复正弦信号参数的ML估计及CRLB.doc

离散复正弦信号参数的ML估计及Cramer Rao界在雷达、声纳、通信以及振动工程等领域中经常根据离散观测值（采样序列）对正弦信号的参数进行估计。采用复信号模型给信号分析和处理带来很大方便,因此文献中通常采用复正弦信号模型。本文讨论了根据离散观测值对单一复正弦信号的参数(幅度、频率、相位)进行了最大似然(ML)估计并给出了各估计量的Cramer Rao方差下限。一、介绍对于一般的复信号具有形式，在系统工作中其虚部是实部的希尔伯特变换(例如信号的希尔伯特变换)而得到的或者根本就不是。本文将讨论单音复正弦信号(即上式中的k=1)的参数估计，信号的实部和虚部是实希尔伯特变换与逆变换的关系，而且假定信号和噪声是带限的。设复信号的实部为，则的虚部为实部的希尔伯特变换，即=。本文中的幅度、频率、相位为待估计的未知非随机参量，噪声为复高斯白噪声其中为的希尔伯特变换。令，。对信号以采样周期为,采样起时时刻为进行点采样。则 (1) (2) (3) 在这里因为噪声为高斯白噪声，由高斯白噪声的性质可知个个高斯白噪声采样值是独立同分布的，即均值是，方差为。由上述可知待估计参数矢量和的联合概率密度函数为 (4)其中: (5) (6) (7)二、均方误差下界在估计系统中一般有两主要性质(即无偏性和有效性)是衡量一个根据现有观测数据所作的估计是否为最佳估计的重要性质。因在本文中我们使用最大似然估计(ML)一般能保持估计量的偏很小，所以对它不作考虑，因此无偏估计量的Cramer-Rao下限适用。对于任何无偏估计量，估计量的均方误差下限是Fisher信息矩阵的逆矩阵的对角元素。矩阵的任意元素可表示为，其中，数学期望与采样矢量有关。估计量的方差满足，其中是的估计量，为的对角元素。另外若向量中有个未知数，则矩阵是矩阵。如果出现其中某个或某几个是已知的，则只需在矩阵中划去这个元素所在的行与列即可，但是大多数情况向量中的元素都是未知的。对于本文，当采样结束，联合概率密度函数就已确定。中的元素 (8) 由上式可求得 (9)其中，是首个采样值的采样时时刻。以下分别各种情况进行分类讨论。(1)、当相位已知时， 此时求得(2)、当频率已知时，此时可求得(3)、当幅度已知时，此时计算得(4)、当三个待估计参量中有两个已知时，划去各元素相应的行与列，最后只剩下一个数了，对此只需求这个数的倒数即可。(5)、当三个参量都未知时，此时，由此可以得到相应未知参量的CRLB下界为 适用于所有情况对上述式子可知,当相位已知时，频率估计量的均方误差下界与有关，容易证明当采样时间关于原点对称时，即则此界可达到最大值，并且此最大值与相位未知时的下限相等。如果频率已知，那么相位估计的均方误差下界与无关，若是频率未知，则那么相位估计的均方误差下界与有关。当时，相位估计能得到最小的下界并且等于频率已知时的下界。另外还要说明一点，估计量的均方误差下界与首次采样时刻具有内在的关联，但是一般都不提及。三、最大似然估计(ML)现在我们来求取未知非随机参量的ML估计量。主要对三个未知参量都未知的情况进行详细讨论，对于其他情况只是给出相应结果。1、一般情况的ML估计就是使得函数最大，要使得最大，经(4)式分析，相当于使最大，即一旦我们对的离散观察确定，即、确定，则和就是常数，经整理得到要使最大，即使最大。根据(6)、(7)两式带入到上式重新整理得： (10) 其中2、所有参量未知现假设本估计中三个参量未知，幅度。在(10)中，当固定时经分析当时取得最大。假设的估计使最大，则 (11) 最后当的估计量时，使(11)式取得最大,的最大最后我们得到的分别是的估计。通过观察和可知他们都与没有直接关系，而与有直接关系。这正好与前述的估计量的均方误差下界与首次采样时刻具有内在的关联相吻合。是的周期函数，周期为，当通过计算求得多个相等的最大值时，需要对取模值来求得。但是实际情况中信号都会首先通过一个低通滤波器使得所有的输入频率不高于。经研究观察矢量的DFT(个，其中)与得关系可得：,而对于DFT中的的计算，可以使用FFT算法实现，并且计算速度非常快。因此对于本文中高斯白噪声背景下基于离散观察的复正弦信号参数的估计量的计算可以使用计算机来进行计算，可以对估计进行编程仿真。3、所有未知参数的联合ML估计量总结(1