数列求通项与求前n项和.doc

在这里起航制作室制作 T数列求通项与求和（唐翔）（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃天水 741001）摘要 例如：求anbn，其中，an为首项为a1公差为d的等差数列，bn为首项b1公比为q的等比数列，求前n项和sn 解 sn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn qsn= a1b2+ +an-1bn+anbn-1 关键词 数列，数列求通向，数列求和，固定做法引言 数列是高考中的一大重点也是难点之一，其实要掌握数列不难，高考中的数列基本是先求通向，再求前n项和正文1. 数列求通向数列求通项基本可以归结为以下：（1） 我们在高中课本中最常见的等差数列（这是求其它的基本，同学们必须牢记并且能熟练运用）例如：自然数列1,2,3,4,5,6n求通项an解：因为 所给数列an为等差数列所以 任意的两项之间的差为等差数列的公差d即 d=2-1所以 通项an=a1+（n-1）*d=1+（n-1）*1=n（2） 我们在高中课本中最常见的等比数列（这也是求其它的基本，同学们必须牢记并且能熟练运用）例如：1,2,4,8,10求通项an解：因为 所给数列an为等比数列所以 任意的两项之间的比为等比数列的公比q即 q=21所以 通项an=a1(n-1)q=1(n-1)2=(n-1)2（3） 用递推公式表示的式子求通项例如：an+1=pan+q求通项an解：先把式子配成an+1+A=p（an+A） 其中A用待定系数法解出从而 an+1+Aan+A=p所以 数列an+A就是以a1+A为首项p为公比的等差数列 接下来，用等差数列通项公式求，由于刚刚说过，这就不再多说 例如：an+1=pan+f（x），其中f(n)能前n-1求和 解：a1=a1 a2=a1+f（1） a3=a2+f（2） a4=a3+f（3） an=an-1+f（n-1）an=a1+f（1）+f（2）+f（n-1）例如： an+1=f1nan+f2n 解：把 an+1=f1nan+f2n配方为an+1g（n+1）- ang（n）=d所以 ang（n）就是以a1g（1）为首项d为公差数列接下来，用等差数列通项公式求，由于刚刚说过，这就不再多说例如：an+1=fnan 其中f（n）可前n-1项求积 解：a1=a1 a2=a1+f（1） a3=a2+f（2） a4=a3+f（3） an=an-1+f（n-1） an=a1f（1）f（2）f（n-1）例如：an+1=qan+fn 解：把an+1=qan+fn 配方为an+1fn+1anfn=qanfn是以a1g（1）为首项q为公比的等比数列接下来，用等比数列通项公式求，由于刚刚说过，这就不再多说（4） 给出前n项和，求通项 例如： sn=f（n）解：a1=s1 an= fn-fn-1 （n2）注：当 n=1时带入中，成立应该合起来写为an= fn-fn-12. 数列求前n项和数列求前n项和基本可以归结为以下：（1） 我们在高中课本中最常见的等差数列（这是求其它的基本，同学们必须牢记并且能熟练运用）例如：自然数列1,2,3,4,5,6n求前n项和sn解：因为 所给数列an为等差数列所以 任意的两项之间的差为等差数列的公差d即 d=2-1所以 前n项和 sn=a1n+n（n-1）2d = n+n（n-1）2*1=n22+n2（2）我们在高中课本中最常见的等比数列（这也是求其它的基本，同学们必须牢记并且能熟练运用）例如：1,2,4,8,10求前n项和sn解：因为 所给数列an为等比数列所以 任意的两项之间的比为等比数列的公比q即 q=21所以 前n项和 sn=a1(1-qn)1-q=-(1-2n)= 2n-1（3）求两个数列的乘积的前n项和，其中一个为等差数列;一个为等比数列 例如：求anbn其中，an为首项为a1公差为d的等差数列，bn为首项b1公比为q的等比数列，求前n项和sn 解 sn=a1b1+a2b2+an-1bn-1+anbn qsn= a1b2+ +an-1bn+anbn-1 用-得 （1-q）sn=a1b1+db2+dbn-1-anbn 又因为 an为首项为a1公差为d的等差数列；bn为首项b1公比为q的等比数列所以 an=a1+（n-1）*dbn =b1（n-1）q对式从第二项起到n-1项提出d后为首项为b2公比为q的等比数列以及得（1-q）sn=a1b1+db2(1-qn-2)1-q-a1+（n-1）*db1（n-1）qsn=a1b1+db1q(1-qn-2)1-q-a1+（n-1）*db1（n-1）q*11-q（4）用递推公式表示的式子求前n项和例如：an+1=pan+q求前n项和sn解：先把式子配成an+1+A=p（an+A） 其中A用待定系数法解出从而 an+1+Aan+A=p所以 数列an+A就是以a1+A为首项p为公比的等差数列 接下来，用等差数列前n项和sn公式求，由于刚刚说过，这就不再多说 例如：an+1=pan+f（x），其中f(n)能前n-1求和 解：a1=a1 a2=a1+f（1） a3=a2+f（2） a4=a3+f（3） an=an-1+f（n-1）an=a1+f（1）+f（2）+f（n-1）例如： an+1=f1nan+f2n 解：把 an+1=f1nan+f2n配方为an+1g（n+1）- ang（n）=d所以 ang（n）就是以a1g（1）为首项d为公差数列接下来，用等差数列前n项和公式求，由于刚刚说过，这就不再多说d例如：an+1=qan+fn 解：把an+1=qan+fn 配方为an+1fn+1anfn=qanfn是以a1g（1）为首项q为公比的等比数列接下来，用等比数列前n项和公式求，由于刚刚说过，这就不再多说（5） 分组求和法前n项和 例如：an+bn，其中an等比数列bn等差数列，求前n项和解：sn=a1+b1+a2+b2+an+bn sn=（a1+a2+an)+b1+b2+bn接下来，用等比、等差数列前n项和公式求，由于刚刚说过，这就不再多说（6） 用裂项相消法求前n项和例如：an=1n(n+1) 求前n项和解：an=(1n-1n+1)sn=1-11+1+12-12+1+13-13+1+1n-1n+2 sn=121-12+12-13+13-14+1n-1n+1sn=12(1-1n+1)=12-12（n+1） 总结 求数列通项还是前n项和，我们都先化为学过的等差数列或等比数列，再按等差数列或等比数列性质求解参考文献 1）北京大学数学系几何与代数研室前代数小组 编高等代数（第三版）王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社出版 M。 2）曹崇光 张显 唐孝敏 编著高等代