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证明数列求和不等式的两种放缩技巧江苏省包场高级中学 张巧凤 226151数列求和不等式的证明，历来是高考数学命题的热点与重点，并且往往出现在压轴题的位置上，扮演着调整试卷区分度的角色。笔者发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，而学生在运用放缩法时普遍感到难以驾驭，本文重点谈谈通项放缩与舍项放缩两种放缩技巧在证明数列求和不等式中的应用。1、通项放缩，转化为可以求和的数列1、1放缩通项，利用等差数列求和例1、已知n,求证：证明：=1、2放缩通项，利用等比数列求和例2、数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设bn=，若数列的前n项的和为Tn，求证：Tn。（1）用迭代累乘或者构造新的等比数列可以求得，（2）证明：当n=1时，T1=；当n时，,Tn=对一切正整数n，都有Tn注：本题将数列从第二项起开始放缩，放缩成以b1为首项，为公比的等比数列，转化为等比数列求和。事实上，也可以利用，将数列放缩成以为首项，为公比的等比数列，易得Tn，放缩的关键在于合理与适度。1、3放缩通项，利用裂项相消求和对于例2，也可以这样证明：当n=1，2时，当n时， 对一切正整数n，都有=Tn=。注：此法将通项放缩成两项之差，转化为用裂项相消求和。1、4放缩通项，利用叠加求和例3、已知数列中，=1，求证： （2004年重庆卷改编）证明：由递推关系式得：，即，于是有，这n-1个不等式两边相加可得，即，又故。1、5放缩通项，利用各项重新组合求和例4、数列满足=1且（1）用数学归纳法证明（2）已知不等式0,成立,证明其中无理数e=2.71828(2005年重庆卷)证明:(1)略.(2)由递推关系式及(1)的结论有，两边取对数，且由得故上式中n分别取1，2，n-1求和可得=即，故.2、写出和式，舍项放缩2、1裂项相消，各项重新组合，舍项放缩对于例2，还可以这样证明：当n=1时，T1=；当n时，Tn=，Tn对一切正整数n，都有Tn2、2错位相减，各项重新组合，舍项放缩例5、数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设bn=，求证：。（1）易知是以2为公比的等比数列，可以求得，（2）证明： =2、3迭代相加，各项重新组合，舍项放缩对于例3、也可以这样证明：由已知得：,即，于是有，这n-1个等式两边相加可得，即=，又故。20、（本题满
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