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1 第三章命题逻辑第三节命题演算 一 重言式及其判定 主要内容 二 命题演算的公理系统P三 命题逻辑的自然推理系统 2 一 重言式及其判定 一 真值联结词 真值形式 二 真值函数及其判定方法 1 真值函数的种类 2 真值表判定方法 3 归谬赋值法 3 一 真值联结词 真值形式 命题的真假二值 我们称为命题的真值 现代逻辑在研究复合命题时所涉及的联结词 是一种真值联结词 所谓真值联结词 是指仅仅表示复合命题与其支命题之间真假关系的联结词 4 基本的真值联结词 基本的真值联结词主要有五个 否定 合取 析取 蕴涵 等值 分别用符号 表示 5 真值形式 真值联结词与命题变项所构成的形式结构 就是真值形式 真值形式 命题形式 公式 6 五种基本的真值形式 命题逻辑中有五种基本的真值形式 否定式 p 合取式 p q 析取式 p q 蕴涵式 p q 等值式 p q 7 真值函数 真值形式以函数的形式存在 从这个意义上看 一个真值形式就是一个函数 function 数学中的函数 8 真值形式 真值函数 真值形式中 其命题变项的真值决定着该真值形式的真值 两者构成一种函数关系 每一个真值形式都是一个真值函数 9 真值函数的解释 一个公式的真值是由其变元的值和联结词的定义决定的 给定一个公式 公式的常元就订了下来 这个时候 该公式的值就由变元的赋值所决定 复合命题的一些表格200710 doc以某个词组为例 的首都以某个命题形式为例 p q 10 真值函数的数目 真值函数的数目是由公式中变项的真假组合决定的 二值逻辑中 当公式只有一个变项时 其取值只有该变项的真假两种可能 当有两个变项时 由于每个变项都可以有真 假两种取值 因此 该公式的真假组合便有2 2 4种 当公式有三个变项时 其真值组合便有2 2 2 8种 11 真值函数数目公式 以此类推可得公式 当一个公式有n个变项时 其真假组合便有种 p51 12 二 真值函数种类及其判定方法 1 真值函数的种类常真的 不论其中的命题变项取什么值 函数的值总是真的 常假的 不论其中的命题变项取什么值 函数的值总是假的 可满足的 函数的值有时为真有时为假 13 真值函项种类的名称 第一类是永真公式 也叫重言式 如p p p p等 第二类是永假公式 也叫矛盾式 如p p p p等 第三类是可满足式 如p q p q等 14 重言式的特殊意义 复合命题中所有有效推理式都是重言式 包括13个基本推理式 以及等值推理式 以及基本式以外的其他推理公式 例如二难推理 假言连锁推理等格式 15 重言式的判定 2 真值表判定方法 3 归谬赋值法 16 2 真值表判定方法 第一步 找出该公式中不同的命题变项 并竖行列出它们所有可能的真假组合 第二步 按照该公式的生成次序 由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式 直至该公式本身 第三步 按照上面给定的真值联结词的真值表 由命题变项的真值逐步计算出各个子公式的真值 最后算出该公式本身的真值 p51 17 练习五 第1题p60 p p q p q 使用真值表判定法 18 3 归谬赋值法 基本思路是 判定一公式A是否为重言式 先假定A为假 在此基础上如能导出矛盾 则说明该假设不可能成立 因此A必为重言式 若导不出矛盾 则A就不是重言式 此法也称为简化真值表法 19 归谬赋值法判定步骤 第一步 假定被判定的公式为假 第二步 从这一假定出发 依次对公式中的各部分公式赋以相应的真值 直到所有的可能情况都被赋以确定的真值为止 第三步 检查结果 如出现了逻辑矛盾 如果有多于一种真值指派 则需每种指派都出现矛盾 那么 可以证明被判定的公式是一个重言式 如果并未导致逻辑矛盾 那就证明被判定的公式不是重言式 归谬赋值法步骤说明 vsd 20 二 命题逻辑公理系统 形式系统浅说 一 形式语言 符号 符号形成 定义 二 公理 三 推理规则 四 定理证明 21 形式演绎系统浅说 Theideaofaformaldeductivesystem Word formal isonewhichappearsregularlyinlogictextbookswithoutbeingexplained 在符号被使用的地方 符号的行动和性质完全地被一个给定的规则集合所决定 22 形式演绎系统中的符号 在一个形式系统中 符号没有意义 我们必须假定 除了在系统中对符号性质所作的说明之外 我们没有有关符号的任何其他性质 由此我们才能看到逻辑的基础 汉密尔顿 数理逻辑 英文版27页 23 二 命题演算的公理系统P 一 形式语言 初始符号更少一些 可以引入定义 二 合式公式形成规则 三 定义p54 四 公理p55 五 推理规则p55 24 定理证明 证明是从公理出发的推演序列 在自然推理中使用规则 在公理化系统中使用公理和规则 分离规则 蕴涵