电力系统分析(2005-5).ppt

现代电力系统分析 任课教师 葛少云 研究生学位课 四 最优潮流计算的牛顿算法最优潮流作为一个非线性规划问题 可以利用非线性规划的各种方法来求解 更由于结合了电力系统的固有物理特性 在变量的划分 等式及不等式约束条件的处理 有功与无功的分解 变量修正方向的决定 甚至基本潮流计算方法的选择等等方面 都可以有各种不同的方案 为此即使是采用非线性规划方法 也曾出现过为数甚多的最优潮流算法 其中 在1984年由参考文献 28 SunDI 提出的最优潮流牛顿算法 得到了国内外学者的高度评价 已成为发展新一代最优潮流程序时优先予以选用的算法 一 牛顿法的基本原理如同上面提到的梯度法或最速下降法 牛顿法是另一种求无约束极值的方法 设无约束最优化问题其极值存在的必要条件 f x 0 在一般况下为一个非线性代数方程组 现在用牛顿法对非线性代数方程组求解 于是得到优化的迭代格式为式中 f x k 为目标函数f x 的梯度向量 k为迭代次数 H x 2f x 为目标函数f x 的海森矩阵 是目标函数对于x的二阶导数 故牛顿法又称为海森矩阵法 算法的收敛判据是 f x k 牛顿法在按上述的基本格式进行迭代时 其搜索方向为可见这种方法与最速下降法比较 除了利用了目标函数的一阶导数之外 还利用了目标函数的二阶导数 考虑了梯度变化的趋势 因此所得到的搜索方向比最速下降法好 能较快地找到最优点 牛顿法在有一个较好的初值 并且H x k 为正定的情况下 收敛速度极快 具有二阶收敛速度 这是该法的突出优点 但是牛顿法的使用也受到一些限制 1 要求f x 二阶连续可微 2 每一步都要计算海森矩阵及其逆阵 内存量和计算工作量都很大 为此 对于变量维数很高的优化计算 实用上往往被迫转而采用不必直接求H及其逆阵的拟牛顿法 变尺度法 但是在有些情况下 海森矩阵是一个稀疏阵 于是可以采用结合了稀疏矩阵技术的高斯消去法等一整套极其有效的方法 直接求解修正方程以求得 x 其计算效率极高 而在电力系统最优潮流计算问题中 通过模型的适当建立 相应的海森矩阵可以是一个高度稀疏的矩阵 从而使海森矩阵法这种收敛速度极快的方法完全可以在最优潮流计算这样的大规模非线性规划问题中得到应用 而这正是下面要介绍的牛顿最优潮流算法的最基本特色 二 最优潮流牛顿算法在最优潮流牛顿算法中 对变量不再区分为控制变量及状态变量 而统一写为x 这样便于构造稀疏的海森矩阵 优化是在全空间中进行的 于是最优潮流计算归结为如下非线性规划问题 先不考虑不等式约束h x 可构造拉格朗日函数定义向量z x T 即可得到应用海森矩阵法来求最优解点z 的迭代方程式或可以更简洁的方式表示为 1 224 式中 W及d分别为L对于z的海森矩阵及梯度向量 由于在迭代过程中要反复求解上式 因此计算中所需的内存量以及计算量主要决定于修正矩阵W的结构 为此必须对w的构造作仔细研究 由于z x T 所以式可改写成 1 225 其中 令 即拉格朗日函数关于变量x的海森矩阵 即等式约束条件方程关于x的雅可比矩阵 这样可将前式 1 225 写成 1 227 结合具体的最优潮流计算模型 若变量x在这里仅由节点电压角度及模值向量组成等约束条件方程为潮流方程则 将由有功及无功潮流方程的拉格朗日乘子 P及 Q组成 于是前式 1 227 可进一步具体化为 式中的H是一个对称矩阵 并且H及J的四个子阵均具有和节点导纳矩阵相同的稀疏结构 因此如果将该式中未知量向量的元素重新排列 即将和每一个节点相对应的 i Ui Pi Qi排列在一起 然后按节点号的顺序排列 这样W就变成以4X4阶子矩阵 为子块的分块矩阵结构 如以每个子块作为矩阵w的一个元素 则w矩阵将和节点导舶矩阵具有相同的稀疏结构 因而是一个高度稀疏的矩阵 仅考虑等式约束的最优潮流牛顿算法的主要步骤 1 对变量z x 赋初值 迭代计数k 0 2 计算式 1 224 的右端项 L z k 即向量d 3 判断收敛判据是否满足 若满足 则z k 就是要求的最优解 否则转向第4步 4 用z k 形成迭代矩阵W 5 对W三角分解 求解式 1 224 得到 z k 6 z k 1 z k z k 7 k k l 转向第2步 以上第3步中的收敛判据即库恩 图克条件 在这里由于仅考虑等式约束条件 因此应该包括所有潮流计算方程已得到满足 另外除非有舍入误差 否则应有 z 0 分析以上计算步骤 不难看到 其核心部分和牛顿法常规潮流的计算步骤十分相似 每次迭代的主要计算都集中在形成并求解以线性代数方程组形式出现的迭代方程式 并且其系数矩阵W或J都是具有和导纳矩阵有相似稀疏结构的高度稀疏的矩阵 因此牛顿法常规潮流计算修正方程式求解时所采用的各种技巧完全在这里可以得到应用 由于采用了牛顿法作为优化方法 使得员优潮流牛顿算法具有二次收敛速度 能经过少数几次迭代便收敛而找到最优点 因为W矩阵的阶数达到4NX4N以上 为减少内存及每次迭代的计算量 关键是要充分开发并在迭代过程中保持W矩阵的高度稀疏性 另外在求解时采用特殊的稀疏技巧 只有这几者结合 才能开发出高性能的实用牛顿法最优潮流计算程序 为了进一步减少计算量及内存需量 也可以利用电力系统有功及无功间的弱相关性质 将P Q解耦技术应用于迭代方程式 从而形成解耦型最优潮流牛顿算法 最优潮流牛顿算法对不等式约束的处理方法 如同其它非线性规划算法一样 不等式约束的处理对于最优潮流牛顿算法来说 也仍然是一个有待进一步研究解决的问题 对于越界的不等式约束 可以也采用罚函数的处理方法 于是原来的拉格朗日函数式 1 222 将增广为式中 p x 代表由被强制或制约的越界不等式约束构成的总惩罚项 另一种方法则可以根据越界不等式约束的物理特性及其函数表示形式 将其中的一部分仿照等式约束的处理方法 使越界的不等式约束hi x 0 转化为等式方程以hi x 0 然后通过拉格朗日乘子引入原来的拉格朗日函数 于是有 1 230 式中 hi x 为由越界不等式约束所组成向量 将hi x 转化为等式方程实际上即意味着将它们强制在界上 这是一种硬性限制 而罚函数法则是软性限制 在计入不等式约束以后 前面提到的仅考虑等式约束条件的计算步骤将要作一些改变 由于随着迭代点的依次转移 越界的不等式约束会不断增减改变 于是为了对它们进行强制或释放 就必须不断改变目标函数式 1 229 或式 1 230 中的罚函数项p x 或h x 的内容 并在此基础上构成新的迭代方程而求出新的迭代点 在具体实现时又可以有不同的方案 第一种 就是每求得一个新的迭代点x k 后 通过不等式约束是否满足的检验 找出在该迭代点处越界不等式约束的变动情况 然后就据此修改增广拉格朗日函数中的p x 或h x 接着便进行下一轮迭代 由于在一次次迭代中间越界不等式约束变动频繁 致使达到收敛所需的迭代次数较之仅考虑等式约束的情况要增加很多 而这也是采用非线性规划的算法所遇到的共同难点 第二种更为完善的处理方案则要利用 起作用的不等式约束集 的概念 所谓起作用的不等式约束集 是指在最优解点x 处 属于该约束集的所有不等式约束都成了等式约束 即hi x 0 或者说若最优解点x 正好处在由某个约束所定义的可行域的边界上时 则这个约束就称为起作用的不等式约束 如果预先能知道最优解点处全部起作用的不等式约束 并将这些约束作为拉格朗日函数式 1 230 中的h x 则优化问题就变为只包含等式约束的优化问题 算法的收敛将非常平稳快速 并具有牛顿法的二阶收敛速度 但决定起作用的不等式约束集却是一个复杂而困难的问题 必须采用逐步试探接近的途径 在这方面已经提出了不同的方法 一种是采用试验迭代的方法 即在计算量很大的二次牛顿主迭代之间进行一些计算量较小的试验性迭代 以确定当前起作用的不等式约束集 而另一种则采用了特殊的线性规划技术 该方法能使最优潮流牛顿算法如同常规牛顿潮流计算一样 经过3 5次主迭代便得到收敛 有兴趣的同学可参阅有关文献 五 解耦最优潮流计算常规潮流计算中快速解耦算法的成功促使人们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功 无功解耦技术 从而产生了另一类最优潮流计算模型 并称之为解耦最优潮流 DecoupledOPF 值得注意的是和FDLF算法不同 那里涉及的是在具体求解算法上的解耦简化处理 而这里要讨论的解耦最优潮流则是从问题的本身或问题的模型上把最优潮流这个整体的最优化问题分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题 这两个子优化问题可以独立地构成并求解 实现单独的有功或无功优化 也可以组合起来交替地迭代求解 以实现有功 无功的综合优化 子优化问题模型的建立 按照与有功及无功问题的关联 首先将控制变量分成up及uq两组 状态变量也分成xp及xq两组 其中 up为除平衡节点外 其它发电机的有功出力 xp为除平衡节点外 其它所有节点的电压相角 uq为所有发电机 包括平衡节点 及具有无功补偿设备节点的电压模值 另外还有调压变压器变化 xq为除上述uq中所列的节点以外的其余节点的电压模值 等式及不等式约束也可以分成gp gq 及hp hq两组 于是 两个子优化问题的数学模型分别如下 一 有功子优化问题这里通常用全系统的发电燃料总耗量或总费用作为目标函数 与无功有关的控制变量uq 及状态变量xp均作为不变的常数处理 设用uq0及xq0表示 于是有功子优化问题的数学模型可写成如下的普遍形式 二 无功子优化问题在无功子优化问题中 究竟采用什么目标函数曾经提出过不同的意见 有的从系统的安全性为出发点 例如以节点电压偏离其规定值为最小 或者以无功备用在系统中的均匀分布以能够较好地应付可能受到的扰动为目标 而有的则侧重于经济性的考虑 但目前用得比较多的还是后者 以系统的有功损耗作为目标函数 和进行有功优化类似 在无功子优化问题中 把有功相关控制变量及状态变量也作为不变的常量处理 于是无功子优化问题的数学模型可写成以下的普遍形式 以上建立的有功及无功两个子优化问题可以独立地求解 以实现单独的有功 无功优化 而能达到有功 无功综合优化的解耦最优潮流计算则要交替地迭代求解这两个子问题 其步骤如下 1 通过初始潮流计算 设定控制变量初始值 2 令uq0 uq 0 xq0 xq 0 迭代计数k 1 3 保持uq0及xq0不变 解有功子优化问题 得到up的最优值up k 及相应的xp k 4 令up0 up k xp0 xp k 5 保持up0及xp0数值不变 解无功子优化问题 得到uq的最优值uq k 及相应的xq k 6 检验 uq k uq k 1 up k up k 1 是否满足 7 若满足上列收敛条件 计算结束 否则令uq0 uq k xq0 xq k 8 k k l 转向步骤 3 由上可见 通过解耦或分解 优化过程变为两个规模近似减半的子问题串行迭代求解 这样的算法将能在内存节约以及减少计算时间方面取得相当的效果 因此 在考虑具有实时运行要求的 特别是大规模电力系统的最优潮流算法时 采用这种解耦的最优潮流计算模型是一种很好的选择 研究解耦最优潮流计算的求解方法问题 从前面所列出的子优化问题的数学模型可见 它和本节一开始所讨论的最优潮流的一般模型是完全相似的 因此求解最优潮流的各种方法都能够在这里得到应用 从已经提出的一些较典型的算法来看 包括有采用非线性规划 二次规划以及线性规划的各种算法模型 除此之外 还应该特别强调的是解耦最优潮流的另一个优点在于容许根据两个子优化问题各自的特性而采用不同的求解算法 这样能进一步提高算法的性能 而这也是采用解耦最优潮流的另一个重要理由 例如在数学规划领域内 线性规划较之非线性规划更为成熟 表现在求解过程十分稳定可靠 计算速度快 容易处理各种约束条件等 而电力系统的有功分量和有功潮流方程有着良好的线性关系 线性化的准确度一般较高 为此实用的单独的有功优化潮流往往采用线性规划方法来求解 根据这种考虑 解耦最优潮流的算法可以按照有功子优化问题采用线性规划方法 而无功子优化问题则采用非线性规划方法的方式来组成 这两个子优化问题再交替迭代 就能进一步提高效率 以上主要介绍了解耦优化潮流的基本概念 至于在有关参考文献中提出的各种算法 它们在于优化问题中变量的划分 等式不等式约束条件的组成与处理方法以及具体采用的求解的最优化方法等 都有一些不同 这里将不再对这些算法作进一步介绍 而留给同学们自行去参阅有关的文献 第十节交直流电力系统的潮流计算一 概述与交流输电比较 直流输电由于其固有的技术经济上的特点 因此在远距离大功率输电交流电力系统之间进行非同步互联利用电缆跨海送电或向负荷密集的大城市供电作为限制短路电流的措施等方面近年来 随着直流输电技术的不断发展和日臻成熟 在更多的交流电力系统中出现了直流线路 并且有趋势进一步发展为多端的直流输电系统 从而形成了交直流联合电力系统或简称交直流电力系统 交直流电力系统的潮流计算和纯交流电力系统相比较 具有不少特点 首先 除了原有的交流电力系统变量之外 又增加了直流电力系统变量 两者的有关变量将通过换流站中交直流换流器的特性方程建立数学上的联系 在纯交流电力系统中 决定潮流分布的是节点的电压大小和相角 而在直流电力系统中由于只流过有功功率 直流功率 其功率分布仅由直流系统各节点的电压大小决定 不过 由于通过换流器进行相位控制 流入换流器的交流电流其基波分量将比外施于换琉器的交流电压滞后一个角度 也即通过换流器一方面实现了交直流系统间的有功功率传递 另一方面由于换流器的存在又要从交流系统中吸取相当的无功功率 最后 直流系统的运行必须对各个换流器的运行控制方式加以指定 直流系统的状态量是给定的直流控制量值和换流器交流端电压的函数 因此 交直流系统潮流计算就是根据交流系统各节点给定的负荷和发电情况 结合直流系统指定的控制方式 通过计算来确定整个系统的运行状态 第十一节几种特殊性质的潮流计算问题简介潮流计算问题的内容极为丰富 在前面几节中仅择要介绍了最常见的一些潮流计算模型及算法 作为前述内容的补充 以下再简单地列出几种比较重要的 但其应用目的和性质都与前不同的潮流问题 一 直流潮流以上所提到的潮流计算 都是属于精确的潮流计算 那里所采用的都是精确的非线性交流潮流模型 所得到的结果也是精确的 可是其计算量和耗用时间却因需要迭代计算而都比较多 进行系统规划设计时 原始数据本身就并不很精确而规划方案却十分众多 在实时安全分析中 要进行大量的预想事故筛选等等 这些场合在计算精度和速度这一对矛盾中 后者占了主导地位 因此就产生了采用近似模型的直流法潮流 其计算速度是所有潮流算法中最快的 交流网络中某条支路i j中所通过功率的表达式为 利用下列类似于快速解耦潮流演化时所用的简化假定 即 gij bij ij数值很小 Ui Uj 其数值接近1 0 并略去线路电阻及所有对地支路 上页有功无功表达式可近似地简化成 这样 在可以不计支路的无功潮流之后 由前式可知 一条交流网络中的支路就可以看成是一条直流支路 见图1 20 其两端相应的直流电压值为 i及 j 直流电阻等于支路电抗xij 直流电流值为相应的有功功率Pij 利用节点功率等于与节点有关的支路功率之和 即的关系 并设定平衡节点s的相角 s 0o 可得 式中 b ij和B ij分别是以1 xij为支路导纳建立起来的节点导纳矩阵的自导纳及互导纳 除了平衡节点s外 其余n 1个节点都可列出上式那样的方程式 写成矩阵形式 即得到n个节点电力系统的直流潮流数学模型P B0 1 284 式中 P和 分别为n 1阶节点有功注入和电压相角向量 其中不包括作为角度参考点的平衡节点的有关量 不难看到 B0的构成和快速解耦法有功迭代方程式的系数矩阵B 完全相同 式 1 284 是一个线性方程组 可以一次直接求解得到结果 因而计算速度非常之快 二 随机潮流综上所述的各种潮流计算 都是属于所谓的确定性潮流计算 因为所给的网络参数及节点数据都认为是确定的值 从而计算得到的节点电压以及支路潮流等也认为是确定的 但是在实际上 节点注入功率的预测会有误差 在运行中也会有随机波动 另外 网络元件也会发生偶然事故而退出运行 这些都造成了原始计算数据的随机性 从而使得计算结果也带有不确定性 为了要估计这些不确定因素对系统带来的影响 若采用确定性的潮流计算方法 就需要根据各种可能的变动情况组成众多方案进行大量计算 耗时极多 而随机潮流则是把潮流计算的已知量和待求量都作为随机变量来处理的一种潮流计算方法 随机潮流输入的原始数据根据PQ及PV节点的不同而是相应节点注入功率或苄点电压的期望值 方差和概率密度函数等 而计算结果所提供的也是节点电压及支路潮流等的概率统计特性 如期望值 方差 概率分布函数等 所