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文档简介

习题课 答 随机变量的引入是概率论发展走向成熟的一个标志 它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多 不易一一总结它们取值规律的缺陷 因为如果知道随机变量的分布 随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到 另则引入随机变量后 可以使用数学中的微积分工具讨论随机变量的分布 问1 引入随机变量有何意义 答 随机变量的分布函数刻划了随机变量的取值规律 不管是连续型还是离散型或既不是连续型又不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值规律 而分布律只能描述离散型随机变量的取值规律 密度函数只能描述连续型随机变量的取值规律 问2 随机变量的分布函数 分布律 密度函数有何联系与区别 它们的联系在于对离散型随机变量X 当知道了X的分布律 可通过求概率P X x x取任意的值 求得X的分布函数F x 反之也一样 对连续型随机变量X 当知道了X的密度函数f x 可通过积分求得分布函数F x 反之 当知道了分布函数F x 可通过对F x 求导 即 对一切的连续点处 求得密度函数f x 解由题设有 于是 故 又设 于是 1 掷1枚非均匀硬币 出现正面的概率为p 若以X表示直至正反面都出现为止所需投掷的次数 求X的分布律 解 X可能取的值为2 3 当X k时 表示前k 1次出现反面 第k次出现正面或相反 于是 三 计算题 3 在电源电压不超过200伏 在200伏一240伏和超过240伏三种情况下 某种电子元件损坏的概率分别为0 1 0 001和0 2 设电源电压X服从正态分布N 220 252 试求 l 该电子元件损坏的概率a 2 该电子元件损坏时 电源电压在200一240伏的概率b 解设A1表示事件 电源电压不超过200伏 A2表示事件 电源电压在200 240伏 A3表示事件 电源电压超过240伏 B表示事件 电子元件损坏 1 由全概率公式 2 由贝叶斯公式 解 当时 当时 5 设随机变量X的概率密度函数为f x 且f x f x F x 是X的分布函数 证明 证明 若X的密度函数f x 具有对称性 即f x f x 对任意a 0 证明 故 故 分析可由连续型随机变量的密度与分布函数的关系 F x 的分布函数 这里我们利用F x 的特殊性来直接求得Y的分布函数 解因为F x 是连续型随机变量的分布函数 故F x 为连续函数 而且0 F x 1 从而 FY y P Y y
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