大学物理第六章振动和波.pdf

简谐振动的描述简谐振动的描述1 简谐振动的判断简谐振动的判断2 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成3 简谐波的描述简谐波的描述 4 简谐波的叠加和波的干涉简谐波的叠加和波的干涉5 2 振动一个物理量随时间振动一个物理量随时间 t 作周期性变化 作周期性变化 y ty tT 周期性 是这种运动形式的典型特征周期性 是这种运动形式的典型特征 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 第一节第一节简谐振动简谐振动 3 弹簧振子弹簧振子 spring oscillator 的例子的例子 一根轻弹簧连接一根轻弹簧连接 一个质点 置于一个质点 置于 光滑水平面上 光滑水平面上 k 为为劲劲度系数度系数 coefficient of stiffness x F x 0 k m kxF 小幅振动满足胡克定律 小幅振动满足胡克定律 物体所受的合外力与和位移成正比 方向始终指向平衡物体所受的合外力与和位移成正比 方向始终指向平衡 位置 称为位置 称为线性回复力线性回复力 由牛顿第二定律 由牛顿第二定律 kxma 1 弹簧振子模型 4 令令 m k 2 0 d d 2 2 2 x t x 微分方程的解微分方程的解 0 cos xAt 0 d d 2 2 x m k t x 0mak x 即 即 或 或 这样的运动规律符合简谐函数形式 叫做简谐振动这样的运动规律符合简谐函数形式 叫做简谐振动 simple harmonic vibration 5 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程 0 cos xAt A 振幅振幅 amplitude 离开平衡位置的最大位移离开平衡位置的最大位移 三个重要的特征量三个重要的特征量 角频率角频率 或称圆频率 或称圆频率 angular frequency 在在 2 秒时间内完成全振动的次数秒时间内完成全振动的次数 0 初相初相 initial phase 反映初始时刻振动系统的运动状态反映初始时刻振动系统的运动状态 6 2 频率频率 1 秒内完成全振动的次数 单位 秒内完成全振动的次数 单位 Hz 周期周期 T 完成 完成一次全振动所经历的时间一次全振动所经历的时间 单位单位 s 频率与周期频率与周期 frequency 电磁波的传播不需介质 电磁波的传播不需介质 机械波和电磁波的不同之处机械波和电磁波的不同之处 两类波的共同特征两类波的共同特征 都是振动状态的传播都是振动状态的传播 都是能量传播都是能量传播 都能发生反射 折射 干涉 衍射都能发生反射 折射 干涉 衍射 47 质点的振动方向和波动的传播方质点的振动方向和波动的传播方 向垂直 交替出现波峰和波谷 向垂直 交替出现波峰和波谷 横波横波 Transverse Wave 质点的振动方向和波动的传播方质点的振动方向和波动的传播方 向平行 疏密相间 向平行 疏密相间 简谐波简谐波 Harmonic Wave 介质中各质点都作简谐振动介质中各质点都作简谐振动 纵波纵波 Longitudinal wave 48 49 机械波的传播特征机械波的传播特征 1 波动波动是振动状态的传播 介质中各质点是振动状态的传播 介质中各质点在平衡位置在平衡位置 附近振动 并未 随波逐流 附近振动 并未 随波逐流 2 波动是相位的传播 在波的传播方向上波动是相位的传播 在波的传播方向上 各质点的各质点的 振动相位依次振动相位依次落后落后 3 波动是能量的传播波动是能量的传播 x y 1 t 2 t 50 波线 波线 表示波的传播方向的直线表示波的传播方向的直线 波阵面 振动相位相同的点组成的面波阵面 振动相位相同的点组成的面 波前波前 某一时刻最前面的波阵面某一时刻最前面的波阵面 波线 波阵面 波前波线 波阵面 波前 51 波长波长 在同一 在同一波线上两个相邻的 相位差为波线上两个相邻的 相位差为 2 的振动的振动 质点之间的距离 波长反映了波动在质点之间的距离 波长反映了波动在空间空间上的上的 周期性周期性 x y 波的周期波的周期 T 波前进一个波长的距离所需的时间 波前进一个波长的距离所需的时间 1 T 波的频率波的频率 周期的倒数周期的倒数 周期和频率反映了波动在时间上的周期性 周期和频率反映了波动在时间上的周期性 2 波长 周期和波的波的传播速度 52 T u 波速波速 u 振动的传播速度 在一个时间周期 振动的传播速度 在一个时间周期T内波向外内波向外 传播了一个空间周期传播了一个空间周期 因此波速为 因此波速为 波速和波长由介质的性质决定 而波的频率与介质的波速和波长由介质的性质决定 而波的频率与介质的 性质无关 由波源决定 性质无关 由波源决定 53 介质中波前上各点都可以当作独立的波源 发出球面子介质中波前上各点都可以当作独立的波源 发出球面子 波 波 wavelet 在其后的任一时刻 这些子波的包络就 在其后的任一时刻 这些子波的包络就 形成新的波前形成新的波前 3 惠更斯 Huygens 原理 54 平面简谐波 波阵面为平面的简谐波 平面简谐波 波阵面为平面的简谐波 x y O 设平面简谐波以速度设平面简谐波以速度 u 沿沿 Ox 方向方向传播 已知传播 已知 t t0时的波时的波 动情况 要给出波线上任意坐标动情况 要给出波线上任意坐标x 处的质点处的质点P的位移的位移 y 随随 时间时间 t 的变化规律的变化规律 波动方程波动方程 y x t 函数形式 函数形式 u P t t0时刻时刻 第五节第五节平面简谐波平面简谐波 1 平面简谐波的波动表达式 55 tAty cos 0 设设 O 点的点的振动振动表达式为 表达式为 振动从振动从 O 点传波到点传波到 P 点需点需时间时间 所以 所以 t 时时 刻在刻在 x 处的处的P点的振动情况与点的振动情况与O点处的点处的t t时刻的情况时刻的情况 相同相同 因此 因此P点的运动表达式应该为 点的运动表达式应该为 tx u cos Po xx yx ty tAt uu x y O u P t t0时刻时刻 t t 时刻时刻 56 沿沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式 cos x y x tAt u 2 cos u x t T Atxy 2cos x T t A 2cos x T t Atxy 也可改用周期也可改用周期T 频率 频率 和波长和波长 表示 表示 cos2 x y x tAt 57 沿沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动表达式轴负方向传播的平面简谐波的波动表达式 cos u x tAtxy 2cos x T t Atxy x y O u P t t0时刻时刻 58 u 若已知若已知 x0点的振动点的振动 0 cos y xtAt 同样可得在同样可得在 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式 0 cos xx y x tAt u u xx t Px 0 0 x y O P x0 59 波动表达式的物理意义波动表达式的物理意义 2cos x T t Atxy 1 体现波动在时间上和空间上都具有周期性 体现波动在时间上和空间上都具有周期性 2 分别用 分别用 x x1 x x2 定值 代入 定值 代入 得 得 x1 x2点的点的 振动表达式振动表达式 11 22 cos y x tAtx T 22 22 cos y x tAtx T 60 在波的传播方向上 两定点在波的传播方向上 两定点 x1 和和 x2的振动相位依次落后 的振动相位依次落后 相位差为相位差为 2 12 21 xx xx 在波线上 对应一个波长的间距 相位差为在波线上 对应一个波长的间距 相位差为 2 3 用 用 t t1 定值 代入 得 定值 代入 得 t1时刻的波形图 时刻的波形图 y x o t1t1 t u t u 61 平面波的波动方程平面波的波动方程 22 2 22 yy u tx 1 由由平面简谐波的波函数对平面简谐波的波函数对 x 和和 t 求偏导数可得这一方求偏导数可得这一方 程程 但 但方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数 前方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数 前 述的述的简谐波简谐波的表达式只是它的一个解的表达式只是它的一个解 2 任何任何物理量物理量 y 不管是力学量 电学量或其他量 只 不管是力学量 电学量或其他量 只 要要它与它与时间和坐标的关系满足这一方程 则这一物理时间和坐标的关系满足这一方程 则这一物理 量就按量就按波的波的形式传播 方程中的形式传播 方程中的 u 就是这种波的传播就是这种波的传播 速度速度 2 波动方程 62 m 01 0 Am 04 0 0 01 0 5 k u 1 0 01 0 5 T k 1 s 2 T y cm x cm 123456 P O u 0 2skT 例例4 已知已知 t 0 时的波形曲线为时的波形曲线为 波沿 波沿 x 正向传播 在正向传播 在 t 0 5 s 时波形变为曲线时波形变为曲线 已知波的周期 已知波的周期 T 1 s 试根 试根 据图示条件求波动方程和据图示条件求波动方程和 P 点的振动表达式点的振动表达式 已知已知 A 0 01 m 解解 63 设坐标原点振动表达式 设坐标原点振动表达式 0 cos ytAt 0cosA 根据初始条件 根据初始条件 0sin Av 2 2 y cm x cm 123456 P O u 0 0 01cos 2 ytt 因此因此O点振动表达式 点振动表达式 64 2 cos 01 0 0 tty 0 01cos 0 022 x y x tt 所以 可得波动方程 所以 可得波动方程 P点振动表达式 点振动表达式 0 01 0 01cos 0 022 P ytt 0 01cos P ytt 65 机械波传播到弹性介质中某处机械波传播到弹性介质中某处 该点介质由不动到振动该点介质由不动到振动 因而具有动能因而具有动能 同时该点介质将产生形变同时该点介质将产生形变 因而具有弹性因而具有弹性 势能势能 介质由近及远地振动介质由近及远地振动 相应地相应地 能量向外传播能量向外传播 设有一平面简谐波设有一平面简谐波 cos 以波速以波速u在密在密 度为度为 的均匀介质中传播的均匀介质中传播 在介质中取体积为在介质中取体积为 V 质量为质量为 m V的介质元的介质元 波传播到此体元时波传播到此体元时 体元具有动能体元具有动能 Ek和势能和势能Ep 3 波的能量和波的强度 波的能量波的能量 66 介质元的总机械能 介质元的总机械能 222 sin kp x EEEV At u r 介质元的总机械能随时间作周期性变化介质元的总机械能随时间作周期性变化 表明对任意介质表明对任意介质 元元 都在不断的接受和放出能量都在不断的接受和放出能量 波动波动传递能量传递能量 波是波是 能量传播的一种形式能量传播的一种形式 可以证明 可以证明 222 1 sin 2 kp x EEV At u r 67 平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值 平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值 22222 00 111 dsin d 2 TT x tAttA TTu r r 机械波的平均能量密度与振幅的平方 频率的平方及介质机械波的平均能量密度与振幅的平方 频率的平方及介质 的密度都成正比 的密度都成正比 能量密度 能量密度 单位体积内波的总能量单位体积内波的总能量 222 sin x At u r 能量密度能量密度 volume density of energy volume density of energy 68 在在单位时间单位时间内通过垂直于波线的内通过垂直于波线的单位面积单位面积上的波的平上的波的平 均能量 即为均能量 即为能流密度能流密度 I 也叫波的也叫波的强度强度 22 1 2 uS IuuA S r u u S 单位时间内通过介质中某面积的能单位时间内通过介质中某面积的能 量称为通过该面积的量称为通过该面积的能流能流 在图中在图中 垂直于波速垂直于波速u方向取面积方向取面积S 单位时单位时 间内通过间内通过S面的能量面的能量 等于体积等于体积uS 中的能量中的能量 则一个周期内通过则一个周期内通过S的平的平 均能流为均能流为 uS 它是表征波动中能量传播的一个重要物理量 它是表征波动中能量传播的一个重要物理量 能流密度能流密度 energy flux density energy flux density 69 70 4 介质对波的吸收 波在介质中传播时 介质通过一定的机制要对波的能量有 吸收 吸收的能量转变为介质的内能 从而使波的强度逐 渐减弱 d d 其中的比例系数k是与介质 波长有关的量 称为吸收系数 absorption coefficient 0 d 0 d 0 朗伯定律朗伯定律 Lambert law 设在设在t1时刻球面波到达时刻球面波到达r1处 即球面波的波前是半处 即球面波的波前是半 径为径为r1的球面 面积的球面 面积 在 在t2时刻波前半径是时刻波前半径是r2 面积 面积 设介质本身不吸收能量 则单位时间 设介质本身不吸收能量 则单位时间 内通过内通过S1面的能量 必然通过面的能量 必然通过S2 因此有如下等式 因此有如下等式 2 11 4Sr 2 22 4Sr 222222 1122 11 44 22 uAruArr r 式中的式中的A1和和A2分别表示两球面波的振幅 由上式可得 分别表示两球面波的振幅 由上式可得 1 12 2 ArA r 即球面波的振幅与离开波源的即球面波的振幅与离开波源的 距离成反比 距离成反比 波动方程可为 波动方程可为 0 cos Ax y x tt ru 例例6 试利用能流密度的概念求出球面波的表达式 试利用能流密度的概念求出球面波的表达式 解解 71 几列波可以保持各自的特点 几列波可以保持各自的特点 频率 波长 振幅 振动频率 波长 振幅 振动 方向等 同时通过同一介质 即波的传播具有独立性 方向等 同时通过同一介质 即波的传播具有独立性 在叠加区域内 任一质点振动的位移是各列波单独存在在叠加区域内 任一质点振动的位移是各列波单独存在 时在该点产生的位移的合成 叠加过后原来的方向继续时在该点产生的位移的合成 叠加过后原来的方向继续 前进 好象没有遇到过其他波一样 前进 好象没有遇到过其他波一样 第六节第六节波的叠加波的叠加 波的干涉波的干涉 1 波的叠加 superposition 72 干涉现象干涉现象 几列波在相遇的叠加区域内 某些点的振动始几列波在相遇的叠加区域内 某些点的振动始 终加强 而另有一些点的振动始终减弱 终加强 而另有一些点的振动始终减弱 S1 S2 相干条件 相干条件 1 波波的振动频率的振动频率相同相同 2 振动振动方向相同方向相同 3 振动振动相位相同或相位相同或有定有定 的相位差 的相位差 能产生干涉现象的两列波叫能产生干涉现象的两列波叫 做相干波 做相干波 coherent wave 2 波的干涉 interference 73 设有两相干波源设有两相干波源S1 S2 振动方程为 振动方程为 cos 11001 tAy cos 22002 tAy 两波在两波在P点相遇点相遇 在在P点点 的振动分别为 的振动分别为 1111 2 cos yAtr 2222 2 cos yAtr S1 S2 r2 r1P 两振动在两振动在P点的合成后的方程为 点的合成后的方程为 12 cos yyyAt 其中 其中 22 1212 2cosAAAAA 2121 2 rr 注意到注意到A的大小与的大小与 有关 有关 74 当 当 2121 2 2 0 1 2 rrkk max12 AAAA 合振幅最大 合振幅最大 干涉加强干涉加强 21 0 1 2 rrkk 干涉加强条件干涉加强条件 对于初相相同的相干波源对于初相相同的相干波源 上述条件可简化为 上述条件可简化为 其中其中 为为波程差波程差 当 当 2121 2 21 0 1 2 rrkk min12 AAAA 合振幅最小 合振幅最小 干涉减弱干涉减弱 21 21 0 1 2 2 rrkk 干涉减弱条件干涉减弱条件 75 21 0 1 2 rrkk 干涉加强条件干涉加强条件 从从波程差波程差 r1 r2角度考虑波的干涉 角度考虑波的干涉 21 21 1 2 2 rrkk 干涉减弱条件干涉减弱条件 当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时 当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时 波程差等于波长整数倍的各点波程差等于波长整数倍的各点 合振动振幅最大合振动振幅最大 干涉加强 波程差等于半波长奇数倍的各点干涉加强 波程差等于半波长奇数倍的各点 合振合振 动振幅最小动振幅最小 干涉减弱干涉减弱 波的干涉是波的重要特征 在光学 声学 现代信息波的干涉是波的重要特征 在光学 声学 现代信息 工程 近代物理等许多学科中有着重要的应用 工程 近代物理等许多学科中有着重要的应用 76 频率相同频率相同 振动方向相同振动方向相同 振幅相同而传播方向相反的两振幅相同而传播方向相反的两 列波相叠加列波相叠加 形成驻波形成驻波 驻波是一种特殊的干涉现象驻波是一种特殊的干涉现象 绳绳 A A 设两列波的方程为设两列波的方程为 2cos 1 x T t Ay 沿正方向传播 沿正方向传播 2cos 2 x T t Ay 沿负方向传播 沿负方向传播 两列波重叠处的合振动为 两列波重叠处的合振动为 12 cos2 cos2 txtx yyyAA TT 3 驻波 standing wave 77 22 2 coscosyAxt T 1 此表达式不表示行波 它表示了此表达式不表示行波 它表示了各个不同位置处 坐各个不同位置处 坐 标标 x 的点在不同时刻的振动情况 的点在不同时刻的振动情况 2 注意到不同位置处各质点做不等幅但注意到不同位置处各质点做不等幅但同频率的简谐振同频率的简谐振 动动 并且在某些点处的 并且在某些点处的振幅为零 形成波节振幅为零 形成波节 在某些点 在某些点 处的处的振幅最大 形成波腹振幅最大 形成波腹 3 驻波没有能量的定向驻波没有能量的定向传播 传播 合振动合振动 驻波的表达式驻波的表达式 78 驻波的波形特征驻波的波形特征 1 相邻两个波节 或波幅 的间距为相邻两个波节 或波幅 的间距为 2 2 同一段上的各点的振动同相 而隔开一个波节的各同一段上的各点的振动同相 而隔开一个波节的各 点的振动反相 点的振动反相 2 波节波节 波腹波腹 x 振幅大小振幅大小 的包络线的包络线 79 半波损失半波损失 half wave loss 在介质的分界面处出现波节 必须入射波和反射波在分在介质的分界面处出现波节 必须入射波和反射波在分 界面处的相位相反 界面处的相位相反 考虑绳子两端固定的驻波 考虑绳子两端固定的驻波 当波从一种介质垂直入射到当波从一种介质垂直入射到 第二种介质时 如果第二中介质的密度与波速的乘积大第二种介质时 如果第二中介质的密度与波速的乘积大 于第一中介质的于第一中介质的密度与波速的乘积密度与波速的乘积 前者称 前者称波密介质波密介质 后者称后者称波疏介质波疏介质 即 即 则分界面处将 则分界面处将 出现波节 这时入射波与反射波在分界面有出现波节 这时入射波与反射波在分界面有 的相位突的相位突 变 从波长的角度考虑有变 从波长的角度考虑有 2的波长差 此现象称的波长差 此现象称半波半波 损失 损失 1122 uurr B b 波疏波密 2 B a 波密波疏 80 例例 如图所示 一平面简谐波y1 Acos 100 t x 沿Ox正向传播 在距离坐标原点10 25m处有一波密介质反射面AB 波传至反射面处 被全部反射 求 1 反射波的波函数 2 驻波的波函数 3 0 x 10 25m内 波节 波腹的位置 反射波的波函数的建立是解决这个问题的关键 1 考虑O点的振动传至AB面并被反射后传播到x点 所花时间为 10 25 10 25x t u 考虑到反射时的半波损失 则反射波的波函数y2为 2 cos cos 1000 5 yAttAtx 2 驻波的波函数 y y1 y2 即 12 cos 100 cos 1000 5 2 cos 0 25 cos100 0 25 yyyAtxAtx Axt 解解 3 波节的位置满足 cos 0 25 0 x 由于0 x 10 25m 则 0 25 21 2 0 1 2 xmm 0 25 1 25 2 25 3 25 4 25 5 25 6 25 7 25 8 25 9 25 10 25 mx 波腹的位置满足 cos 0 25 1x 0 25 1 2 3 xmm 0 75 1 75 2 75 3 75 4 75 5 75 6 75 7 75 8 75 9 75 mx 由于0 x 10 25m 则 声波声波 sound wave 频率范围频率范围 20 20000 Hz内的声振动 内的声振动 超声波超声波 ultrasonic 频率高于此范围 频率高于此范围 次声波次声波 infrasound 频率低于此范围 频率低于此范围 声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波 声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波 第七节第七节声波声波 84 声强级公式 单位用分贝声强级公式 单位用分贝 decibel dB 表示 表示 10 0 10log I I L I 声强 声强 声波的能流密度 它是单位时间内通过垂直于声波声波的能流密度 它是单位时间内通过垂直于声波 传播方向的单位面积的声波能量 即 传播方向的单位面积的声波能量 即 1 2 2 2 人耳是很灵敏的感觉器官 所能感受的声音的强度范围非常大 人耳是很灵敏的感觉器官 所能感受的声音的强度范围非常大 数量级相差数量级相差1012倍 如 倍 如 1000Hz声音 声音 10 12W m 2 I 1 W m 2 它也无法将这样大范围的声音由弱到强分辨出它也无法将这样大范围的声音由弱到强分辨出1012个等级来 个等级来 在声学中普遍使用对数标度来量度声强 叫在声学中普遍使用对数标度来量度声强 叫声强级 声强级 I L I 0 10 12W m 2 是闻阈的声强 因 是闻阈的声强 因 此闻阈的声强为此闻阈的声强为0dB 而痛阈的声强 而痛阈的声强 为为120dB 注意 声强级不能用代数相加 注意 声强级不能用代数相加 1 声强级和听觉区域 85 引起人听觉的声强范围 引起人听觉的声强范围 1222 10W m1 W m 86 当鸣笛的火车开向站台 站台上的当鸣笛的火车开向站台 站台上的 观察者听到的笛声变尖 即频率升观察者听到的笛声变尖 即频率升 高 相反 当火车离开站台 听到高 相反 当火车离开站台 听到 的笛声频率降低 的笛声频率降低 波源与观察者之间有相对运动时 波源与观察者之间有相对运动时 观察者接受到的波的频率观察者接受到的波的频率 R与波源与波源 的振动频率的振动频率 s不同 这种现象称为不同 这种现象称为 多普勒效应 机械波的多普勒效应多普勒效应 机械波的多普勒效应 称为经典多普勒效应 称为经典多普勒效应 J C Doppler 2 多普勒效应 Doppler effect 87 S vo 观察者向波源运动时 观察者向波源运动时 1 s 内接收到更多的波峰 内接收到更多的波峰 即即 观测到的波的频率增高 观测到的波的频率增高 S vs 波源向观察者运动时 波源向观察者运动时 观观 察者更快接收到下一个波察者更快接收到下一个波 峰 峰 即观测到的频率增高 即观测到的频率增高 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速 潜艇的速度 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速 潜艇的速度 还可以用来报警和监测车速 在医学上 利用超声波的多还可以用来报警和监测车速 在医学上 利用超声波的多 普勒效应对心脏跳动情况进行诊断 做成超声心动 多普普勒效应对心脏跳动情况进行诊断 做成超声心动 多普 勒血流仪等 勒血流仪等 88 机械波的机械波的多普勒效应计算公式 多普勒效应计算公式 o s uv uv 相互接近 即相向运动时相互接近 即相向运动时 vo vs取取正号 观察所得频正号 观察所得频 率高于实际频率 率高于实际频率 相互远离 即相背运动时 相互远离 即相背运动时 vo vs取取负号 观察所得频负号 观察所得频 率低于实际频率 率低于实际频率 vo S vs O 89 天文学上的 红移 就是电磁波的天文学上的 红移 就是电磁波的多普勒效应 多普勒效应 分子 原子的发光光谱的多普勒展宽 会使得光谱的单分子 原子的发光光谱的多普勒展宽 会使得光谱的单 色性变差 色性变差 光的多普勒效应光的多普勒效应 r r c c v v 对光波也存在多普勒效应 但是光的传播不依赖弹性介对光波也存在