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浅析 利用“二次函数”的最值解题 随县一中 杨福军 关键词：二次函数，轴，区间，最值。 引言：在高中数学中，有很多的题是通过讨论“二次函数”的最值来到达解题目的的，且此题型是高考的热点之一，因此，教师在教学中应给予重点关注，并指导学生学会此类型题的讨论方法。 仔细分析不难发现，此类题型不外乎“轴定域定” “轴变域定” “轴定域变” “轴变域变”等四种题型。就各种题型浅析如下：一：“轴定域定”的题型 例1：求函数 的最小值 解析：此题为无理函数，解法很多。此题的通常想法是化“无理”为“有理” ，即令 (),则原函数可化为： ()即原题化成了“轴定（对称轴为： ）域定（）”的二次函数的讨论问题，数形结合一下，解起来就不难了。 解：函数 的定义域为 即令 （） 可解得： 所以，原函数可化为： （如图1的实线部分） 当 时，y取最小值 所以 二：“轴变域定”的题型 例2：当函数 y=sinx+2a cosx-a-的最大值为1时，求a的值。 解析：本题利用三角函数的平方关系转化为二次函数的形式并不难，很容易化成： y=-(cosx-a) +a-a- 此二次函数的自变量为 cosx ，是有界的，即 令t=cosx , 则 是确定的，即“域定” ，但其对称轴为：t=a 是变化的，即“轴变” 。讨论时，只要注意轴和区间的关系，通过数形结合，很容易求出函数的最大值，从而由题意求出a 的值。 解：y=sinx+2a cosx-a-=-cosx+2a cosx-a-=-(cosx-a) +a-a-令 t=cosx 则 原函数可化为：y=-(t-a) +a-a- () 当a-1时，由函数图像（如图2的实线部分）易得， 当t=-1时，函数y取得最大值，且 =-（-1-a）+a-a-=-a- 由题意可得： a-=1 解得：a=-1 应舍去。 当-1a1 时，由函数图像（如图3的实线部分）易得，当t=a时，函数y取得最大值，且=a-a- 由题意可得： a-a-=1 解得：a=-1 或 a= 应舍去。 当a1 时，由函数图像（如图4的实线部分）易得，当 t=1时，函数y取最大值，且=-（1-a）+a-a-=a- 由题意可得： a-=1 解得：a=(1,+)综上可得：a=-1 或 a=三：“轴定域变”的题型 例3：设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P(0,)到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程。 解析：由椭圆的离心率e= 可得：a=2b ，若设M(x, y) 是椭圆上的任意一点，M与P的距离设为d 则有： d=x+(y-) M(x, y) 在椭圆上，由椭圆的方程可得：x=a- d=a-y+(y-)=-3y-3y+4b+=-3(y+)+4b+3 即得关于y的二次函数，因为点M在椭圆上，所以 -byb 是变化的区间，即“域变” ，而其对称轴是：y=- 是确定的，即“轴定” 。讨论时注意其中b是椭圆的短半轴，值恒正，同时注意数形结合，就可解决此题。 解：设椭圆的方程为： （ab0）由e= 得 a=2b 且有：x=a-设M(x, y) 是椭圆上的任一点，M与P的距离为d 则有：d=x-=-3y-3y+4b+=-3(y+)+4b+3 M点在椭圆上， -byb 当-b 时，即b 时，由函数图像（如图5中的实线部分）易得：当y= 时，d取最大值，即 因为b0 所以，解得：b=1 此时，a=2满足条件：ab0 当 -b0 即 0b 时，由函数图像（如图6的实线部分）易得：当y=-b 时，d取最大值，即=-3b+3b+4b+=(b+) 解得：b=- 或 b= b=0 且 b= 都应舍去。综上可得：a=2 b=1因此，所求椭圆的方程为： 即四：“轴变域变”的题型 例4：已知y=4m(x-m) (m0) ，求u=(x-3) -y的最小值。 解析：首先找到u关于x的表达式，即 u(x)=x-(3+2m) -12m 此函数是关于x的二次函数，其对称轴为：x=3+2m 是变化的，即“轴变” ，又由y0 m0 可得：x-m0 xm 也是变化的，即“域变” ，解此类型的题，应注意“字母”的范围和轴与区间的关系，数形有机结合，便可解。 解：由已知可得：u(x)=(x-3) -4m(x-m)=x-(3+2m) -12m y0 m0 x-m0 即xm所以 u(x)=x-(3+2m) -12m (xm) 当3+2mm 即 m-3 时，由函数图像（如图7中的实线部分）易得，当 x=3+2m 时，u(x)取得最小值，此时 u (3+2m)=-12m 当3+2mm 即 -3m0 时，由函数图像（如图8中的实线部分）易得，当 x=m 时，u(x)取得最小值，此时 =u (m)=(m-3) 综上可得