名师一号(必修5) 3.2.ppt

3 2一元二次不等式及其解法 自学导引 学生用书P64 1 了解一元二次不等式与实际问题的关系 2 理解二次函数 一元二次方程与一元二次不等式解集的关系 3 掌握一元二次不等式的解法 课前热身 学生用书P64 一元二次不等式经过变形 可以化为以下两种标准形式 1 ax2 bx c 0 a 0 2 ax2 bx c0 而方程ax2 bx c 0中 b2 4ac 则 0时 方程ax2 bx c 0有两个 的解x1 x2 设x1 x2 则不等式 1 的解集为 不等式 2 的解集为 0时 ax2 bx c 0有两个 的解 即x1 x2 此时不等式 1 的解集为 不等式 2 的解集为 0时 方程ax2 bx c 0无实数解 则不等式 1 的解集 不等式 2 的解集 不相等 x xx2 x x1 x x2 相等 R 名师讲解 学生用书P64 1 一元二次不等式的概念形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c0 2 x2 8x0 4 x2 6 0等 用文字语言表述为 一般地 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式 叫做一元二次不等式 2 一元二次不等式的解法使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的所有解组成的集合 叫做这个一元二次不等式的解集 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形 解不等式x2 2x 3 0 可对不等式左边进行因式分解 再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解 也可以利用二次函数图象求解 解法2 作函数y x2 2x 3的图象如下图 由图可知 y x2 2x 3图象在x轴上方 即函数值大于零 的点的横坐标取值范围是x3 故原不等式的解为 x x3 3 一元二次不等式与一元二次方程 二次函数的联系当a 0时 一元二次不等式 一元二次方程及二次函数的关系如下表 说明 1 一元二次方程ax2 bx c 0的解就是使二次函数y ax2 bx c的函数值为零时对应的x值 一元二次不等式ax2 bx c 0 ax2 bx c0的解集端点 2 解一元二次不等式时 必须注意二次项的系数的符号 当a0或 x x1 x x2 x2 或 x x1 x x2 x1 x2 4 解一元二次不等式的程序对任意一个一元二次不等式 其求解程序如图1的流程图所示 其求解程序框图如图2所示 典例剖析 学生用书P65 题型一一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 x2 5x 6 0 2 3x2 5x 2 0 3 3x2 5x 2 0 4 9x2 6x 1 0 5 x2 4x 5 0 解 1 不等式可化为x2 5x 60 所以方程x2 5x 6 0有两个实数根 x1 2 x2 3 由二次函数y x2 5x 6的图象 如图 1 得原不等式的解集为 x 2 x 3 图 1 图 2 图 3 5 方程x2 4x 5 0无实数解 函数y x2 4x 5的图象是开口向上的抛物线 与x轴无交点 如图 4 观察图象可得 不等式的解集为R 图 4 规律技巧 通过上面例子可知 当a 0时 解形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c 0 0 a 0 的一元二次不等式 一般可分为三步 1 确定对应方程ax2 bx c 0 a 0 的解 2 画出对应函数y ax2 bx c的图象简图 3 由图象得出不等式的解集 变式训练1 1 解不等式3x2 2x 2 3x 2 解不等式 9x2 6x 1 0 3 解不等式 x2 4x 50 49 0 方程3x2 5x 2 0有两个实数根 即x1 2 x2 然后 画出函数y 3x2 5x 2的图象 如下图 由图象得不等式的解集为 x x 3 4 0 方程x2 4x 5 0无实数解 函数y x2 4x 5的图象是开口向上的抛物线 与x轴无公共点 所以不等式的解集为 题型二一元二次不等式与一元二次方程的关系例2 已知一元二次方程ax2 bx 1 0的解集为 x 2 x 1 求a b的值 分析 由于一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根结合二次函数的图象所得 所以可以知道 2和1是方程ax2 bx 1 0的两根 解 由于ax2 bx 1 0的解集为 x 2 x 1 所以二次函数y ax2 bx 1的图象是开口向下的抛物线 且与x轴交于两点 2 0 1 0 所以 2和1是方程ax2 bx 1 0的两根 由韦达定理 得规律技巧 由一元二次不等式的解法不难知道 一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系 这种关系体现了不同知识之间内在的联系 变式训练2 若不等式ax2 bx c 0的解集为 x 30的解集为 x 3 x 4 a 0 且 3和4是方程ax2 bx c 0的两根 由根与系数的关系 题型三一元二次不等式的简单应用例3 已知y log3 mx2 mx 1 的定义域为全体实数 求m的范围 分析 所谓定义域为全体实数 就是指mx2 mx 1 0恒成立 易错探究 学生用书P66 技能演练 学生用书P67 基础强化 1 已知不等式ax2 bx c0B a0 0D a 0 0答案 C 答案 B 答案 A 解析 2 2 4 3 1 80恒成立 即不等式3x2 2x 1 0的解集为R 答案 D 5 函数的定义域是 A x x3 B x 4 x 3 C x x 4或x 3 D x 4 x 3 解析 由x2 x 12 0 即 x 4 x 3 0 x 3或x 4 答案 C 答案 B 7 二次函数y ax2 bx c x R 的部分对应值如下表 则不等式ax2 bx c 0的解集为 解析 观察对应值表可知 解集为 x 2 x 3 答案 x 2 x 3 8 不等式 4 x2 5x 2 26的整数解为 答案 2 1 0 1 4 5 6 7 能力提升9 已知M x 9x2 6x 1 0 N x x2 3x 4 0 求 M N 10 假设某市2004年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2004年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 解 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则Sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 所以n 10 所以到2013年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 即250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 满足上述不等式的最小正整数为n 6 所以到2009年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 点评 本题考查了一元二次不等式的解法 等差数列求和及等比数列等知识 考查了利用数学知识分析问题 解决问题的能力 解题的关键是建立合理的数学模型 等差数列 解不