同济第五版高数下第七章课件.ppt

第七章 空间解析几何与向量代数 引言 在平面解析几何中 通过坐标法把平面上的 点与一对有序的数对应起来 把平面上的图形和 方程对应起来 从而可以用代数方法来研究几何 问题 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的 空间解析几何作为学习多元函数微积分的 准备知识 第一节向量及其线性运算 第二节数量积向量积混合积 第三节曲面及其方程 第四节空间曲线及其方程 第五节平面及其方程 第六节空间直线及其方程 内容 第一节向量及其线性运算 向量 既有大小又有方向的量 向量表示 模长为1的向量 零向量 模长为0的向量 向量的模 向量的大小 记为 单位向量 一 向量的概念 或 几何上 以为起点为终点的有向线段 记为 任意方向 自由向量 不考虑起点位置的向量 相等向量 大小相等且方向相同的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 记作 向量平行 两个方向相同或相反的非零向量 记作 1 加法 平行四边形法则 或三角形法则 二 向量的线性运算 三角不等式 特殊地 若 分为同向和反向 同向 反向 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 2 结合律 首尾相接 连加 2 减法 特别地 3 向量与数的乘法 数乘 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 分配律 两个向量的平行关系 必要性 证 充分性显然 设 两式相减 得 按照向量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 单位化 例1化简 解 例2试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形必是平行四边形 证 结论得证 横轴 纵轴 竖轴 定点 正方向符合右手系 构成空间直角坐标系 三 空间直角坐标系 确定三个坐标轴 横轴 纵轴和竖轴 面 面 面 空间直角坐标系有三个坐标面 将整个 空间分为八个部分 称为八个卦限 分向量 坐标分解式 空间点 有序数 有序数组 特殊点的坐标表示 坐标轴上的点 坐标面上的点 空间点 设 四 利用坐标作向量的线性运算 加 减 法 数乘 解由向量的加法 有 因此 例3 解 例4设 求向量 的横坐标和沿y轴上的分向量 在y轴上的分向量为 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离 有 解 设P点坐标为 所求点为 因为P在x轴上 例5 解 所求向量有两个 一个与同向 一个反向 或 例6 两向量的夹角的概念 它们的夹角可在0与之间任意取值 2 方向角与方向余弦 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 称为非零向量的方向角 方向余弦 方向余弦用来表示向量的方向 单位向量 特性 例7 解 已知两点 和 计算向量 的模 方向余弦和方向角 方向余弦为 方向角为 轴的夹角分别为 解 例8设有向量 已知 它与 轴和 和 如果 的坐标为 求 的坐标 的坐标为 由前面得 投影轴 过点M作与u轴垂直的平面 点M在u轴上的投影 此平面与 在u轴上的投影 3 向量在轴上的投影 u轴的交点 而 即为 则称为向量OM 记为 称为在三条坐标轴上的分向量 轴上的投影 按照投影定义 向量 在直角坐标系 中的坐标 就是向量 在三条坐标 即 或记作 向量的投影具有与坐标具有相同的性质 性质1 即 性质2 即 两个向量的和在轴上的投影等于 两个向量在该轴上的投影之和 性质3 即 例9 设立方体的一条对角线为OM 一条棱为 OA 且 求 OA在OM方向上的投影 注 是指向量 在某条与向量 同方向 的轴上的投影 解 如图所示 设 则 例9 设立方体的一条对角线为OM 一条棱为 OA 且 求 OA在OM方向上的投影 1 空间直角坐标系 2 空间两点间距离公式 注意它与平面直角坐标系的区别 轴 面 卦限 小结 一 空间直角坐标系 1 向量的概念 2 向量的加减法 3 向量与数的乘法 注意与标量的区别 平行四边形法则 注意数乘后的方向 二 向量的概念及其线性运算 三角形法则 三 向量的坐标表示 则 向量的坐标 向量的模 单位向量 向量的投影 思考题 1 在空间直角坐标系中 指出下列各点在哪个卦限 思考题 2 已知平行四边形ABCD的对角线 试用表示平行四边形四边上对应的向量 思考题2解答 思考题 3 设 求以向量 为边的平行四边形的对角线 的长度 思考题解答 3 对角线的长为 平行四边形的对角线的长度各为 4 一向量的终点在点 它在 上的投影依次为 求这