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第一讲 全等三角形（一） 知识要点1、 全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。ABCDEF“全等”用“”表示，读作“全等于”，如ABCDEF。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，ABC和DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作ABCDEF。其中AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，A与D，B与E，C与F是对应角。规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。（1）平移型：如下左图，若ABCDEF，则BC=EF。将DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。ABCDEFABCDEF（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角1=2。ABC1EDABCDO12（1）（2）ABDC（1）（2）ABCED（3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角A。知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。2、 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据；（2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。（二） 典型例题BACDE例1：若把ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。规律方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。EABCDO例2：如图，已知ABDACE。试说明BE=CD，DCO=EBO。规律方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。ABCDFE例3：如图，ADFCBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。ABCDE例4：如图，在ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（ ）A、150 B、200C、250 D、300ABCDEPQ123 例5：如图，ABE和ADC是ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若1：2：3=28：5：3，则求的度数。例6：如图，已知ABEACD，1=2，B=C，指出其他的对应边和对应角。ABCDE12例7：如图，已知ABCDBE，ABCD，DE的延长线交AC于点F，那么DFAC吗？说明理由例8：如图，已知ABEACD且AB =AC，求证： (1) BAD= CAE; (2)BD= CE.（三） 反馈练习1如图，ABCDCB，若l与2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。2如图，ABCABC，且点B，B，C，C在同一直线上，则BB=_；若A=80，则A= ，BDC= 。3如图，把ABC沿直线BC翻折180，得到DBC，则ABC与DBC的关系是 。4如图，把ABC绕点A旋转一定的角度得到AED，那么ABC AED，其中对应边有 ， ， ，对应角有 ， ， 。5（南通）已知：如图，OADOBC，且O=70，C =25，则AEB= 。6如图，ABDACD，AB=AC，则BAD= ，BD= ，ADB= 度7如图，若ABCEDC，且B=58，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则E= ，BC= cm.8若ABCDEF，DEF的周长为32cm，DE= 9cm,EF= 12cm，则AB= cm,BC= _cm，AC= cm.9如图，直角ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论中错误的是( ) A.ABCDEF B.DEF= 90 CAC =DF DEC= CF10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若ABCDEF，则A=D，AB =EF.其中正确的个数有( ) A.l个 B.2个 C3个 D4个 11如图所示，ABCAEF，AB=AE，B=E，则下列结论：AC=AF;FAB=EAB；EF =BC;EAB=FAC.其中正确结论的个数是( )A.l个 B.2个 C.3个 D.4个12. 如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的 点，若ADBEDBEDC，则C的度数 为( ) A15 B20 C25 D3013如图，ABCCDA，下列各组边中，不是对应边的是( ) AAB与DC B.AC与CA C.AD与CB D.AD与DC14.如图，ABCADE，点B的对应点是点D若BAD= 100，CAE= 40，求BAE的度数第二讲 全等三角形的判定（一）（一） 知识要点1、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。书写格式：ABCABC在ABC和ABC中，ABCABC（SSS）规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。（二） 典型例题例1.在ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.求证：ABDACDBCDEFA例2已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD =BC， AE =BF，CE= DF.求证:DF/CE. 例4.如图，已知ABEACD，求证：l=2.例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM= CN，BM= DN.求证：AMCN，BMDN例6. 已知：如图，四边形ABCD中，AB = CB，AD= CD，求证：A=C例7如图所示，AB=AEBC= ED，CF=FDAC=AD，求证：BAF= EAF. （三）练习：1如图，若AB =AC，BD= CD，B =62，则BAC= 度2如图，已知AB= CD，AD= CB，还有条件 ，可判定ABCCDA，其依据是 3如图，在ABD和ACE中，已知AB =AC，BD = CE，AD =AE，若l= 20，则2= 4如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO= BO，CO =DO，AD= BC，则图中全等三角形有 对 5如图，已知AB=BCAD=CD，ABC=80，ADC= 50，则A= ，C= 6如图，已知AB =AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)ABDACD；(2) B=C;(3)AD 平分BAC; (4) ADBC.其中正确的个数是( ) A1个 B2个 C.3个 D.4个7下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等其中正确说法的个数是( ) A.4个 B3个 C2个 D1个8下列命题中正确的是( ) A有两条边对应相等的两个三角形全等 B两个等边三角形全等 C两个等腰直角三角形全等 D三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，9如图，已知AB= AC，BD= CD求证：l=2.10.如图，在ABC中，AB =AC，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：ABDACE.11.如图16，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M. (1)求证：ABCDCB； (2)过点C作CNBD，过点B作BN /AC，CN与BN交于点N，试判断线段NBC和NCB数量关系并证明你的结论第三讲 全等三角形的判定（二）（一）知识要点1、三角形全等的判定方法二：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。书写格式：ABCABC在ABC和ABC中，ABCABC（SAS）知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。例1.如图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC.求证：AB=DE例2：如图，ADAE，ABAC，AD=AE，AB=AC。求证：ABDACEABCDE规律方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；ABCDE例3：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE的两侧，ABED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CD例4如图，已知AB =AC，AD =AE，1=2.求证：CE =BD例5： 如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, B=C.求证: A=D例6.如图，BE、CF分别是ABC的高P是BE上一点。且BP =AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：APAQ.（三）练习1如图，已知l=2，AD =AC，则_ ，其依据是 。2如图，l=2，AB =AC，AE=AD，则ABD ，依据是 ，由此还可得BD= 。3如图，AC =AB，AD平分CAB，点E在AD上，则图中全等的三角形有_对，它们是 。4（天门）如图，已知AE=CF，A=C，要使ADFCBE，还需添加一个条件：_ （只需写一个）5小明为了测量池塘对岸A，B两点间的距离，作了如下的操作（如图）：取一能够到达A，B两点的点D;连接AD并延长AD于点E，使AD= ED连接BD并延长BD至C，使BD= CD;连接CE.那么要知道AB的长度，应测量线段 的长度6如图，已知ADBC于点D，BD=CD，点E在AD上；则图中全等三角形共有( ) A.l对 B.2对 C.3对 D.4对7如图有下列四个条件：BC =BC；AC=AC；ACA=BCB；AB =AB其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是( )A.l个 B。2个 C.3个 D.4个8下列命题中错误的是( ) A有两边对应相等的两个等腰三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D有一边对应相等的两个等边三角形全等9下列条件中，可以判定ABC和ABC全等的是( ) A.BC= BA,BC=BA，B=B BA=B，AC =AB，AB =BC C. A=A,AB= BC,AC=AC D.BC=BC,AC =AB,B=C10.如图，已知ABCD，AB= CD，BE =DF，则图中全等三角形的对数有( ) A3对 B4对 C5对 D.6对11如图，点A，E，B，D在同一直线上，在ABC与DEF中，AB= DE,AC =DF,ACDF. (1)求证：ABCDEF; (2)你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）12.如图13，点C是AB的中点，CDBE，且CD=BE，求证：D=E.第四讲 全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。书写格式：ABCABC在ABC和ABC中，ABCABC（ASA）知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。书写格式：在ABC和ABC中，ABCABCABCABC（AAS）知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。(二)例题讲解：例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, B=C.求证：AD=AE例2.如图，ABBC, ADDC, 1=2.求证：AB=AD练习：如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上，ABDF，ACDE，ACDE，FC与BE相等吗？请说明理由. 例3已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEFABCDABCD例4：如图，已知ABCABC，AD，AD分别是ABC和ABC的边BC和BC上的高。求证：AD=AD例5如图，点E在AC上，1=2，3=4.试证明BE= DE.（三）练习1如图，已知AB= DC，AD =BC，E，F是DB上的两点，且BE=DF.若AEB=100，ADB= 30则BCF= 。2如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，1=2，则图中的全等三角形共有 对3如图，AC与BD相交于点O，1=4，2=3ABC的周长为25cm，AOD的周长为 17cm，则AB= .4（海南）在ABC和中，AB =AB，A= A，要使ABCABC，还需添加一个条件，这个条件可以是 5如图，E =F=90B= C，AE= AF.给出下列结论：l=2；BE= CF;ACN ABM；CD= DN.其中正确的结论是_（注：将你认为正确的结论都填上）6下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有( ) A1个 B2个 C.3个 D.4个7（成都）如图，在ABC与DEF中，已知AB=DE，要使ABCDEF，不能添加的一组条件是( )8下列条件中，能判定两个三角形全等的是( ) A有两边及一角对应相等 B有三个角对应相等 C有两角及一边对应相等 D有两条边对应相等9如图，已知ABC的面积为36，将ABC沿BC平移可得到ABC，点B和C重合，连接AC交AC于D，则CDC的面积为( ) A6 B9 C12 D1810.如图所示，在LAOB的两边上截取AO= BO，CO =DO，连接AD，BC交于点P有下列结论AODBOC;APCBPD；点P在AOB的平分线上其中正确的是( ) A只有 B只有 C D11. 如图，已知点E、C在线段BF上，BE= CF,ABDE,ACB=F . 求证：ABCDEF.12.如图所示，l=2，D=C，求证；AC=BD .第五讲 全等三角形的判定（四）（一）知识要点1、直角三角形全等的判定方法：HLABCABC斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）书写格式：在RtABC和RtABC中，RtABCRtABC（HL）规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三个条件，其实，HL也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt”中才能用这种方法。(二)经典例题ABCDE例1：如图，在RtABC中，A=900，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线，交AC于点E。求证：AE=ED例2：已知：BECD，BEDE，BCDA，BCDEFA求证： BECDAE；DFBC例3如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC.求证：OB= OC.例4.如图，ACB=ADB= 90AC= AD，点E是AB上任意一点求证：CE= DE.例5.如图，AD为ABC的高，E为AC上的一点， BE交AD于F，且有BF =AC，FD= CD (1)求证：BEAC； (2)若把条件BF =AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断 （三）练习1如图，在ABC中，ADBC于D，再添加一个条件 （只需填一个），就可以判 定ABDACD.2如图，AB= CD，AEBC于E ，DFBC于F若BE= CF，则ABE ，其依据是 .3已知AB =5,BC =4,AC =3,则的周长是 ，面积是 ，斜边上的高为_4如图，在分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD =3cmCE =4cm，则DE= 。5如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则ABC+DFE= 。6两个直角三角形全等的条件是( ) A一锐角对应相等 B一条边对应相等 C两锐角对应相等 D两条边对应相等7如图，已知AB= CD，AEBD于E，CFBD于F，AE= CF，则图中全等的三角形有( ) A.l对 B2对 C3对 D4对8下列命题中，正确的有( )两直角边对应相等的两个直角三角形全等；两锐角对应相等的两个直角三角形全等；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等A5个 B4个 C3个 D2个9如图所示，C= 90，DEAB于点D，BD=BC，如果AC =6cm，则AE +DE=( ) A4cm B5cm C6cm D7cm10.如图所示，已知ACBC，BDAD，AC、BD相交于O，如果AC= BD，那么下列结论：AD=BC；ABC=BAD；DAC=CBD;OC= OD其中正确的是( ) A B C D11如图，AB：CD，DEAC，BFAC，E，F分别是垂足，DE：BF.求证：(1)AF=CE；(2) AB CD12.如图15所示，ACCF于点C，DFCF于点F，AB与DE交于点D，且EC=BF，AB=DE求证：AE=BD.第六讲 全等三角形的判定综合一、 经典例题ABCDEFO例1：如图，已知ABCD，OA=OD，AE=DF。求证：EBCF例2.如图,已知;CDAB,于D,BEAC于E,BE、CD交于点O，且AO平分BAC.求证:OB=OC.例3如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，ABDE，且AB=DE._F_E_D_C_B_A求证：（1）ABCDEF； （2）CBF=FEC.例4：在直角三角形ABC中,AC=BC, C=90,D是AB边上任一点,AECD于E,BFCD交CD的延长线于F,CHAB于H,交AE于G,求证:BD=CG.例5.如图.已知AB=DC, A=D,求证: ABC=DCB.二课后练习：1、如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB、DFAC，垂足为E、F， 求证：EB=FC 2、已知：如图12，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=BF。求证：（1）ABCD；（2）AE=CF。 (7分)ADECBF3、如图，已知：ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。 (8分)ABCDEOP第七讲 角的平分线的性质（一）知识要点1、角的平分线的性质及其推导角的平分线上的点到角的两边距离相等。已知OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，如右图所示，则PD=PE。角的平分线的性质的推导：已知，如上右图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，求证：PD=PE。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分线定义）在RtDOP和RtEOP中RtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）ABCDEOP知识延伸：角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路。2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。如右图，点P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE，则射线OC是AOB的平分线。性质性质的逆用规律方法小结：（1）角平分线的性质及其逆用的关系：点在角的平分线上点到角的两边距离相等（2）对于角的平分线的性质及其逆用，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“性质的逆用”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，性质的逆用是证两角相等的依据。角的平分线的判定的推导：已知：如右上图，点P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE。求证：射线OC是AOB的平分线。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）在RtDOP和RtEOP中，RtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的对应角相等）即射线OC平分AOBCABED知识延伸：逆用角平分线的性质可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注意的是：在推导过程中应注意垂直关系的书写，指明垂直线段，并由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等了。（二）典型例题例1：在ABC中，C=900，AD是BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是_。例2：如图，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。OABCDE求证：EA=EB例3.如图，在ABC中，A=90，AC=AB，BD是ABC的平分线，DEBC于点E，已知BC=10cm，求EDC的周长ABCDEO12例4：如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。求证：1=2ABDPOMN例5：如图所示，已知OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PMBD，PNAD。求证：PM=PN规律方法：运用脚平分线的性质解题时，应注意两点：（1）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程，更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段相等，以免走回头路。ABCDEFO例6：如图，AD是ABC中BAC的平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。规律方法：数形结合思想，是将“数”与“形”结合在一起探索研究，进一步解决问题的一种思想方法。ABCD例7：如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC。求证：A+C=1800。解题策略：解与角平分线的性质和识别方法的综合题时，应注意分析题目特点，通过适当添加辅助线，挖掘其中隐含的条件，获得问题的答案。解题方法及技巧小结：在运用角平分线的性质时若缺少垂直条件可适当作出垂线段。(三)练习1如图，在ABC中，已知C=90，AD平分CAB，BC= 8cm，BD= 5cm，那么点D到直线AB的距离是 cm2如图，已知BAC与ACD的平分线交于点DOEAC于点E，且OE =2cm，则点D到AB，CD的距离之和是_3如图，已知点C是AOB平分线上的一点，点P，P分别在OA，OB上，若要得到OP= OP，需要添加以下条件(1) OCP=OCP；(2) OPC=OPC;(3)PC=PC;(4)PPOC中的某一个即可，请你写出所有可能的结果序号： 4如图，已知点P到BE，BDAC的距离都相等，则点P的位置：(1)在B的平分线上；(2)在DAC的平分线上；(3)在ECA的平分线上；(4)恰是B，DAC，ECA三条角平分线的交点，则上述结论中，正确的有_个5如图，点P是BAC的平分线AD上的一点，PEAC于点E，已知PE =3，则点P到AB的距离是( ) A3 B4 C5 D66如图所示，点P是BAC的平分线上一点PMAB于M，PNAC于N，则下列结论(1)PM= PN;(2)AM -AN =0(3)APM和APN的面积相等；(4) PAN+ APM =90中，正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D4个7如图所示，ABC中，AB =AC，AD平分BACDE AB于E，DFAC于F，则下列四个结论 (1)BD= CD且AD =BC;(2) BDE=CDF; (3)AD上任意一点到线段BC两端点距离相等； (4)AD上任意一点到AB，AC的距离相等其中正确的有( ) A0个 B1个 C2个 D3个8如图，AB= AD，ABC= ADC= 90，则AC平分BAD，CA平分BCD，AC平分BD，BD平分ADC中，正确的结论有( ) A B C D只有9如图，ABC中，AB =AC，M为BC的中点，MDAB于D，MEAC于E求证：MD= ME.第八讲 全等三角形复习测试题 一、填空题（30分） 1下列条件能确定ABC的形状和大小的是( ) A.AB =4,BC =5, C= 60 B.AB =6, C= 60, B =70。 C. C =60, B =70, A =50 D.AB =4,BC =5,AC =10 2（无锡）如图，OAB绕点O逆时针旋转80得到OCD，已知AOB =45，则AOD=( ) A55 B45 C40 D353如图，AD是ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE= DF.连接BF，CE，下列说法(1)CE=BF；(2)ABD和ACD的面积相等；(3)BFCE; (4)BDFCDE中正确的有( ) A.l个 B.2个 C.3个 D4个4现有长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的木条各一根，要使两人所取的三根木条能组成三角形且组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( ) A一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条 B两人都取6cm的木条 C两人都取8cm的木条 D.B、C两种取法都可以5如图，已知l=2，AC =AD，有下列条件：AB =AE;BC= ED；C= D；B= E，添加其中一个能使ARCAED的条件有( ) A.4个 B3个 C2个 D1个6如图，AB =AC，BE AC于点E，CF AB于点F，BE，CF交于点D，则(1)ABEACF; (2)BDFCDE; (3)点D在BAC的角平分线上其中正确的结论有( ) A.(1) B.(2) C.(1)与(2) D.(1)(2)(3)7下列条件不一定能使两个三角形全等的是( ) A两边一角对应相等 B两角及其中一角的对边对应相等 C三边对应相等 D两边及其夹角对应相等8如图，ABC中BC边上的高为h，DEF中DE边上的高为h，下列结论正确的是( )9如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，且BF= CE，连接BE、AF相交于G，则下列结论错误的是( ) A.BE =AF BDAF= BEC C. AFB+BEC =90 D.AGBE10.如图，D为BC的中点，DEDF，E，F分别在AB，AC边上，则BE+ CF( )A大于EF B小于EF C等于EF D与EF的大小无法比较二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，已知点D为线段AC，BD，EF的中点，图中有 对全等三角形12.已知在ABC和ABC中，AB =AB，A=A，要使ABCABC，还需添加一个条件，这个条件可以是_ 。13.如图，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，S=36cm，AB=18cm，BC=12cm,则DE= 14.如图所示，在三角形纸片ABC中，AB= 10cm，BC =7cm，AC =6cm，若沿过点B的直线折叠这个三角形纸片，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则AED的周长为_cm.15.如图，AD，AD分别是锐角ABC和ABC中的边BC，BC上的高,且AB =AB，AD =AD，若要使ABC姿ABC，还需添加条件 16.如图所示，BF，CF是ABC的两个外角的平分线，交点为F，若A =50，则BFC的度数是_17如图所示是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC= CD，将点A放在MPN的顶点P处，调整仪器，使AB，AD分别与PM，PN重合，这时，沿AC作射线PE，则PE即为MPN的角平分线，其依据是 .18.如图，ABC的两边AB =5AC =3，则第三边BC上的中线m的取值范围是 .三、解答题（共66分）19.如图，点D，E分别在OC，OB上，BD，CE交于点A，B= C，AB =AC.求证：BODCOE20.如图，AC交BD于点D，请你从(1)OA =OC;(2)OB=OD;(3)ABCD中选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明21.如图，点B，E，C，F在同一直线上，ABDE，且AB= DE，A=D，BF =10cmBE =2cm，求EC的长22.请先阅读下面的题目与证明，然后回答问题， 如图，在ABC中，ABC= ACB，D，E分别是AB，AC上两点，且BD= CE，BE，CD相交于点D求证BODCOE.证明：在DBC和ECB中BD= CE，ABC= ACB,BC= CB，DBCECB( SAS)DBC-BOC=ECB - BOC.即BODCOE.上述证明是否有错误，若没有错误，请在右边空白处写上“正确”二字；若有错误，请指出从哪一步开始出现错误，并从这步开始，在下边空白处写上正确的证明23.如图，在四边形ABCD中，ADBC，EA AD，M是AE上的一点，BAE= MCE，MBE =45. (1)求证：BE= ME. (2)若AB =7，求MC的长24如图，点B ，F，C，E 在同一直线上，AC，DF相交于点G，ABBE，垂足为B，DEBE，垂足为E，且AB= DEBF= CE.求证：(1)ABCDEF；(2) GF= GC.25.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何图形，B ，C，E在同一条直线上，连结DC，CE. (1)请找出图中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DCBE26.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图(1)，已知在ABC中，AB =AC，P是AABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连结BQ、CP，求证BQ=CP 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图(1)的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ= CP之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ= CP”依然成立，请你就图(2)给出证明 第九讲 轴对称（一） 知识要点1、 轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，ABC是轴对称图形。ABClAAABBCCl轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。如上右图，ABC与ABC关于直线l对称，l叫做对称轴，A和A，B和B，C和C是对称点。规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。2、 线段的垂直平分线线段垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为线段的中垂线）。如下左图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线。ABOlABP线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。如上右图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB。线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、 轴对称和轴对称图形的性质两个图形成轴对称（或轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等