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提 纲1、 类比的概念2、 类比的特点3、 数学中常见的类比对象3.1 个别到一般的推广3.2 某种特性的推广使用3.3 低维到高维的类比3.4 方法上的类比4、 中学数学中常见的一些类比4.1 平面与空间的类比4.2 数与形的类比4.3 解题方法上的类比4.4 有限与无限的类比5、 结束语6、 致谢7、 参考文献类比思想在中学数学解题中的应用和泽光（临沧师专数理系08数学3班，学号：083303039，云南 临沧 677000）摘 要：在中学数学学习中，类比是数学学习与研究的一个重要方法。尤其对数学学习而言，掌握和应用类比方法能使我们深刻理解相关数学知识。但对中学生来说，由于受其知识结构、数学观念和各方面能力和经验的限制，遇到问题时仍会感到困难，无从下手。为此，教师在教学中应加强示范和指导，抓住数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、低次与高次之间、相等与不等之间、有限与无限之间可以进行类比的典型例子，强调类比的作用、意义，以及如何进行类比的思维过程 ，加强相应的训练，这也是现代社会培养创造能力和创新意识的需要。关键词：类比；概念；意义；应用；实例分析1 类比的概念当两个对象或两类事物的一些属性相同或相似时，猜想它们的另一些属性也可能相同或相似的思考方法叫做类比。类比的一般形式：事物A具有性质a、b、c、d及关系R；事物B具有性质a、b、c，则B具有与性质d相似的性质d及类似的关系R。2 类比的特点：类比是从特殊到特殊的思考方法。类比得到的结论仅仅是一种猜想，可能正确也可能不正确。类比的关键是寻找合适的类比对象。3 数学中常见的类比对象：数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、相等与不等之间、有限与无限之间。平面几何与立体几何的类比类型：平面几何线面积线段长三角形平行四边形圆点立体几何面体积面积三棱锥平行六面体球线一个完整的数学工作应有以下三个部分：1通过观察、实验、比较、分析与综合，提出符合现实情景的数学模型。2由于数学的相对独立性，数学模型可以提供大量的数学命题，于是设定各种数学猜想，然后加以证明或反驳，以寻求数学基本规律。3将数学理论用于现实问题，求得进一步发展。数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。”波利亚在怎样解题中指出“类比是一个伟大的引路人”。在提出猜想的过程中，“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”科学中运用类比方法的例子很多，其基本模式是：A 对象具有性质a、b、c、d，B 对象具有性质a、b、c，而a与a，b与b，c与c相似，则推断B 也一定有性质d。在中学数学教学中，类比思想也是经常使用的，大体上有如下几种： 31 个别到一般的推广例如，数的运算与式的运算有许多相似的地方，图形的全等与图形的相似有共同处也有不同处，整数指数的幂函数与分数指数的幂函数也可以类推比较。这种类比，由于前者是后者的特例，故从哲学上看应是个别到一般的推广，但也可从类比角度加以阐述。3.2 某种特性的推广使用例如，分配律a(b+c)=ab+ac，对数和式的运算都适用，它也适用于数列的极限运算： 同样，对一次函数y=f(x)=kx来说（k与c都是常数）也满足分配律：F（c(x1+x2)=cf(x1)+cf(x2)但是，有的不能类比，例如，。3.3 低维到高维的类比平面几何的定理是否可向立体几何推广，如何推广，是很有意思的问题。波利亚的怎样解题中，以求四面体的重心与求三角形的重心相类比。球面三角模仿平面三角的体系而展开，也是一种类比，多维的积分与一维的积分也是一种类比推广。3.4 方法上的类比例如：一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法有类似之处。应该指出，提出数学猜想的方法决不仅限于归纳和类比，数学创造主要依靠“数觉”，这不可能用一般的科学方法加以概括。以上所述，仅说明科学方法中的归纳与类比，在数学中也是适用的。类比是发明创造的主要源泉之一。类比是学习知识，系统地掌握和巩固知识的有效方法。类比在解题中具有启迪思维的作用。文献2中提到“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）。所谓类比（即类比推理）就是依据两个对象的已知相似性，有可能把一个（数学）对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去，从而获得对后一个对象的新知识。4 中学数学中常见的一些类比4.1 平面与空间的类比把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。如，关于勾股定理，可有几个类比：勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有 a2+b2=c2类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中，有 p2+q2+r2=d2类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d，则有 p2+q2+r2=2d2类比3：四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直，与O相邻的三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有： A2+B2+C2=D2例1：在平面几何里，有勾股定理：“设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积的关系，可以得到正确结论是：“设三棱锥DBCA三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 S2BCD=S2ABC+S2ACD+S2ADB 例2：如图，若从点O所作的两条射线OM 、ON分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ、OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为4.2 数与形的类比在数学研究中，数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。 例1：已知,求K的值。解：L1：ax+by+c=0两直线是重合的 L2：(b+c)x+(c+a)y+a+b=0 两式相加：（a+b+c）(x+y+1)=0（1）若a+b+c=0 K=-1（2）若a+b+c0 则x+y+1=0则a=b=c0 K=例2：过正方形ABCD的顶点C作任一直线与AB、AD的延长线分别与E、F，求证AE+AF4AB分析：原结论稍加变形为（AE+AF）24AB（AE+AF）类比二次方程判别式 ，构造一元二次方程。证：如图，设AB=，AE=x, AF=y BCEDFC 即 xy-a(x+y)=0, 又设x+y=m, 则y=m-x 代入xy-a(x+y)=0, 得:x2-mx+ma=0 x为正实数，=，即 4.3 解题方法上的类比“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）。文献2中提到所谓类比（即类比推理）就是依据两个对象的已知相似性，有可能把一个（数学）对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去，从而获得对后一个对象的新知识。在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，“柳暗花明又一村”。例如：已知：x,y,z 均为正实数,求证：分析：本题好像无从着手，但我们从整体上观察结论知：“三角形两边之和大于第三边”与其相似，而被开方式与余弦定理相类比，从而设法构造一个三角形，用几何知识证明。证明：作,如图， AOB=BOC=COA=令OA=x, OB=y, OC=z由余弦定理可得: 故原式得证。例：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,且xyz求证：2y=x+z(即x,y,z成等差数列)分析：通过类比，类比为一元二次方程的根与系数的关系来解，构造一元二次方程（x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0=(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0因为1是方程的解，所以方程有两相等实根，都为1。由韦达定理，两根之积为 ,即2y=x+z A类对象（模型）具有a、b、c、d属性，类比根据 B类对象（模型）具有a、b、c、d属性，其中a、b、c分别与a、b、c相同或相似，推论：B类对象也具有与d相同或相似的属性d。我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从见，类比在数学解题中有着十分重要的作用。类比推理可用如下方式描述：三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。4.4 有限与无限的类比例：因为圆可看成是正多边形当边数趋于无穷时的极限情形。因此，依据“三角形的面积等于底与高的乘积的一半”的结论，可证：正多边形的面积等于周长与边心距乘积的一半。从而类比出：圆的面积等于其周长与半径乘积的一半，即S=1/2(C*R)=1/2(2R)*R=R2，显然正确。当然，类比结果的正确性必须经严格的逻辑证明，“未加证明的结论（猜想）与真理是有本质区别的”。如“平面上，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，类推到空间，命题显然不成立。5 结束语总之，通过以上几个例子的分析，说明类比是数学发现和创造的一种思维方法，特别是在把已知事物的性质推广到类似事物上有重大的作用，在几何学中，尤其不能忽视它。现代学习理论注重学生在学习过程中的自我调节和自我监控，强调解决问题后的反思。通过对类比在探索活动中的反思，以及相应的训练，是培养学生认知能力，提高学生思维品质的有效途径。但在实际的数学教学中怎样充分地运用类比思想对数学问题进行探讨以此来调动学生的学习兴趣，发挥教师的主导作用等问题，还等待着自己进一步去实践研究。6 致 谢这篇论文在写作过程中得到了费