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2 4随机变量的函数的分布 方法将与Y有关的事件转化成X的事件 2 4 问题已知r v X的分布 求随机因变量Y g X 的分布 设r v X的分布律为 由已知函数g x 可求出r v Y的所有可能取值 则Y的分布律为 离散型 例1已知X的概率分布为 求Y1 2X 1与Y2 X2的分布律 例1 例2设随机变量X具有以下的分布律 试求Y X 1 的分布律 解Y所有可能取的值为0 1 4 由 即得Y的分布律为 FY y P Yy P 2X 8y 解 设Y的分布函数为FY y P X FX Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 从上例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 这样做是利用已知的X的分布 从而求出相应的分布 这是求连续型r v的函数的分布的一种常用方法 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量的函数的概率密度 其中 x h y 是y g x 的反函数 定理设r v X的概率密度为f x 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 例5设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 解 在区间 0 1 上 函数lnx 0 故y 2lnx 0 于是y在区间 0 1 上单调下降 有反函数 由前述定理得 注意取绝对值 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 即Y服从参数为1 2的指数分布 例6已知X N 0 1
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