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浅谈求函数值域的几种方法四川省射洪县金华中学 李后成函数的值域是函数中的重要内容之一，涉及函数的性质与图象等很多方面，求函数的值域是一个比较复杂的问题。虽然在给定了函数的定义域及其对应法则后，值域就应该完全确定了。但求值域也要注意方法，本文以例题来讲解求函数值域常用的方法。一、观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法。例1 求函数的值域。解：由于 ，故 所以函数的值域为点评：算数方根具有双重非负即（1）被开方数的非负性（2）值的非负性，本题通过直接观察，算术方根的性质而获解，这种方法对于求函数的值域简洁、明了。不失为一种巧法。二、配方法：对二次函数类型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数值域的方法求函数的值域这就是配方法。例2 求函数的值域解：因为 所以故函数的值域为点评：将自变量配方成完全平方数用二次函数的最值求得，利用配方法时要特别注意定义域对值域的制约。三、判别式法将函数视为自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围。例3 求函数的值域解 此函数的定义域为R可变形为 时故函数的值域为点评:将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程的根的判别式从而确定出原函数的值域。四、换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。例4 求函数的值域。解：设则函数在上单调递减所以函数有最大值时故函数的值域为点评：将无理函数或二次性函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值从而确定出原函数的值域。五、分离常数法通过变形将函数分离出一个常数和一个熟悉的函数表达式，再通过求熟悉的函数值域，以达到求原函数值域的目的。例5 求函数的值域。 解： 因为所以点评：形如（）的形式的函数可利用这种方法。六、单调性先利用函数的单调性的定义说明函数在某个区间上的单调性，再利用单调性求值域。例6. 求函数在上的值域。解：设因为 ，所以当 ，故所以的值域为点评：利用单调性求函数的值域是在给定的区间上结合函数的增减性求出函数在区间端点函数值。进而可求出函数的值域。小结：求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程逐渐探索和积累，除了上述常用的方法外，还有最值法，数
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