，还可以乘飞机。一天中飞机有架。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法 ? 问题 1.3 ：上述每类方式的每种方法能否单独实现从甲地到乙地的目的 ? 问题 2.1 ：从甲地到乙地有 3 条道路，从乙地到丙地有 2 条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？ 学生根据生活经验，解答问题 2.1 ，并试图寻找规律。 设问：从甲地到丙地须经 _ 再由 _ 到丙地，有 _ 个步骤？ 第一步，由甲地到乙地，有 _ 种方法； 第二步，由乙地到丙地，有 _ 种方法； 所以从甲地到丙地有 _ 种方法。 问题 2.2: 若从丙地到丁地的道路有条。那么先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，最后从丙地到丁地共有多少种不同的走法？ 问题 2.3: 上述每步的每种方法能否单独实现从甲地到丁地的目的 ? 3. 建构数学 (1) 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 种不同的方法，在第 2 类方式中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。 (2) 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。 设计意图：引导学生找出两个原理的相同点和区别，从而使以往的生活经验抽象出来，上升为数学上的一般规律，用这一规律来解决更多的问题。 4. 数学运用 例 1 某班共有男生 28 名、女生 20 名，从该班选出学生代表参加校学代会。 (1) 若学校分配给该班 1 名代表，有多少种不同的选法 ? (2) 若学校分配给该班 2 名代表，且男、女生代表各 1 名，有多少种不同的选法 ? 设计意图：例 1.1 是单独用分类计数原理的例题，例 1.2 是单独用分步计数原理的例题。设计它们的目的是巩固所学的两个基本原理。 例 2 (1) 在图 (1) 的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法 ? (1) (2) (2) 在图 (2) 的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法 ? 分析 (1) 在图 (1) 中按要求接通电路，只要在 A 中的两个开关或中的三个开关中合上一只即可，故有 2+3=5 种不同的方法。 (2) 在图 (2) 中，按要求接通电路，必须分两步进行 ; 第一步，合上 A 中的一只开关 ; 第二步，合上 B 中的一只开关。故有 2 3 = 6 种不同的方法。 设计意图：例 2 给出了这两个基本原理的一个直观模型，借助串连电路和并联电路来理解两个基本计数原理，弄清它们的区别。 例 3 苏州的部分电话号码是 051265 ，后面六个数字均来自 0 9 这 10 个数，问可以产生多少个不同的电话号码 ? 引申：若要求最后 6 个数字不重复，则又有多少种不同的电话号码 ? 设计意图：例 3 可直接用分步计数原理来解决。在处理时要引导学生对运用基本原理的探求过程进行分析，以深化对基本计数原理的理解。 例 4 如图，要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种 ?分析：按地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域依次分四步完成，所以根据乘法原理， 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 1 1 = 6 种。 设计意图：例 4 是个难度较大的问题，要引导学生思考为什么完成这件事要分 4 个步骤，如何选择恰当的顺序来实现这 4 个步骤。 引申：若用 2 色、 4 色、 5 色等，结果又怎样呢？ 课堂 PK 小测试 (6 题中选 2 题完成 ) 。 为了对某农作物新品选择最佳生产条件，在分别有 3 种不同土质， 2 种不同施肥量，4 种不同种植密度，3 种不同时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有 _ 种 ? 一个商店销售某种型号的电视机，其中国产品牌有 4 种，合资品牌有 7 种，要买 1 台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？ 设有 5 副不同的油画， 2 副不同的国画， 7 副不同的水彩画。从这些油画、国画、水彩画中各选一副布置房间，有几种不同的选法？ 由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 可以组成多少个不同的三位数？ 我们班级里有 4 名同学参加学校里的京剧社、国画社、航模小组，每人限报其中的 1 个社团，不同的报名方法有多少种？ 如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地有 3 条路，从甲地到丙地有 4 条路，从丙地到丁地有 2 条路。从甲地到丁地共有多少种不同的走法？ 5. 回顾小结 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终。要注意“类” 间互相独立，“步”间互相联系。 四、案例反思 1. 本节课的设计意图 （ 1 ）通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知； （ 2 ）由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程的理念； （ 3 ）引导学生自主学习的过程中，渗透了思想方法教育。 2. 课堂亮点 本节课的高潮在于课堂练习的形式，从中央台“幸运 52”中得到启发，让两个同学进行 PK 的游戏， 给出 6 道题，两位选手各自为对方选不同的一道题来回答，答对得 1 分，比比哪个同学的得分高。这个环节一引入，就得到了同学的强烈响应，他们踊跃参与都想露一手。这样极大的调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，而且还对本节课的教学效果做了及时的反馈，达到了预期的目的，效果良好。 3. 教学活动充分发挥学生的参与性 本节通过“设疑 - 求知 - 应用 - 发散 - 反馈” 五步导学，选用学生熟悉的例子，精心设计问题，引导学生思考，进而分析，推理，归纳总结，得出结论。这样，可充分调动学生的积极性，培养学生的观察思考能力，不仅掌握了知识，更重要的是锻炼了学生的抽象思维能力和创造思维活动。 同时让学生参与到解决问题的过程中去，充分体现教为主导，学为主体的教学原则。 拓展材料“两个基本计数原理”教学设计及教学反思 江苏省苏州中学 刘华 在新课标教材中，“两个基本计数原理”是高中数学选修 2-3 第 1 章“计数原理”的起始课，在原大纲版教材中，这个章节的标题是“排列、组合与二项式定理”，新课标教材的内容与原人教版教材是一致的，但新课标的理念却有了很大的不同，如何在教学设计以及教学过程中充分展现新课程对数学教学的新要求？这使我在着手教学设计之时就面临挑战。 1. 如何处理教材 1.1 目标定位 教材提供了教学的素材原理、范例、练习（习题），如何将素材整合成一个有机的教学内容？首先要分析教学内容在教材体系（乃至数学知识体系）中的地位，并确立教学的目标。 课程标准对本章的教学侧重点做了界定：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。”这说明，本章的教学重点是两个基本计数原理，而排列、组合、二项式定理则是两个基本计数原理的应用实例。 根据上述分析，结合课程标准对本章的目标定位，我认为，“计数原理”这一章研究的对象是计数问题，研究的方法是“问题解决”，研究的过程是“建构方法”，在本课的学习过程中，师生将面对实际计数问题（可能是已加工过的）并加以解决，这一“问题解决”过程的目标是建构方法两个基本计数原理。因此，将本节课的教学目标拟定为： A、通过实例分析，让学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并弄清它们的区别。 B、能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的计数问题。 1.2 重难点分析 对学生而言，“计数”是其学习数学的基本能力之一，简单的计数问题，其解决方法就是“数”数，但复杂的问题呢？因此，要使学生意识到，只会机械地“数”是不够的，必须从简单的、已能解决的计数问题中，抽象出能够解决一“类”问题的方法，并明确界定适用该方法的问题的“类”。由此可知，本节课教学的重点与难点为： A、本节课的重点是经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题的流程，即： 分析问题 构造方法 选择原理 解决问题 。 B、本节课的难点是在具体问题解决中，区别使用计数原理。 1.3 课题引入 由于本节课是本章的起始课，还承担着本章引入的教学任务，通过本章引入，我们将带领学生走进本章的数学学习，使学生明白本章的学习主体内容与学习任务，为学生创设良好的数学学习环境。 本章的引入采用了以下的问题（情境）： 问题情境 1 ：掷一颗骰子，出现点数小于 3 的概率是多少？ 问题情境 2 ：中新社苏州 2006 年 12 月 31 日 电 ( 天荣 姚静 ) 记者今天从有关部门获悉，截至目前，苏州市城乡机动车总数已达 55.53 万辆，比去年同期净增 10 万余辆，平均每天新增 300 辆，成为近几年来该市新增机动车数量最多的一年，全市机动车保有总量仅次于上海和北京。苏州市汽车牌照形式为“苏 EXXzzz ”，其中“苏 E ”为地区代码，XX 可以是数字与字母的组合，zzz 是数字的组合，如果按此牌照方式编排，理论上汽车数量最多为多少？ 问题情境 3 ：下图是某城市的街道。西北角是某同学的家，东南角是学校。从家经东西 4 条街，南北 5 条街到学校（最短距离），有几种不同的走法？ 通过以上的问题（情境）的引入，揭示本章的研究课题： 教学片断： 师：先看一个问题，掷一颗骰子出现点数小于 3 的概率是多少？ 生齐： 。 师：好 ! 怎么算的 ? 我请一位同学来回答。 生 1 ：掷骰子一共有 6 种等可能的基本事件，然后小于 3 的有 1 和 2 （出现 1 或 2 点），那么扔到 1 和 2 的概率就是 。 师：谢谢，请坐！我们知道，古典概型中，A 事件发生概率的计算公式是 。那么，现在我们的问题改为：m 和 n 怎么计算？ 师：（我们发现）这个问题，本来是一个概率问题，现在发现它转化成一个计数的问题了，那么，如何计数呢？当然，这个问题很简单，遇到复杂的问题我们怎么样来计数呢？这就是我们今天要开始学习的新的一章 计数原理。 设计意图：从古典概型中引入计数问题，设计思想是根据学生的最近发展区 学生已经学过了概率（古典概型），他们知道在古典概型中，计算一个事件的概率可以用 来计算，而由 n 和 m 的计算就可以引入计数的问题。 师：（见 PPT ）这是一则新闻，讲什么呢？苏州的汽车比较多，我们（苏州）现在的机动车总数是 55.53 万辆，至少说目前路比较挤，你们骑自行车要让着点。（问题是）什么意思呢？我们现在的牌照是什么样子的？苏 EXXzzz ，苏 E 是地区代码， XX 可以是数字或字母的组合，z 是数字的组合。如果按此牌照方式编排，理论上苏州汽车数量总量是多少？这是个什么问题？（生：是计数问题） 师：这里有张图，表示某城市的街道，西北角是同学的家，东南角是学校，那么现在的问题是：从家里经东西四条街南北五条街到学校，按照最短距离走的话，有几种不同的走法？ 师：（指着 PPT ）这是最短路线的一种（演示），它对应着这张图（ PPT ）。有没有其他的最短路线？谁上来比划一下？ 师：请这位同学上来，在图上指出一条与原图不同的最短路线！请！ （生 2 上来指出了一条最短路线。） 师：这也是最短路线是不是？（继续问生 2 ）好！你说他是怎么经过了怎么样一种方式走的最短路线？ 生 2 ：（在最短路线中）他要么往东面走，要么往南面走，往东面走四格，往南面走三格（就能到了）。 师：好，谢谢你！请坐！ 师：这个学生他往东（实际上就是往右）走四段，往南走三段就可以完成这件事，那么，一共要走几段？（停顿，让学生思考）一共要走七段是不是就走到学校了？那么大家能否算出有几种不同的走法？ 师：这是一个什么样的问题？ 生齐：计数问题。 师：我们组合学中一开始先研究计数问题，来看书，书上说“我们在社会生活的各个方面”，我还要再补充一句“我们在数学中实际上也要涉及到计数的问题”。 师：本章的问题就是利用怎样的模型刻画和解决计数问题。 设计意图：这节课是高中数学新课程标准教科 书选修 2-3 第一章计数原理的起始课，这节课除了要完成两个基本计数原理（加法原理、乘法原理）的教学任务之外，还承担着引领学生进入新的一章进行数学学习的作用。 1.4 例习题处理 在本章引入完成后，进入“两个基本计数原理”的教学环节，为了通过实例建构方法，本课采用了以下的问题（情境）： A、（课例延用）行程方法计数问题。 （ 1 ）如图（ 1 ），从甲地到乙地有 3 条公路、 2 条铁路，某人要从甲地到乙地。共有多少种不同的方法？ （ 2 ）如图（ 2 ），从甲地到乙地有 3 条道路。从乙地到内地有 2 条道路。那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？ 上述两个问题有什么区别？ 由这两个问题分别可以得到怎样的数学模型？ B、（自编新例）掷骰子计数问题。 （ 1 ）掷一颗骰子两次，出现点数之和小于 5 的情况有多少种？ （ 2 ）掷一颗骰子两次，共可出现多少种情况？ 其中，“掷骰子计数”问题的创设很好地呼应了“从古典概型中引入计数问题”的过程，也使学生明白数学知识之间的联系，虽然教学使用的是线性的顺序，但数学知识体系本身是“网状”的，古典概型问题的真正解决，依赖于计数方法。 通过以上计数问题建构出两个基本原理后，在教学中使用了以下的例题与练习，并提出了拓展思考题： A、（课例延用）从两个不同群体中 选一名代表， 各选一名代表，有多少种不同的方法？ 例 1 某班共有男生 28 名、女生 20 名，从该班选出学生代表参加校学代会。 （ 1 ）若学校分配给该班 1 名代表，有多少种不同的选法？ （ 2 ）若学校分配给该班 2 名代表，且男、女生代表各 1 名，有多少种不同的选法？ B、（补充题组） （ 1 ）满足 x + y 5 的有序正整数组 ( x ， y ) 共有多少组？ （ 2 ）集合 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的二元子集有多少个？ （ 3 ）集合 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的子集有多少个？ C 、（课内练习）课后练习题 2 题。 （ 1 ） 手表厂为了供应更多新颖款式的手表，为统一的机芯设计了 4 种形状的外壳、 2 种颜色的表面及 3 种形式的数字，问：共有几种不同的款式？ （ 2 ）如图，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走。 从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ 从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ D、（课后拓展思考） 已知集合 M =1 ， 2 ， 3 ， P =4 ， 5 ， 6 。 （ 1 ）以 M 为定义域， P 为值域的不同函数有几个？ （ 2 ）从 M 到 P 不同的映射有多少个？ 2. 如何引导学生 2.1 学情及知识准备的分析 由于是在外校借班上课，虽然事先也有过对学生情况的侧面了解，班主任也特地准备了一份名单，但是，实际上我对学生原有的数学学习能力还是一无所知。我必须将“入门”的起点“放低”，并通过课堂教学中学习的即时反馈，生成完整的教学过程。 从学生的知识准备来看，由于在数学必修 3 中已学习过概率（古典概型），而且当时也有过争议不学排列组合，怎么解决古典概型？现在看来，课程标准所倡导的是知识与技能的“螺旋式上升”，我要做的就是建立起两者之间的联系，因此，我计划从一个古典概型问题引出计数问题，找准学生的“最近发展区”来组织教学。 2.2 突破难点 “计数”几乎是人类一种“天生”的能力，对于简单的计数问题，最常用的方法就是“数”。计数原理这一章的存在，不是要让学生掌握一种新的技能，而是要发展学生这种“与生俱来”的能力，使之能合理地应用于复杂的计数问题。当然，在问题解决的过程中，学生需要不断地归纳、总结，形成解决计数问题的方法和技能。 按以往的教学经验，本节课的难点是在解题中区别所使用的基本计数原理。学生在面对问题时，往往不知是使用哪个原理，他们会尝试着先用分类加法计数原理（或分步乘法计数原理），然后看教师的反应（反馈），有时教师一个皱眉，就会让学生意识到在原理的选用上产生了谬误，从而改用另一个（原理）；而教师在面对学生的错误时，也常常会“断喝”“想一想，到底是分类，还是分步？”这会给学生一个强烈的暗示：“我的方法选择错了”。 在这种教学模式下，学生是否能真正地掌握两个基本计数原理呢？答案是否定的，我们常常看到，学生在教师的“帮助”下（通常我们认可这种帮助是善意的），解决课堂上的计数问题没有困难，可一旦自主面对问题，就往往会陷入两难：“到底是分类、还是分步？”。从历年高考对排列、组合问题的考查结果分析中发现，这类问题的得分情况并不理想，原因可能就在于学生对于“模式套代”的依赖过强，并没有能真正掌握计数原理的实质。 当学生面对题组 满足 x + y 5 的有序正整数组 ( x ， y ) 共有多少组？ 集合 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的二元子集有多少个？ 子集有多少个？ 时，显然遇到了困难，很明显这些问题都需要“计数”，但又无法从题意中区别是使用哪一个计数原理，但这并不影响他们的解题，大多数学生通过“数”的方法，得到了正确的结果，以“集合 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的二元子集有多少个？”为例，学生通过下表： 子集 计数 含有 1 的子集 1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 1 ， 4 ， 1 ， 5 4 不含 1 且含有 2 的子集 2 ， 3 ， 2 ， 4 ， 2 ， 5 3 不含 1 ， 2 且含有 3 的子集 3 ， 4 ， 3 ， 5 2 不含 1 ， 2 ， 3 且含有 4 的子集 4 ， 5 1 合计 10 可以知道按上述方法来计数，使用的是分类加法计数原理，该方法的要点是将计数对象（集合）分成若干类，每一类可看作一个集合，满足特征“两两交集为空，所有集合的并为全集”。实际上，这也是分类加法计数原理中类的基本要求。 然而，如果我们将表变一下： 子集 计数 含有 1 的子集 1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 1 ， 4 ， 1 ， 5 4 含有 2 的子集 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 2 ， 4 ， 2 ， 5 4 含有 3 的子集 3 ， 1 ， 3 ， 2 ， 3 ， 4 ， 3 ， 5 4 含有 4 的子集 4 ， 1 ， 4 ， 2 ， 4 ， 3 ， 4 ， 5 4 含有 5 的子集 5 ， 1 ， 5 ， 2 ， 5 ， 3 ， 5 ， 4 4 合计 20 我们会发现其中蕴含着乘法式 54=20 ，实际上，借助这个表，我们将写二元子集的步骤改为： 往格子“ ，”中不重复地填入 1 ，2 ，3 ，4 ，5 这五个数字； 对照集合中元素的互异性，除去重复的情形。很显然，步骤的做法数为 54 ，按步骤 ，应当除去 2 ，因为 a ，b 与 b ，a 在 中都出现了，但它们是相同的集合，这样，二元子集的个数应为 =10 （个）。显然，这个做法在计数时就应当使用分步乘法计数原理。 由此看来，教师不应在学生面对问题时问“到底是分类、还是分步？”，而应当引导学生构建方法，根据方法的特征来选择所适用的原理，这样做，是不是事半功倍呢？ 3. 如何组织教学 3.1 教学流程的准备 本课教学流程： 通常一种教学流程往往对应着一种教学策略的设计，包括合理完善的教学环节，以及为完成每个环节而分配有效的教学时间。方法建构过程并非是纯理论的演绎，而是结合实例、建构方法、并归纳抽象出数学原理。学生通过经历这一过程，完善了对解决问题过程的认识，这也是数学课力图体现的过程性目标之一。本节课是章起始课，情境的辅垫要为全章的教学服务，方法的建构也需要学生自主地完成，因此，前三个环节预设的时间是比较多的，大约占到 2530 分钟。 如果用很短的时间介绍两个基本原理，将大量的时间花在习题演练过程，也许短期内会取得较好的效